第九節空間向量的坐標運算第九節空間向量的坐標運算知識自主·梳理知識自主·梳理最新考綱1.理解空間向量坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算．2．掌握用直角坐標計算空間向量數量積的公式；掌握空間兩點間的距離公式．3．理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內的射影等概念．高考熱點1.立體幾何解答題一般既可用向量(坐標)法，也可用傳統(綜合)法解決，主要考查平行、垂直、夾角、距離等問題．2．用向量的坐標運算、數量積的公式結合直線的方向向量、平面的法向量解題是高考的新動向.最新考綱1.理解空間向量坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算．1.空間直角坐標系．(1)單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量

，則這個基底叫單位正交基底，通常用{i，j，k}來表示．互相垂直且長都為11.空間直角坐標系．互相垂直且長都為1(2)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，如圖，以點O為原點，分別以i、j、k的方向為正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫

，這時我們說建立了一個

，點O叫原點，向量i、j、k都叫做

，通過每兩個坐標軸的平面叫

，分別稱xOy平面，yOz平面、zOx平面．作空間直角坐標系O－xyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.坐標軸空間直角坐標系O－xyz坐標向量坐標平面(2)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i(3)坐標：對于空間任一向量a，由空間向量的基本定理，存在唯一的有序實數組(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，則有序實數組(a1，a2，a3)叫做a在空間直角坐標系O－xyz中的

，記為a＝

．如上圖，對于空間任一點A，對應一個向量，于是存在唯一的有序實數組x，y，z，使＝xi＋yj＋zk，即點A的坐標為

．坐標(a1，a2，a3)(x，y，z)(3)坐標：對于空間任一向量a，由空間向量的基本定理，存在唯2．向量的直角坐標運算．設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則(1)a＋b＝；(2)a－b＝

；(3)a·b＝

；(a1＋b1，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b32．向量的直角坐標運算．(a1＋b1，a3＋b3)(a1－b高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件4．平面的法向量．如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的

．法向量4．平面的法向量．法向量1．類比平面向量，是掌握空間向量的最好方法，平面向量的加、減、數乘等坐標運算公式及運算律對空間向量仍然成立．雖然共面向量定理由兩個約束條件變為三個約束條件，坐標由兩個有序實數推廣到三個有序實數，但其運算規律實質上是一樣．例如，線段的定比分點坐標公式(包括中點坐標公式、重點坐標公式)在空間直角從標系中依然適用，有向線段表示向量的坐標仍然是終點坐標減去始點坐標，平行、垂直的充要條件，夾角、距離公式等仍然適用．重點辨析1．類比平面向量，是掌握空間向量的最好方法，平面向量的加、減方法規律·歸納方法規律·歸納題型一空間向量的坐標運算思維提示空間向量的坐標運算類似于平面向量的坐標運算，解決此類問題的關鍵是熟練應用公式，準確計算題型一空間向量的坐標運算思維提示空間向量的坐標運算類似于平面例1設向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，計算2a＋3b,3a－2b，a·b及a與b所成的角，并確定λ，μ的值，使λa＋μb與z軸垂直．例1設向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，計算2高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件[規律總結]

在利用向量知識具體解、證立體幾何問題時，主要有兩個思考方向：①利用空間向量基本定理：在所給的立體圖形中選擇三個不共面的基向量，將空間的任何一個向量用三個基向量通過向量的加、減、數乘運算法則表示，然后經過代數運算，達到計算或證明的目的．[規律總結]在利用向量知識具體解、證立體幾何問題時，主要有②建立空間直角坐標系：通過建立空間直角坐標系，將向量用坐標來表示，充分利用向量垂直、平行的充要條件及向量的數量積公式進行運算，達到計算或證明的目的.②建立空間直角坐標系：通過建立空間直角坐標系，將向量用坐標來高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件(4)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)，由[λ(a＋b)＋μ(a－b)]·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，∴λ－μ＝0，即當λ、μ滿足關系λ－μ＝0時，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)與z軸垂直.(4)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，題型二利用坐標法證明平行與垂直思維提示①平行問題?向量共線，注意重合②垂直問題?向量的數量積為零，注意零向量題型二利用坐標法證明平行與垂直思維提示①平行問題?向量共線，例2已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點(如右圖所示)．(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求證：B1F⊥平面AEF.例2已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角[分析]

(1)證明DE平行于平面ABC內的某一條直線；(2)證明B1F垂直于平面AEF內的兩條相交直線．[分析](1)證明DE平行于平面ABC內的某一條直線；[證明]

證法一：空間向量法如圖，建立空間直角坐標系．令AB＝AA1＝4，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．[證明]證法一：空間向量法高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件證法二：傳統幾何法(1)如圖，連結A1B，A1E，并延長A1E交AC的延長線于點P，連結BP.由E為C1C的中點，A1C1∥CP，可證A1E＝EP.因為D、E分別是A1B、A1P的中點，所以DE∥BP.又因為BP?平面ABC，DE?平面ABC，所以DE∥平面ABC.證法二：傳統幾何法高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件[規律總結]

