實驗一隨機數的產生及蒙特卡洛隨機模擬方法實驗一1實驗目的實驗內容學習隨機數的產生及蒙特卡洛隨機模擬方法的基本過程與方法。實驗作業2、蒙特卡洛隨機模擬實例。1、產生隨機數的計算機命令。實驗目的實驗內容學習隨機數的產生及蒙特卡洛隨機模擬方法實驗作2數學模擬的方法

在實際問題中，面對一些帶隨機因素的復雜系統，用分析方法建模常常需要作許多簡化假設，與面臨的實際問題可能相差甚遠，以致解答根本無法應用。這時，計算機模擬幾乎成為唯一的選擇。

在一定的假設條件下，運用數學運算模擬系統的運行，稱為數學模擬?，F代的數學模擬都是在計算機上進行的，稱為計算機模擬。

計算機模擬可以反復進行，改變系統的結構和系數都比較容易。數學模擬的方法在實際問題中，面對一些帶隨機因素的復雜3一、隨機數的產生一、隨機數的產生4一）產生模擬隨機數的計算機命令

在Matlab軟件中，可以直接產生滿足各種分布的隨機數，命令如下：1．產生m*n階(a，b)均勻分布U(a，b)的隨機數矩陣：unifrnd(a,b,m,n)產生一個[a，b]均勻分布的隨機數：unifrnd(a,b)

當只知道一個隨機變量取值在（a，b）內，但不知道（也沒理由假設）它在何處取值的概率大，在何處取值的概率小，就只好用U（a，b）來模擬它。一）產生模擬隨機數的計算機命令在Matlab軟件中，52．產生mm*nn階離散均勻分布的隨機數矩陣：R=unidrnd(N)R=unidrnd(N,mm,nn)2．產生mm*nn階離散均勻分布的隨機數矩陣：6當研究對象視為大量相互獨立的隨機變量之和，且其中每一種變量對總和的影響都很小時，可以認為該對象服從正態分布。當研究對象視為大量相互獨立的隨機變量之和，且其中每一種變量對7若連續型隨機變量X的概率密度函數為其中>0為常數，則稱X服從參數為的指數分布。指數分布的期望值為

若連續型隨機變量X的概率密度函數為指數分布的期望值為8排隊服務系統中顧客到達間隔、質量與可靠性中電子元件的壽命通常服從指數分布。例顧客到達某商店的間隔時間服從參數為10(分鐘)的指數分布(指數分布的均值為10)-----指兩個顧客到達商店的平均間隔時間是10分鐘.即平均10分鐘到達1個顧客.顧客到達的間隔時間可用exprnd(10)模擬。排隊服務系統中顧客到達間隔、質量與可靠性中電子元件的壽命通常9設離散型隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個值的概率為其中>0為常數，則稱X服從參數為的泊松分布。泊松分布在排隊系統、產品檢驗、天文、物理等領域有廣泛應用。泊松分布的期望值為設離散型隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個值106產生1個參數為n,p的二項分布的隨機數binornd(n,p)，產生mn個參數為n,p的二項分布的隨機數binornd(n,p,m,n)。擲一枚均勻硬幣，正面朝上的次數X服從參數為１，p的二項分布,X~B(1,p)6產生1個參數為n,p的二項分布的隨機數binornd(n11總結：常見分布的隨機數產生語句總結：常見分布的隨機數產生語句12補充：隨機數的產生命令MATLAB可以直接產生滿足各種分布的隨機數具體命令如下:①產生m×n階[0,1]上均勻分布的隨機數矩陣rand(m,n)產生一個[0,1]上均勻分布的隨機數rand②產生m×n階[a,b]上均勻分布的隨機數矩陣

unifrnd(a,b,m,n)產生一個[a,b]上均勻分布的隨機數

unifrnd(a,b)③產生一個1:n的隨機排列(元素均出現且不重復)p=randperm(n)注意:randperm(6)與unifrnd(1,6,1,6)的區別補充：隨機數的產生命令13④產生m×n階均值為mu方差為sigma的正態分布的隨機數矩陣normrnd(mu,sigma,m,n)產生一個均值為mu方差為sigma的正態分布的隨機數normrnd(mu,sigma)⑤產生m×n階期望值為mu(mu=1/λ)的指數分布的隨機數矩陣exprnd(mu,m,n)產生一個期望值為mu的指數分布的隨機數

