4.2.2組合與組合數數學理4.2.2組合與組合數數學理1

問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？

問題二：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙.3兩個問題有什么聯系和區別？問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加2

從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,并成一組問題二

從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一列.問題一排列組合有順序無順序從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,并成一組問題3組合定義:

一般地,從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.排列與組合有什么共同點與不同點？組合的特征：（1）每個組合中元素互不相同；（2）“只取不排”——無序性；（3）組合相同即元素相同；

（4）排列與組合問題共同點是“從n個不同元素中任意取出m（m≤n）個元素”，不同點是前者要“按照一定的順序排成一列”，而后者是“不管順序并成一組”；若元素的位置對結果產生影響,則是排列,否則,是組合.例如ab與ba是不同的排列，但是相同的組合組合定義:一般地,從n個不同元素中取出m（m4組合數

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數如何計算這個組合數呢？C是英文Combination的首字母組合數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素5組合abcabdacdbcd排列abcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb第一步第二步×=從a,b,c,d這四個字母中選三個的組合與排列的關系：組合abcabdacdbcd排列a6

求從n個不同元素中取出m個元素的排列數,

第1步,從這n個不同元素中取出m個元素,共有種不同的取法;Cnm可看作以下2個步驟得到:

第2步,將取出的m個元素做全排列,共有種不同的排法.Anm求從n個不同元素中取出m個元素的排列數,7n,m∈N*,并且m≤n.組合數公式規定：Cn0=1n,m∈N*,并且m≤n.組合數公式規定：Cn0=18例1．計算：（1）

例1．計算：（1）9組合數的兩個性質性質1：性質2：例3計算：（1）和（2）和

組合數的兩個性質性質1：性質2：例3計算：（1）和（2）和10

例1一位教練的足球隊共有17名初級學員,他們中以前沒有一人參加過比賽,按照足球比賽規則,比賽時一個足球隊的上場隊員是11人.問:簡單的組合問題(1)這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上場方案?(2)如果在選出11名上場隊員時,還要確定其中的守門員,那么教練員有多少種方式做這件事情?(1)沒有角色差異共有(2)分兩步完成這件事第1步,從17名學員中選出11人上場第2步,從上場的11人中選1名守門員例1一位教練的足球隊共有17名初級學員,11

例2(1)平面內有10個點,以其中每2個點為端點的線段共有多少條?10個不同元素中取2個元素的組合數.

10個不同元素中取2個元素的排列數.(2)平面內有10個點,以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條?例2(1)平面內有10個點,以其中每2個12

例3(1)有4本不同的書，一個人去借，至少借一本，則有多少種不同的借法？

(2)有13本不同的書，其中小說6本，散文4本，詩歌3本，某人借6本，其中有3本小說，2本散文，1本詩歌，問有幾種借法？(1)解：此人所借的書可以是一本，二本，三本，四本（本）(2)解：分三個步驟完成，共有（種）例3(1)有4本不同的書，一個人去借13

練習在100件產品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產品中任意抽出3件(1)有多少種不同的抽法?100個不同元素中取3個元素的組合數(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?從2件次品中抽出1件次品的抽法有從98件合格品中抽出2件的抽法有練習在100件產品中,有98件合格品,214

練習在100件產品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產品中任意抽出3件(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?法1含1件次品或含2件次品法2100件中抽3件減98件合格品中抽3件練習在100件產品中,有98件合格品,215①主要學習了組合、組合數的概念。②利用組合和排列的關系得到了組合數公式。n個不同元素m個元素m個元素的全排列第一步組合第二步排列課堂小結：①主要學習了組合、組合數的概念。②利用組合和排列的關系得到了161某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的組合中：含有附加條件的組合問題：例1