(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．(2)證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明能夠在平面內找到一個向量與已知直線的方向向量共線；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線向量是共面向量．[規律總結](1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方(3)證明面面平行的方法：①轉化為線線平行、線面平行處理；②證明這兩個平面的法向量是共線向量．(4)證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．(5)證明線面垂直的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；②證明直線與平面內的兩個不共線的向量互相垂直．(6)證明面面垂直的方法：①轉化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直.(3)證明面面平行的方法：備選例題2如圖所示，在幾何體中，底面ABCD是邊長為6的正方形，△EAD是以E為直角頂點的等腰直角三角形，且垂直于底面，EF⊥平面EAD，EF＝3，若R是BC的中點，G、H是FB上的兩個三等分點．(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)求證：AG⊥FB，RH⊥FB.備選例題2如圖所示，在幾何體中，底面ABCD是邊長為6的高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件例3四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，點M、N分別在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.(1)求AM與PD所成的角；(2)求二面角P－AM－N的余弦值；(3)求直線CD與平面AMN所成角的余弦值．例3四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件(3)設α、β是二面角α－l－β的兩個平面，m，n分別是α、β的法向量，如果當m與n的起點都在二面角的面內，方向均指向二面角的內部或均指向二面角的外部，則這個二面角的大小就是π－〈m，n〉；如果m與n的方向一個指向二面角的內部，另一個指向二面角的外部，則這個二面角的大小就是〈m，n〉.(3)設α、β是二面角α－l－β的兩個平面，m，n分別是α、備選例題3

(2010·淄博市一模)如圖，三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB.(1)求證：AB⊥平面PCB；(2)求異面直線AP與BC所成角的大小；(3)求二面角C－PA－B的余弦值．備選例題3(2010·淄博市一模)如圖，三棱錐P－ABC中解：(1)證明：PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB，∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB.又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCB.解：(1)證明：PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件題型四利用坐標法求空間距離思維提示距離問題?向量的模，借助公式|a|＝或兩點間的距離公式，注意向量的垂直題型四利用坐標法求空間距離思維提示距離問題?向量的模，借助公例4已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分別為AB，BC的中點，(1)求點D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．例4已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且P高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件[規律總結]

利用向量的坐標運算求距離問題．(1)如圖①所示，點P是直線l外一點，A是直線l上一點，n是點P與直線l所確定的平面內垂直于l的一個向量，則點P到直線l的距離d＝[規律總結]利用向量的坐標運算求距離問題．高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件備選例題4設A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，求D到平面ABC的距離．備選例題4設A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件例如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(1)證明PA∥平面EDB；(2)證明PB⊥平面EFD.例如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱[解題思路]

如圖所示，建立空間直角坐標系，D為坐標原點．設DC＝a.[解題思路]如圖所示，建立空間直角坐標系，D為坐標原點．設高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件[錯因分析]

運用向量平行的充要條件解決立體幾何的平行問題時關鍵是能否建立恰當的坐標系，準確地用坐標表示向量，學生往往做不到這些而無從下手．[錯因分析]運用向量平行的充要條件解決立體幾何的平行問題時第九節空間向量的坐標運算第九節空間向量的坐標運算知識自主·梳理知識自主·梳理最新考綱1.理解空間向量坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算．2．掌握用直角坐標計算空間向量數量積的公式；掌握空間兩點間的距離公式．3．理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內的射影等概念．高考熱點1.立體幾何解答題一般既可用向量(坐標)法，也可用傳統(綜合)法解決，主要考查平行、垂直、夾角、距離等問題．2．用向量的坐標運算、數量積的公式結合直線的方向向量、平面的法向量解題是高考的新動向.最新考綱1.理解空間向量坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算．1.空間直角坐標系．(1)單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量

，則這個基底叫單位正交基底，通常用{i，j，k}來表示．互相垂直且長都為11.空間直角坐標系．互相垂直且長都為1(2)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，如圖，以點O為原點，分別以i、j、k的方向為正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫

，這時我們說建立了一個

，點O叫原點，向量i、j、k都叫做

，通過每兩個坐標軸的平面叫

，分別稱xOy平面，yOz平面、zOx平面．作空間直角坐標系O－xyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.坐標軸空間直角坐標系O－xyz坐標向量坐標平面(2)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i(3)坐標：對于空間任一向量a，由空間向量的基本定理，存在唯一的有序實數組(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，則有序實數組(a1，a2，a3)叫做a在空間直角坐標系O－xyz中的

，記為a＝

．如上圖，對于空間任一點A，對應一個向量，于是存在唯一的有序實數組x，y，z，使＝xi＋yj＋zk，即點A的坐標為

．坐標(a1，a2，a3)(x，y，z)(3)坐標：對于空間任一向量a，由空間向量的基本定理，存在唯2．向量的直角坐標運算．設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則(1)a＋b＝；(2)a－b＝

；(3)a·b＝

；(a1＋b1，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b32．向量的直角坐標運算．(a1＋b1，a3＋b3)(a1－b高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件4．平面的法向量．如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的