exprnd(mu)注意:產生一個參數為λ的指數分布的隨機數應輸入exprnd(1/λ)④產生m×n階均值為mu方差為sigma的正態分布的隨機數14⑥

產生m×n階參數為A1,A2,A3的指定分布'name'的隨機數矩陣random('name',A1,A2,A3,m,n)產生一個參數為為A1,A2,A3的指定分布'name'的隨機數random('name',A1,A2,A3)舉例:產生2×4階的均值為0方差為1的正態分布的隨機數矩陣random('Normal',0,1,2,4)'name'的取值可以是(詳情參見helprandom)：'norm'or'Normal'/'unif'or'Uniform''poiss'or'Poisson'/'beta'or'Beta''exp'or'Exponential'/'gam'or'Gamma''geo'or'Geometric'/'unid'or'DiscreteUniform'……⑥產生m×n階參數為A1,A2,A3的指定分布'name'15二、蒙特卡羅隨機模擬二、蒙特卡羅隨機模擬16

蒙特卡洛（MonteCarlo）方法是一種應用隨機數來進行計算機模擬的方法．此方法對研究的系統進行隨機觀察抽樣，通過對樣本值的統計分析，求得所研究系統的某些參數．蒙特卡洛（MonteCarlo）方法是一種應用17用蒙特卡洛方法進行計算機模擬的步驟：[1]設計一個邏輯框圖，即模擬模型．這個框圖要正確反映系統各部分運行時的邏輯關系。[2]模擬隨機現象．可通過具有各種概率分布的模擬隨機數來模擬隨機現象．用蒙特卡洛方法進行計算機模擬的步驟：[1]設計一個邏輯框圖18一）頻率的穩定性模擬

1.事件的頻率在一組不變的條件下，重復作n次試驗，記m是n次試驗中事件A發生的次數。頻率f=m/n2.頻率的穩定性

擲一枚均勻硬幣，記錄擲硬幣試驗中頻率P*的波動情況。一）頻率的穩定性模擬1.事件的頻率2.頻率的穩定性擲一枚19functionliti1(p,mm)pro=zeros(1,mm);randnum=binornd(1,p,1,mm)a=0;fori=1:mma=a+randnum(1,i);pro(i)=a/i;endpro=pronum=1:mm;plot(num,pro)在Matlab中編輯.m文件如下：functionliti1(p,mm)在Matlab中編輯20在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1021在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,10000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1022練習擲一枚不均勻硬幣，正面出現概率為0.3，記錄前1000次擲硬幣試驗中正面頻率的波動情況，并畫圖。練習擲一枚不均勻硬幣，正面出現概率為0.3，記錄前1000次23在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.3,1000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.3,1024

二）幾何概率模擬1.定義

向任一可度量區域G內投一點，如果所投的點落在G中任意可度量區域g內的可能性與g的度量成正比，而與g的位置和形狀無關，則稱這個隨機試驗為幾何型隨機試驗?；蚝喎Q為幾何概型。二）幾何概率模擬1.定義向任一可度量區域G內投一點，如果252.概率計算