一個口袋內裝有大小不同的7個白球和1個黑球，⑴從口袋內取出3個球，共有多少種取法？⑵從口袋內取出3個球,含有1個黑球,有多少種取法?⑶從口袋內取出3個球,使其中不含黑球,有多少種取法？或1某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的組合中：含有附加17按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當選；（2）甲、乙、丙三人不能當選；（3）甲必須當選，乙、丙不能當選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當選；例2按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？例218（1）（2）（3）（4），或（5）（6）

例3在產品檢驗中,常從產品中抽出一部分進行檢查.現有100件產品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件進行檢查,根據下列各種要求,各有多少種不同的抽法？(2)全是正品；(1)無任何限制條件；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.（1）（2）（3）（4），或（5）（6）例319

例4

平面上有五個藍點和七個紅點，其中有三個紅點與兩個藍點在同一條直線上，除此以外，再無三點共線，問過兩個不同顏色的點，共可作多少條直線？2某些特殊元素有特殊歸類問題：解法一：（直接法）設五個點所在直線為l，分為兩類：(1)過l上的三個紅點：可與l外的三個藍點各連一條直線,有條，又與l上的兩個藍點只連一條直線，可連條(2)過l外的四個紅點：可與五個藍點各連一條直線，有條共可連（條）例4平面上有五個藍點和七個紅點，其中有三個20

例4

平面上有五個藍點和七個紅點，其中有三個紅點與兩個藍點在同一條直線上，除此以外，再無三點共線，問過兩個不同顏色的點，共可作多少條直線？解法二：（間接法）不考慮五點共線，有其中共線的五個點可連條，條而這條只能是一條共可連（條）

說明：本例是某些特殊元素有特殊歸類的問題，即題中共線的五個點，只能作一條直線．例4平面上有五個藍點和七個紅點，其中有三個紅點與21例3由數1、2、3、4可組成多少個不同的和？3組合中的有重復問題：解：選兩個數相加有選三個數相加有選四個數相加有但1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4．（個）．例3由數1、2、3、4可組成多少個不同的和？3組合中的有22例4以正方體的四個頂點為頂點可以確定多少個三棱錐？解法一：上三下一下三上一上二下二其中共面的有４個側面和6個對角面，∴共有解法二：從正方體的8個頂點中任選4個有種，其中共面的有6個面和6個對角面，∴共有（種）例4以正方體的四個頂點為頂點可以確定多少個三棱錐？解法一23．5“名額分配”問題：

例1．有10個參加數學競賽的名額,要分給7所學校,每校至少一個名額,有多少種不同的名額分配方法？解：先將10個名額中的7個名額分給7個學校每校一個，則轉化為剩下的三個名額如何分配的問題，可分三類方法.第一類:選三個學校,每個學校一個名額,分配方法數第二類:選兩個學校,決定哪個學校分別給一個或兩個名額，分配方法種數為第三類:選一個學校,三個名額都給該校,分配方法種數為所以不同的名額分配方法種數為．5“名額分配”問題：例1．有10個24則“擋板”的一種插法恰好對應10個名額的一種分配方法,解法二：注意到10個名額之間是沒有差別的，設想將10個名額排成一排，每兩個“相鄰”的名額間形成一個空隙，如下圖示：”表示名額間形成的空隙，“○”表示相同的名額，“

設想在這幾個空隙中插入六塊“擋板”,則將這10個名額分割成七個部分，

將第一、二、三、…、七個部分所包含的名額數分給第一、二、三、…、七所學校，反之，名額的一種分配方法也決定了檔板的一種插法，即擋板的插法種數與名額的分配方法種數是相等的，為則“擋板”的一種插法恰好對應10個名額的一種分配方法,解法二25實際上，解法一是更為基本的解決問題的辦法本題的解法二所用的方法一般稱為“擋板法”，用于建立相同元素與確定的不同位置間的對應關系，而且每個位置至少應分配一個元素．與解法一相比，擋板法比較簡捷，但不如解法一易于理解．實際上，解法一是更為基本的解決問題的辦法本題的解法二所用的26

