2.2.3對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)單位：哈爾濱市呼蘭區(qū)第一中學(xué)校作者：房玉紅

1.對數(shù)函數(shù) 一般地，我們把函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中________是自變量，函數(shù)的定義域是___________，值域是實(shí)數(shù)集R.x(0，＋∞)圖象a>10<a<1性質(zhì)(1)定義域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)______(4)當(dāng)x>1時(shí)，______；當(dāng)0<x<1時(shí)，______(5)當(dāng)x>1時(shí)，______；當(dāng)0<x<1時(shí)，______(6)在(0，＋∞)上是____函數(shù)(7)在(0，＋∞)上是____函數(shù)2.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象特征和性質(zhì)(1,0)y＞0y＜0y＜0y＞0增減（續(xù)表）補(bǔ)充性質(zhì)(8)設(shè)y1＝logax，y2＝logbx，其中a>1，b>1(或0<a<1，0<b<1)，當(dāng)x>1時(shí)，“底大圖低”，即若a>b，則________；當(dāng)0<x<1時(shí)，“底大圖高”，即若a>b，則________y1＜y2y1＞y2練習(xí)2：函數(shù)f(x)＝log(a－1)x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.1<a<2D練習(xí)3：與函數(shù)

y＝x有相同圖象的一個(gè)函數(shù)是()【問題探究】1.比較下列兩組數(shù)的大小：(1)log108與log1015；(2)log0.50.9與log0.50.6.答案：(1)log1015>log108；(2)log0.50.6>log0.50.9.2.求下列函數(shù)的定義域：題型1求對數(shù)函數(shù)的定義域

答案：AA.(－1，＋∞)C.(－1,1)∪(1，＋∞)B.[－1，＋∞)D.[－1,1)∪(1，＋∞)答案：C

求一些具體函數(shù)的定義域，有分母的要保證分母不為零；開偶次方根的要保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；對數(shù)函數(shù)的要保證真數(shù)大于零，底數(shù)大于零，且不等于1.在求定義域的過程中，往往需要解不等式(組)，或利用函數(shù)的單調(diào)性.【變式與拓展】1.(2014年江蘇宿遷一模)函數(shù)f(x)＝lg(2x－3x)的定義域?yàn)開___________.(－∞，0)解析：要使函數(shù)有意義，則2x－3x>0，即2x>3x>0，題型2求對數(shù)函數(shù)的值域【例2】已知y＝log4(2x＋3－x2).(1)求y的定義域；(2)求y的單調(diào)區(qū)間；(3)求y的最大值，并求出對應(yīng)的x值.解：(1)由2x＋3－x2>0，解得－1<x<3.∴f(x)的定義域?yàn)閧x|－1<x<3}．(2)令u＝2x＋3－x2，則u>0，y＝log4u.由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4.再考慮定義域可知，其增區(qū)間是(－1,1)，減區(qū)間是[1,3)．又y＝log4u在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為[1,3)．(3)∵u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，∴y＝log4u≤log44＝1.故當(dāng)x＝1，u取最大值4時(shí)，y取最大值1.【變式與拓展】A2.函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域?yàn)?

)A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)C.(1，＋∞) D.[1，＋∞)解析：∵3x>0,3x＋1>1，∴l(xiāng)og2(3x＋1)>0.3.求下列函數(shù)的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；解：(1)y＝log2(x2＋4)的定義域是R.∵x2＋4≥4，∴l(xiāng)og2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域?yàn)閧y|y≥2}．題型3利用函數(shù)性質(zhì)比較大小【例3】比較下列三組數(shù)的大小：作y＝log7x與y＝log6x圖象，如圖2-2-1.圖2-2-1

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)對數(shù)的大小，常用的方法有：①若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接判斷；②若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進(jìn)行分類討論；③若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底，再進(jìn)行比較；④若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較，或利用對數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行判斷.【變式與拓展】DA.y<x<1B.x<y<1C.1<x<yD.1<y<x)C5.下列關(guān)系式成立的是(A.0.32＜log20.3＜20.3

B.0.32＜20.3＜log20.3C.log20.3＜0.32＜20.3

D.log20.3＜20.3＜0.32[方法·規(guī)律·小結(jié)]1.對數(shù)函數(shù)的概念.(1)同指數(shù)函數(shù)一樣，對數(shù)函數(shù)仍然采用形式定義，只有形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是對數(shù)函數(shù).(2)由于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的定義域是R，值域?yàn)?0，＋∞)，所以對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的定義域?yàn)?0，＋∞)，值域?yàn)镽，它們互為反函數(shù).2.比較兩個(gè)對數(shù)的大小的基本方法.(1)若底數(shù)相同，真數(shù)不同，可構(gòu)造相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)，利用其單調(diào)性比較大小.(2)若真數(shù)相同，底數(shù)不同，則可借助函數(shù)圖象，利用圖象在直線x＝1右側(cè)“底大圖低”的特點(diǎn)比較大小.(3)若底數(shù)、真數(shù)均不相同，則經(jīng)常借助中間值“0”或“1”比較大小.

3.對數(shù)運(yùn)算的實(shí)