P(A)=[A的度量]/[S的度量]例5兩人約定于12點到1點到某地會面，先到者等20分鐘后離去，試求兩人能會面的概率？

解：設x,y分別為甲、乙到達時刻(分鐘)令A={兩人能會面}={(x,y)||x-y|≤20，x≤60,y≤60}P(A)=A的面積/S的面積=（602-402）/602=5/9=0.55562.概率計算P(A)=[A的度量]/[S的度量]例526functionproguji=liti5(mm)%mm是隨機實驗次數frq=0;randnum1=unifrnd(0,60,mm,1);randnum2=unifrnd(0,60,mm,1);randnum=randnum1-randnum2;proguji=0;forii=1:mmifabs(randnum(ii,1))<=20frq=frq+1;endendproguji=frq/mmliti5(10000)proguji=0.5557在Matlab中編輯.m文件如下：functionproguji=liti5(mm)%mm27三）蒲豐投針實驗：法國科學家蒲豐(Buffon)在1777年提出的蒲豐投針實驗是早期幾何概率一個非常著名的例子。蒲豐投針實驗的重要性并非是為了求得比其它方法更精確的π值，而是它開創了使用隨機數處理確定性數學問題的先河，是用偶然性方法去解決確定性計算的前導，由此可以領略到從“概率土壤”上開出的一朵瑰麗的鮮花——蒙特卡羅方法(MC)蒲豐投針實驗可歸結為下面的數學問題：平面上畫有距離為a的一些平行線，向平面上任意投一根長為l(l<a)的針，假設針落在任意位置的可能性相同，試求針與平行線相交的概率P(從而求π)三）蒲豐投針實驗：28蒲豐投針實驗：如右圖所示，以M表示針落下后的中點，以x表示M到最近一條平行線的距離，以φ表示針與此線的交角：針落地的所有可能結果滿足：其樣本空間視作矩形區域Ω,面積是:針與平行線相交的條件：它是樣本空間Ω子集A，面積是：積分計算symslphi;int('l/2*sin(phi)',phi,0,pi);%ans=l因此，針與平行線相交的概率為：從而有：特別當時p為統計頻率蒲豐投針實驗：29蒲豐投針實驗的計算機模擬：formatlong;a=1;

l=0.6;

%顯示精度,線寬和針長figure;axis([0,pi,0,a/2]);%初始化繪圖板set(gca,'nextplot','add');%初始化繪圖方式為疊加counter=0;

n=2010;

%初始化計數器和設定投針次數x=unifrnd(0,a/2,1,n);phi=unifrnd(0,pi,1,n);

%樣本空間Ωfori=1:nifx(i)<l*sin(phi(i))/2

%滿足此條件表示針與線的相交

plot(phi(i),x(i),'r.');frame(i)=getframe;%描點并取幀title(['CurrentPoint',num2str(i),'Total',num2str(n)]);

counter=counter+1;%統計針與線相交的次數endendfren=counter/n;

pihat=2*l/(a*fren)

%用頻率近似計算π%movie(frame,1)%播放幀動畫1次蒲豐投針實驗的計算機模擬：30蒲豐投針實驗計算圓周率π蒙特卡羅投點法是蒲豐投針實驗的推廣：在一個邊長為a的正方形內隨機投點，該點落在此正方形的內切圓中的概率應為該內切圓與正方形的面積比值，即n=10000;a=2;m=0;fori=1:nx=rand(1)*a;y=rand(1)*a;if((x-a/2)^2+(y-a/2)^2<=(a/2)^2)m=m+1;endenddisp(['投點法近似計算的π為:',num2str(4*m/n)]);xyo(a/2,a/2)xyo蒲豐投針實驗計算圓周率π蒙特卡羅投點法是蒲豐投針實驗的推廣：31作業：1.擲兩枚不均勻硬幣，每枚正面出現概率為0.4，記錄前1000次擲硬幣試驗中兩枚都為正面頻率的波動情況，并畫圖。2:兩船欲?？客粋€碼頭,設兩船到達碼頭的時間各不相干，而且到達碼頭的時間在一晝夜內是等可能的.如果兩船到達碼頭后需在碼頭停留的時間分別是1小時與2小時，試求在一晝夜內，任一船到達時，需要等待空出碼頭的概率.（頻率估計概率）作業：1.擲兩枚不均勻硬幣，每枚正面出現概率為0.4，記錄前32實驗一隨機數的產生及蒙特卡洛隨機模擬方法實驗一33實驗目的實驗內容學習隨機數的產生及蒙特卡洛隨機模擬方法的基本過程與方法。實驗作業2、蒙特卡洛隨機模擬實例。1、產生隨機數的計算機命令。實驗目的實驗內容學習隨機數的產生及蒙特卡洛隨機模擬方法實驗作34數學模擬的方法

在實際問題中，面對一些帶隨機因素的復雜系統，用分析方法建模常常需要作許多簡化假設，與面臨的實際問題可能相差甚遠，以致解答根本無法應用。這時，計算機模擬幾乎成為唯一的選擇。

在一定的假設條件下，運用數學運算模擬系統的運行，稱為數學模擬?，F代的數學模擬都是在計算機上進行的，稱為計算機模擬。

計算機模擬可以反復進行，改變系統的結構和系數都比較容易。數學模擬的方法在實際問題中，面對一些帶隨機因素的復雜35一、隨機數的產生一、隨機數的產生36一）產生模擬隨機數的計算機命令