解：⑴在五個1之間添加兩個加號，添加的方法種數就等于方程解的個數．故有

每一個均加1，然后再均減1．則可以將原來的問題理解為：求例2．已知方程，求⑴有多少組正整數解？⑵有多少組非負整數解？．解：此問題則可以解釋為：先將的正整數解個數，同（1），則解：⑴在五個1之間添加兩個加號，添加的方法種27

例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有多少種．1．注意區別“恰好”與“至少”

例從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有多少種．2．特殊元素（或位置）優先安排

例將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有種．3．“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”方法回顧例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲285“分組”問題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？例1有6本不同的書（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少種不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本,

有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？5“分組”問題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種29

例對某種產品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進行測試，至區分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時全部發現,則這樣的測試方法有種可能？4．混合問題，先“組”后“排”

（1）今有10件不同獎品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法?

（2）今有10件不同獎品,從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少種分法?

（3）今有10件不同獎品,從中選6件分成三份,每份2件,有多少種分法?5．分清排列、組合、等分的算法區別例對某種產品的6件不同的正品和4件不同的30

例1從6個學校中選出30名學生參加數學競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?6、分類組合,隔板處理

例2.要從7個班中選10人參加數學競賽，每班至少1人，共有多少種不同的選法？可按班選出的人數進行分類，或用插板法求解．解法一：共分三類：第一類，一個班出4人，6個班各出1人，有C71種；第二類，有2個班分別出2人，3人，其余5個班各出1人有A72

種；第三類，有3個班各出2人，其余4個班各出1人，共有種．有C73

種，C71+A72+C73=84例1從6個學校中選出30名學生參加數學競31

注意：本題易把10個名額看成10個不同的元素，從而得出錯誤的結果．

解法二：將10人看成10個元素，這樣元素之間共有9個空（兩端不計）；

例1從6個學校中選出30名學生參加數學競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?C96

從這9個空位里任選6個（即這6個位置放入隔板，將其分為七部分），有種放法，如△|△△|△|△|△△△|△|△表示什么意義？

它表示表示第1個班1人，第2個班2人，第3個班1人，第4個班1人，第5個班3人，第6、7個班各1人．注意：本題易把10個名額看成10個不同的元素32排列與組合的綜合問題

解排列組合問題，要正確使用分類計數原理和分步計數原理、排列定義和組合定義，其次，對一些復雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法：解題思路：1特殊(元素,位置)優先法:2科學分類法：3插空法：4捆綁法：5“分組”問題：6隔板處理排列與組合的綜合問題解排列組合問題，要正確使33(4)某女生一定要擔任語文科代表,某男生必須擔任科代表,但不擔任數學科代表．1特殊(元素,位置)優先法:

對于特殊元素或者特殊位置的排列組合問題,我們可以從這些特殊的東西入手,先解決特殊元素或特殊位置,再去解決其它元素或位置,這種解法叫做特殊優先法.

例1:有5個男生和3個女生，從中選取5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數：(3)某男生必須包括在內,但不擔任數學科代表．(2)某女生一定要擔任語文科代表．(1)有女生但人數必須少于男生．＝5400種=360種．(4)某女生一定要擔任語文科代表,某男生必須擔任科代1特34前4次中應有1件正品、3件次品，有種，

例2對某種產品的6件不同正品和4件不同次品一一進行測試，至區分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時被全部發現，則這樣的測試方法有多少種可能?解：第5次必測出一次品，余下3件次品在前4次被測出，從4件中確定最后一件次品有種方法，前4次測試中的順序有種，··＝576。前4次中應有1件正品、3件次品，有種，35

對于較復雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對各種不同情況，進行科學分類，以便有條不紊地進行解答，避免重復或遺漏現象發生

例1從6名短跑運動員中選4人參加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問共有多少種參賽方法？2科學分類法：解法一：問題分成三類：（1）甲乙二人均不參加，有種；（2）甲、乙二人有且僅有1人參加，有2（－）種；（3）甲、乙二人均參加，有（