．法向量4．平面的法向量．法向量1．類比平面向量，是掌握空間向量的最好方法，平面向量的加、減、數乘等坐標運算公式及運算律對空間向量仍然成立．雖然共面向量定理由兩個約束條件變為三個約束條件，坐標由兩個有序實數推廣到三個有序實數，但其運算規律實質上是一樣．例如，線段的定比分點坐標公式(包括中點坐標公式、重點坐標公式)在空間直角從標系中依然適用，有向線段表示向量的坐標仍然是終點坐標減去始點坐標，平行、垂直的充要條件，夾角、距離公式等仍然適用．重點辨析1．類比平面向量，是掌握空間向量的最好方法，平面向量的加、減方法規律·歸納方法規律·歸納題型一空間向量的坐標運算思維提示空間向量的坐標運算類似于平面向量的坐標運算，解決此類問題的關鍵是熟練應用公式，準確計算題型一空間向量的坐標運算思維提示空間向量的坐標運算類似于平面例1設向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，計算2a＋3b,3a－2b，a·b及a與b所成的角，并確定λ，μ的值，使λa＋μb與z軸垂直．例1設向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，計算2高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件[規律總結]

在利用向量知識具體解、證立體幾何問題時，主要有兩個思考方向：①利用空間向量基本定理：在所給的立體圖形中選擇三個不共面的基向量，將空間的任何一個向量用三個基向量通過向量的加、減、數乘運算法則表示，然后經過代數運算，達到計算或證明的目的．[規律總結]在利用向量知識具體解、證立體幾何問題時，主要有②建立空間直角坐標系：通過建立空間直角坐標系，將向量用坐標來表示，充分利用向量垂直、平行的充要條件及向量的數量積公式進行運算，達到計算或證明的目的.②建立空間直角坐標系：通過建立空間直角坐標系，將向量用坐標來高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件(4)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)，由[λ(a＋b)＋μ(a－b)]·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，∴λ－μ＝0，即當λ、μ滿足關系λ－μ＝0時，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)與z軸垂直.(4)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，題型二利用坐標法證明平行與垂直思維提示①平行問題?向量共線，注意重合②垂直問題?向量的數量積為零，注意零向量題型二利用坐標法證明平行與垂直思維提示①平行問題?向量共線，例2已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點(如右圖所示)．(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求證：B1F⊥平面AEF.例2已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角[分析]

(1)證明DE平行于平面ABC內的某一條直線；(2)證明B1F垂直于平面AEF內的兩條相交直線．[分析](1)證明DE平行于平面ABC內的某一條直線；[證明]

證法一：空間向量法如圖，建立空間直角坐標系．令AB＝AA1＝4，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．[證明]證法一：空間向量法高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件證法二：傳統幾何法(1)如圖，連結A1B，A1E，并延長A1E交AC的延長線于點P，連結BP.由E為C1C的中點，A1C1∥CP，可證A1E＝EP.因為D、E分別是A1B、A1P的中點，所以DE∥BP.又因為BP?平面ABC，DE?平面ABC，所以DE∥平面ABC.證法二：傳統幾何法高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件[規律總結]

(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．(2)證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明能夠在平面內找到一個向量與已知直線的方向向量共線；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線向量是共面向量．[規律總結](1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方(3)證明面面平行的方法：①轉化為線線平行、線面平行處理；②證明這兩個平面的法向量是共線向量．(4)證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．(5)證明線面垂直的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；②證明直線與平面內的兩個不共線的向量互相垂直．(6)證明面面垂直的方法：①轉化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直.(3)證明面面平行的方法：備選例題2如圖所示，在幾何體中，底面ABCD是邊長為6的正方形，△EAD是以E為直角頂點的等腰直角三角形，且垂直于底面，EF⊥平面EAD，EF＝3，若R是BC的中點，G、H是FB上的兩個三等分點．(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)求證：AG⊥FB，RH⊥FB.備選例題2如圖所示，在幾何體中，底面ABCD是邊長為6的高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件例3四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，點M、N分別在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.(1)求AM與PD所成的角；(2)求二面角P－AM－N的余弦值；(3)求直線CD與平面AMN所成角的余弦值．例3四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件高考數學理一輪復習-9-9空間向量的坐標運算課件(3)設α、β是二面角α－l－β的兩個平面，m，n分別是α、β的法向量，如果當m與n的起點都在二面角的面內，方向均指向二面角的內部或均指向二面角的外部，則這個二面角的大小就是π－〈m，n〉；如果m與n的方向一個指向二面角的內部，另一個指向二面角的外部，則這個二面角的大小就是〈m，n〉.(3)設α、β是二面角α－l－β的兩個平面，m，n分別是α、備選例題3

(2010·淄博市一模)如圖，三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB.(1)求證：AB⊥平面PCB；(2)求異面直線AP與BC所成角的大小；(3)求二面角C－PA－B的余弦值．備選例題3(2010·淄博市一模)如圖，三棱錐P－ABC中解：(1)證明：PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB，∵C