在Matlab軟件中，可以直接產生滿足各種分布的隨機數，命令如下：1．產生m*n階(a，b)均勻分布U(a，b)的隨機數矩陣：unifrnd(a,b,m,n)產生一個[a，b]均勻分布的隨機數：unifrnd(a,b)

當只知道一個隨機變量取值在（a，b）內，但不知道（也沒理由假設）它在何處取值的概率大，在何處取值的概率小，就只好用U（a，b）來模擬它。一）產生模擬隨機數的計算機命令在Matlab軟件中，372．產生mm*nn階離散均勻分布的隨機數矩陣：R=unidrnd(N)R=unidrnd(N,mm,nn)2．產生mm*nn階離散均勻分布的隨機數矩陣：38當研究對象視為大量相互獨立的隨機變量之和，且其中每一種變量對總和的影響都很小時，可以認為該對象服從正態分布。當研究對象視為大量相互獨立的隨機變量之和，且其中每一種變量對39若連續型隨機變量X的概率密度函數為其中>0為常數，則稱X服從參數為的指數分布。指數分布的期望值為

若連續型隨機變量X的概率密度函數為指數分布的期望值為40排隊服務系統中顧客到達間隔、質量與可靠性中電子元件的壽命通常服從指數分布。例顧客到達某商店的間隔時間服從參數為10(分鐘)的指數分布(指數分布的均值為10)-----指兩個顧客到達商店的平均間隔時間是10分鐘.即平均10分鐘到達1個顧客.顧客到達的間隔時間可用exprnd(10)模擬。排隊服務系統中顧客到達間隔、質量與可靠性中電子元件的壽命通常41設離散型隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個值的概率為其中>0為常數，則稱X服從參數為的泊松分布。泊松分布在排隊系統、產品檢驗、天文、物理等領域有廣泛應用。泊松分布的期望值為設離散型隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個值426產生1個參數為n,p的二項分布的隨機數binornd(n,p)，產生mn個參數為n,p的二項分布的隨機數binornd(n,p,m,n)。擲一枚均勻硬幣，正面朝上的次數X服從參數為１，p的二項分布,X~B(1,p)6產生1個參數為n,p的二項分布的隨機數binornd(n43總結：常見分布的隨機數產生語句總結：常見分布的隨機數產生語句44補充：隨機數的產生命令MATLAB可以直接產生滿足各種分布的隨機數具體命令如下:①產生m×n階[0,1]上均勻分布的隨機數矩陣rand(m,n)產生一個[0,1]上均勻分布的隨機數rand②產生m×n階[a,b]上均勻分布的隨機數矩陣

unifrnd(a,b,m,n)產生一個[a,b]上均勻分布的隨機數

unifrnd(a,b)③產生一個1:n的隨機排列(元素均出現且不重復)p=randperm(n)注意:randperm(6)與unifrnd(1,6,1,6)的區別補充：隨機數的產生命令45④產生m×n階均值為mu方差為sigma的正態分布的隨機數矩陣normrnd(mu,sigma,m,n)產生一個均值為mu方差為sigma的正態分布的隨機數normrnd(mu,sigma)⑤產生m×n階期望值為mu(mu=1/λ)的指數分布的隨機數矩陣exprnd(mu,m,n)產生一個期望值為mu的指數分布的隨機數

exprnd(mu)注意:產生一個參數為λ的指數分布的隨機數應輸入exprnd(1/λ)④產生m×n階均值為mu方差為sigma的正態分布的隨機數46⑥

產生m×n階參數為A1,A2,A3的指定分布'name'的隨機數矩陣random('name',A1,A2,A3,m,n)產生一個參數為為A1,A2,A3的指定分布'name'的隨機數random('name',A1,A2,A3)舉例:產生2×4階的均值為0方差為1的正態分布的隨機數矩陣random('Normal',0,1,2,4)'name'的取值可以是(詳情參見helprandom)：'norm'or'Normal'/'unif'or'Uniform''poiss'or'Poisson'/'beta'or'Beta''exp'or'Exponential'/'gam'or'Gamma''geo'or'Geometric'/'unid'or'DiscreteUniform'……⑥產生m×n階參數為A1,A2,A3的指定分布'name'47二、蒙特卡羅隨機模擬二、蒙特卡羅隨機模擬48