-2＋）種共有252種．對于較復雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此36

例1從6名短跑運動員中選4人參加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問共有多少種參賽方法？解法二：六人中取四人參加的種數為減去甲跑第一棒時從剩余5人中選3人的排列組合數再減去乙跑第四棒時從剩余5人中選3人的排列組合數

再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒時從剩余4人中選2人的排列組合數－＝252種

對于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種。例1從6名短跑運動員中選4人參加4×10037

例2由數字1，2，3，4，5可以組成無重復的5位數，從小到大排隊；1）43251是第幾個數；2）第96個數是多少？43512,43521,45123,45132,45213,45231,45312,45321例2由數字1，2，3，4，5可以組成無重383插空法：

解決一些不相鄰問題時，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決

例1有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是：①前后各一個，有8×12×2＝192種方法解：②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32種方法兩人都在前排左邊的四個位置：③兩人都在前排：此種情況共有4＋2＝6種方法兩邊都是4個位置,所以坐在第一排總共有6＋6＝12種方法④兩人都坐在第二排位置，先規定甲左乙右∴有192＋32＋12＋110＝346種3插空法：解決一些不相鄰問題時，可以先排一些元39

例1有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是：解法二：考慮20個位置中安排兩個人就坐，并且這兩人左右不相鄰，4號座位與5號座位不算相鄰，9號座位與10號座位不算相鄰，共有種例1有兩排座位，前排11個座位，后排1240

例210雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意抽取4只，試求各有多少種情況出現如下結果：(1)4只鞋子沒有成雙；(2)4只鞋子恰好成雙；(3)4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙。例210雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋414捆綁法：

相鄰元素的排列,可以采用“整體到局部”的排法,即將相鄰的元素當成“一個”元素進行排列,然后再局部排列.

例1在一塊并排10壟的田地中,選擇2壟分別種植A,B兩種作物,每種作物種植一壟,為有利于作物生長,要求A,B兩種作物的間隔不小于6壟,則不同的選壟方法共有多少種?（3）若A、B之間隔8壟，有A22種方法.解:A,B兩種作物的間隔至少6壟,至多8壟,分3種情況：（1）若A、B之間隔6壟，這樣的選壟方法有3A22種.（2）若A、B之間隔7壟，這樣的選壟方法有2A22種.4捆綁法：相鄰元素的排列,可以采用“整體425“分組”問題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？例1有6本不同的書（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少種不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本,

有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？5“分組”問題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種436隔板處理

例1（1）10個優秀指標分配給6個班級，每班至少一個，共有多少種不同的分配方法？

（2）10個優秀名額分配到一、二、三3個班，若名額數不少于班級序號數，共有多少種不同的分配方法？解:⑴按指標的個數進行分類,討論比較復雜,可構造模型，即用5個隔板插入10個指標中的9個空隙，即即為所求。⑵先拿3個指標分別給二班1個，三班2個，則問題轉化為7個優秀名額分給三個班，每班至少一個同⑴得即為所求。6隔板處理例1（1）10個優秀指標分配44例圍棋擂臺賽問題7建立“模型”例圍棋擂臺賽問題7建立“模型”45

例210雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意抽取4只，試求各有多少種情況出現如下結果：(1)4只鞋子沒有成雙；(2)4只鞋子恰好成雙；(3)4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙。例210雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋464.2.2組合與組合數數學理4.2.2組合與組合數數學理47

問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？

問題二：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙.3兩個問題有什么聯系和區別？問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加48

從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,并成一組問題二

從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一列.問題一排列組合有順序無順序從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,并成一組問題49組合定義:

一般地,從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.排列與組合有什么共同點與不同點？組合的特征：（1）每個組合中元素互不相同；（2）“只取不排”——無序性；（3）組合相同即元素相同；

（4）排列與組合問題共同點是“從n個不同元素中任意取出m（m≤n）個元素”，不同點是前者要“按照一定的順序排成一列”，而后者是“不管順序并成一組”；若元素的位置對結果產生影響,則是排列,否則,是組合.例如ab與ba是不同的排列，但是相同的組合組合定義:一般地,從n個不同元素中取出m（m50組合數

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數如何計算這個組合數呢？C是英文Combination的首字母組合數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素51組合abcabdacdbcd排列abcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb第一步第二步×=從a,b,c,d這四個字母中選三個的組合與排列的關系：組合abcabdacdbcd排列a52

求從n個不同元素中取出m個元素的排列數,

第1步,從這n個不同元素中取出m個元素,共有種不同的取法;Cnm可看作以下2個步驟得到:

第2步,將取出的m個元素做全排列,共有種不同的排法.Anm求從n個不同元素中取出m個元素的排列數,53n,m∈N*,并且m≤n.組合數公式規定：Cn0=1n,m∈N*,并且m≤n.組合數公式規定：Cn0=154例1．計算：（1）

例1．計算：（1）55組合數的兩個性質性質1：性質2：例3計算：（1）和（2）和

組合數的兩個性質性質1：性質2：例3計算：（1）和（2）和56

例1一位教練的足球隊共有17名初級學員,他們中以前沒有一人參加過比賽,按照足球比賽規則,比賽時一個足球隊的上場隊員是11人.問:簡單的組合問題(1)這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上場方案?(2)如果在選出11名上場隊員時,還要確定其中的守門員,那么教練員有多少種方式做這件事情?(1)沒有角色差異共有(2)分兩步完成這件事第1步,從17名學員中選出11人上場第2步,從上場的11人中選1名守門員例1一位教練的足球隊共有17名初級學員,57

例2(1)平面內有10個點,以其中每2個點為端點的線段共有多少條?10個不同元素中取2個元素的組合數.

10個不同元素中取2個元素的排列數.(2)平面內有10個點,以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條?例2(1)平面內有10個點,以其中每2個58

例3(1)有4本不同的書，一個人去借，至少借一本，則有多少種不同的借法？

(2)有13本不同的書，其中小說6本，散文4本，詩歌3本，某人借6本，其中有3本小說，2本散文，1本詩歌，問有幾種借法？(1)解：此人所借的書可以是一本，二本，三本，四本（本）(2)解：分三個步驟完成，共有（種）例3(1)有4本不同的書，一個人去借59

練習在100件產品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產品中任意抽出3件(1)有多少種不同的抽法?100個不同元素中取3個元素的組合數(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?從2件次品中抽出1件次品的抽法有從98件合格品中抽出2件的抽法有練習在100件產品中,有98件合格品,260

練習在100件產品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產品中任意抽出3件(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?法1含1件次品或含2件次品法2100件中抽3件減98件合格品中抽3件練習在100件產品中,有98件合格品,261①主要學習了組合、組合數的概念。②利用組合和排列的關系得到了組合數公式。n個不同元素m個元素m個元素的全排列第一步組合第二步排列課堂小結：①主要學習了組合、組合數的概念。②利用組合和排列的關系得到了621某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的組合中：含有附加條件的組合問題：例1

一個口袋內裝有大小不同的7個白球和1個黑球，⑴從口袋內取出3個球，共有多少種取法？⑵從口袋內取出3個球,含有1個黑球,有多少種取法?⑶從口袋內取出3個球,使其中不含黑球,有多少種取法？或1某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的組合中：含有附加63按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當選；（2）甲、乙、丙三人不能當選；（3）甲必須當選，乙、丙不能當選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當選；例2按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？例264（1）（2）（3）（4），或（5）（6）

例3在產品檢驗中,常從產品中抽出一部分進行檢查.現有100件產品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件進行檢查,根據下列各種要求,各有多少種不同的抽法？(2)全是正品；(1)無任何限制條件；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.（1）（2）（3）（4），或（5）（6）例365