蒙特卡洛（MonteCarlo）方法是一種應用隨機數來進行計算機模擬的方法．此方法對研究的系統進行隨機觀察抽樣，通過對樣本值的統計分析，求得所研究系統的某些參數．蒙特卡洛（MonteCarlo）方法是一種應用49用蒙特卡洛方法進行計算機模擬的步驟：[1]設計一個邏輯框圖，即模擬模型．這個框圖要正確反映系統各部分運行時的邏輯關系。[2]模擬隨機現象．可通過具有各種概率分布的模擬隨機數來模擬隨機現象．用蒙特卡洛方法進行計算機模擬的步驟：[1]設計一個邏輯框圖50一）頻率的穩定性模擬

1.事件的頻率在一組不變的條件下，重復作n次試驗，記m是n次試驗中事件A發生的次數。頻率f=m/n2.頻率的穩定性

擲一枚均勻硬幣，記錄擲硬幣試驗中頻率P*的波動情況。一）頻率的穩定性模擬1.事件的頻率2.頻率的穩定性擲一枚51functionliti1(p,mm)pro=zeros(1,mm);randnum=binornd(1,p,1,mm)a=0;fori=1:mma=a+randnum(1,i);pro(i)=a/i;endpro=pronum=1:mm;plot(num,pro)在Matlab中編輯.m文件如下：functionliti1(p,mm)在Matlab中編輯52在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1053在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,10000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1054練習擲一枚不均勻硬幣，正面出現概率為0.3，記錄前1000次擲硬幣試驗中正面頻率的波動情況，并畫圖。練習擲一枚不均勻硬幣，正面出現概率為0.3，記錄前1000次55在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.3,1000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.3,1056

二）幾何概率模擬1.定義

向任一可度量區域G內投一點，如果所投的點落在G中任意可度量區域g內的可能性與g的度量成正比，而與g的位置和形狀無關，則稱這個隨機試驗為幾何型隨機試驗?；蚝喎Q為幾何概型。二）幾何概率模擬1.定義向任一可度量區域G內投一點，如果572.概率計算

P(A)=[A的度量]/[S的度量]例5兩人約定于12點到1點到某地會面，先到者等20分鐘后離去，試求兩人能會面的概率？

解：設x,y分別為甲、乙到達時刻(分鐘)令A={兩人能會面}={(x,y)||x-y|≤20，x≤60,y≤60}P(A)=A的面積/S的面積=（602-402）/602=5/9=0.55562.概率計算P(A)=[A的度量]/[S的度量]例558functionproguji=liti5(mm)%mm是隨機實驗次數frq=0;randnum1=unifrnd(0,60,mm,1);randnum2=unifrnd(0,60,mm,1);randnum=randnum1-randnum2;proguji=0;forii=1:mmifabs(randnum(ii,1))<=20frq=frq+1;endendproguji=frq/mmliti5(10000)proguji=0.5557在Matlab中編輯.m文件如下：functionproguji=liti5(mm)%mm59三）蒲豐投針實驗：法國科學家蒲豐(Buffon)在1777年提出的蒲豐投針實驗是早期幾何概率一個非常著名的例子。蒲豐投針實驗的重要性并非是為了求得比其它方法更精確的π值，而是它開創了使用隨機數處理確定性數學問題的先河，是用偶然性方法去解決確定性計算的前導，由此可以領略到從“概率土壤”上開出的一朵瑰麗的鮮花——蒙特卡羅方法(MC)蒲豐投針實驗可歸結為下面的數學問題：平面上畫有距離為a的一些平行線，向平面上任意投一根長為l(l<a)的針，假設針落在任意位置的可能性相同，試求針與平行線相交的概率P(從而求π)三）蒲豐投針實驗：60蒲豐投針實驗：如右圖所示，以M表示針落下后的中點，以x表示M到最近一條平行線的距離，以φ表示針與此線的交角：針落地的所有可能結果滿足：其樣本空間視作矩形區域Ω,面積是:針與平行線相交的條件：它是樣本空間Ω子集A，面積是：積分計算symslphi;int('l/2*sin(phi)