例4

平面上有五個藍點和七個紅點，其中有三個紅點與兩個藍點在同一條直線上，除此以外，再無三點共線，問過兩個不同顏色的點，共可作多少條直線？2某些特殊元素有特殊歸類問題：解法一：（直接法）設五個點所在直線為l，分為兩類：(1)過l上的三個紅點：可與l外的三個藍點各連一條直線,有條，又與l上的兩個藍點只連一條直線，可連條(2)過l外的四個紅點：可與五個藍點各連一條直線，有條共可連（條）例4平面上有五個藍點和七個紅點，其中有三個66

例4

平面上有五個藍點和七個紅點，其中有三個紅點與兩個藍點在同一條直線上，除此以外，再無三點共線，問過兩個不同顏色的點，共可作多少條直線？解法二：（間接法）不考慮五點共線，有其中共線的五個點可連條，條而這條只能是一條共可連（條）

說明：本例是某些特殊元素有特殊歸類的問題，即題中共線的五個點，只能作一條直線．例4平面上有五個藍點和七個紅點，其中有三個紅點與67例3由數1、2、3、4可組成多少個不同的和？3組合中的有重復問題：解：選兩個數相加有選三個數相加有選四個數相加有但1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4．（個）．例3由數1、2、3、4可組成多少個不同的和？3組合中的有68例4以正方體的四個頂點為頂點可以確定多少個三棱錐？解法一：上三下一下三上一上二下二其中共面的有４個側面和6個對角面，∴共有解法二：從正方體的8個頂點中任選4個有種，其中共面的有6個面和6個對角面，∴共有（種）例4以正方體的四個頂點為頂點可以確定多少個三棱錐？解法一69．5“名額分配”問題：

例1．有10個參加數學競賽的名額,要分給7所學校,每校至少一個名額,有多少種不同的名額分配方法？解：先將10個名額中的7個名額分給7個學校每校一個，則轉化為剩下的三個名額如何分配的問題，可分三類方法.第一類:選三個學校,每個學校一個名額,分配方法數第二類:選兩個學校,決定哪個學校分別給一個或兩個名額，分配方法種數為第三類:選一個學校,三個名額都給該校,分配方法種數為所以不同的名額分配方法種數為．5“名額分配”問題：例1．有10個70則“擋板”的一種插法恰好對應10個名額的一種分配方法,解法二：注意到10個名額之間是沒有差別的，設想將10個名額排成一排，每兩個“相鄰”的名額間形成一個空隙，如下圖示：”表示名額間形成的空隙，“○”表示相同的名額，“

設想在這幾個空隙中插入六塊“擋板”,則將這10個名額分割成七個部分，

將第一、二、三、…、七個部分所包含的名額數分給第一、二、三、…、七所學校，反之，名額的一種分配方法也決定了檔板的一種插法，即擋板的插法種數與名額的分配方法種數是相等的，為則“擋板”的一種插法恰好對應10個名額的一種分配方法,解法二71實際上，解法一是更為基本的解決問題的辦法本題的解法二所用的方法一般稱為“擋板法”，用于建立相同元素與確定的不同位置間的對應關系，而且每個位置至少應分配一個元素．與解法一相比，擋板法比較簡捷，但不如解法一易于理解．實際上，解法一是更為基本的解決問題的辦法本題的解法二所用的72

解：⑴在五個1之間添加兩個加號，添加的方法種數就等于方程解的個數．故有

每一個均加1，然后再均減1．則可以將原來的問題理解為：求例2．已知方程，求⑴有多少組正整數解？⑵有多少組非負整數解？．解：此問題則可以解釋為：先將的正整數解個數，同（1），則解：⑴在五個1之間添加兩個加號，添加的方法種73

例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有多少種．1．注意區別“恰好”與“至少”

例從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有多少種．2．特殊元素（或位置）優先安排

例將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有種．3．“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”方法回顧例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲745“分組”問題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？例1有6本不同的書（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少種不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本,

有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？5“分組”問題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種75

例對某種產品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進行測試，至區分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時全部發現,則這樣的測試方法有種可能？4．混合問題，先“組”后“排”

（1）今有10件不同獎品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法?

（2）今有10件不同獎品,從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少種分法?

（3）今有10件不同獎品,從中選6件分成三份,每份2件,有多少種分法?5．分清排列、組合、等分的算法區別例對某種產品的6件不同的正品和4件不同的76

例1從6個學校中選出30名學生參加數學競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?6、分類組合,隔板處理

例2.要從7個班中選10人參加數學競賽，每班至少1人，共有多少種不同的選法？可按班選出的人數進行分類，或用插板法求解．解法一：共分三類：第一類，一個班出4人，6個班各出1人，有C71種；第二類，有2個班分別出2人，3人，其余5個班各出1人有A72

種；第三類，有3個班各出2人，其余4個班各出1人，共有種．有C73

種，C71+A72+C73=84例1從6個學校中選出30名學生參加數學競77

注意：本題易把10個名額看成10個不同的元素，從而得出錯誤的結果．

解法二：將10人看成10個元素，這樣元素之間共有9個空（兩端不計）；

例1從6個學校中選出30名學生參加數學競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?C96

從這9個空位里任選6個（即這6個位置放入隔板，將其分為七部分），有種放法，如△|△△|△|△|△△△|△|△表示什么意義？

它表示表示第1個班1人，第2個班2人，第3個班1人，第4個班1人，第5個班3人，第6、7個班各1人．注意：本題易把10個名額看成10個不同的元素78排列與組合的綜合問題

解排列組合問題，要正確使用分類計數原理和分步計數原理、排列定義和組合定義，其次，對一些復雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法：解題思路：1特殊(元素,位置)優先法:2科學分類法：3插空法：4捆綁法：5“分組”問題：6隔板處理排列與組合的綜合問題解排列組合問題，要正確使79(4)某女生一定要擔任語文科代表,某男生必須擔任科代表,但不擔任數學科代表．1特殊(元素,位置)優先法:

對于特殊元素或者特殊位置的排列組合問題,我們可以從這些特殊的東西入手,先解決特殊元素或特殊位置,再去解決其它元素或位置,這種解法叫做特殊優先法.

例1:有5個男生和3個女生，從中選取5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數：(3)某男生必須包括在內,但不擔任數學科代表．(2)某女生一定要擔任語文科代表．(1)有女生但人數必須少于男生．＝5400種=360種．(4)某女生一定要擔任語文科代表,某男生必須擔任科代1特80前4次中應有1件正品、3件次品，有種，

例2對某種產品的6件不同正品和4件不同次品一一進行測試，至區分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時被全部發現，則這樣的測試方法有多少種可能?解：第5次必測出一次品，余下3件次品在前4次被測出，從4件中確定最后一件次品有種方法，前4次測試中的順序有種，··＝576。前4次中應有1件正品、3件次品，有種，81

對于較復雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對各種不同情況，進行科學分類，以便有條不紊地進行解答，避免重復或遺漏現象發生

例1從6名短跑運動員中選4人參加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問共有多少種參賽方法？2科學分類法：解法一：問題分成三類：（1）甲乙二人均不參加，有種；（2）甲、乙二人有且僅有1人參加，有2（－）種；（3）甲、乙二人均參加，有（

-2＋）種共有252種．對于較復雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此82

例1從6名短跑運動員中選4人參加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問共有多少種參賽方法？解法二：六人中取四人參加的種數為減去甲跑第一棒時從剩余5人中選3人的排列組合數再減去乙跑第四棒時從剩余5人中選3人的排列組合數

再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒時從剩余4人中選2人的排列組合數－＝252種

對于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種。例1從6名短跑運動員中選4人參加4×10083

例2由數字1，2，3，4，5可以組成