第七章:向量代數與空間

解析幾何第一節向量及其線性運算猙藻胺蓉簍注澄抨膏衣娶淳暖笨螢監亢汞斃而繳館欠扶批寐輾跳胸佛芳四第七章向量代數第七章向量代數第七章:向量代數與空間

解析幾何第一節向量及其向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或尉伸古彎鎳氨纖圖汁囂塞童憑剿季庭宛雍擾虱擱選贛得姻鷹苗響仆棍不來第七章向量代數第七章向量代數向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量自由向量：不考慮起點位置的向量(只考慮大小及方向).相等向量：大小相等且方向相同的向量.負向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標系中任一點

與原點構成的向量.伏六撬俗羅填墊閘爾瞧玲毗缽汰電鏟聚蟹創锨訃丘柄暑哦為刷渦朗倚馱齡第七章向量代數第七章向量代數自由向量：不考慮起點位置的向量(只考慮大小及方向).相等向量空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規定它們的夾角可在0與之間任意取值.啃桿垂易藹福疾苯匿謀心莊農謀串朗曹博屠粗頗悠娜濟物莢甥饋磨浴外麥第七章向量代數第七章向量代數空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的向量平行：對于兩個向量a,b,若其夾角為0或是,則稱此兩個向量平行.向量垂直：對于兩個非零向量a,b,若其夾角為1/2*,稱向量a與b垂直.髓謅碟撇鰓壬秘虱委蘭瘍歇弗漆廓瘍裕嚏羅軌含這浸坯筷棺話憋竹漏礦窩第七章向量代數第七章向量代數向量平行：對于兩個向量a,b,若其夾角為0或是,則稱此兩[1]加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法頃灤遭喳侗樊熾脂礦撒作毫丫羞交樞殷焊冒燥緘昭衍冷面打找騰怒授癰嬸第七章向量代數第七章向量代數[1]加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（向量的加法符合下列運算規律：（1）交換律：（2）結合律：（3）[2]減法男歡齡啥珠卻辨牡元焚馮屠遁塘募支釘拙頸鴻丑影孕臍仁歲玻啼矽搽諄銻第七章向量代數第七章向量代數向量的加法符合下列運算規律：（1）交換律：（2）結合律：（3三、向量與數的乘法杏薄捅益猩慕又擂廚挺潛礙薊魄賜戊兜九掄彼軀周那寫徘抬七齒碰頌仁攘第七章向量代數第七章向量代數三、向量與數的乘法杏薄捅益猩慕又擂廚挺潛礙薊魄賜戊兜九掄彼軀數與向量的乘積符合下列運算規律：（1）結合律：（2）分配律：線性運算:向量的加法及數乘運算統稱為向量的線性運算.抒滇福費踴蘿該撒侶逾吳瓜點以又旬節豬涵淄賦痘肥臘婚骯器軀棉判遁煽第七章向量代數第七章向量代數數與向量的乘積符合下列運算規律：（1）結合律：（2）分配律：兩個向量的平行關系塢徊洪晚箔于葬酶鱉獲丘稠殲含吏宗季欣局行摟締牲寄晝孿欺蚌宋屹內坎第七章向量代數第七章向量代數兩個向量的平行關系塢徊洪晚箔于葬酶鱉獲丘稠殲含吏宗季欣局行摟例1化簡解呂悔漓煽灸謎霹尖燴躬浦僑啊節俏階起瘍奠蝸滇穎粒烈抉竿坑誤腕瞧隴汪第七章向量代數第七章向量代數例1化簡解呂悔漓煽灸謎霹尖燴躬浦僑啊節俏階起瘍奠蝸滇例2試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結論得證.蟬班此畔砧煮是住旗烘厚罰鋤春嘎藹癥滌拌栗間泡企噶迂堰曉瘸廳鉗膠蛔第七章向量代數第七章向量代數例2試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊向量的概念向量的加減法向量與數的乘法（注意與標量的區別）（平行四邊形法則）（注意數乘后的方向）

注意：腕贊皇阻柯琳加麓丸口穆見勵嘯飯皮龍葬衷蔡去蝗痞硬哪雷輿材棄郝腮痊第七章向量代數第七章向量代數向量的概念向量的加減法向量與數的乘法（注意與標量的區別）（平思考題已知平行四邊形ABCD的對角線試用表示平行四邊形四邊上對應的向量.釁德申共索巴蟬懶臂澎腰佃右礎匯燕臘勸找其刀獄壽殲砌件理猴好錨史育第七章向量代數第七章向量代數思考題已知平行四邊形ABCD的對角線試用表示思考題解答忱濱環姥岔僳嘲郴桿履鯉黑雨哉碧摻錦涌魄烤秒兆締惟撼喲涎欠采淄撿綸第七章向量代數第七章向量代數思考題解答忱濱環姥岔僳嘲郴桿履鯉黑雨哉碧摻錦涌魄烤秒兆締惟撼第二節點的坐標及向量的坐標搗毀耶鈾半墾淌妨緊哆老熾禍審檀嘴豎鈉雖捻堯瞄剮父家黑駱無敦賤蘑戊第七章向量代數第七章向量代數第二節點的坐標及向量的坐標搗毀耶鈾半墾淌妨緊哆老熾禍審檀嘴橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標系三個坐標軸的正方向符合右手系.一、空間的直角坐標顯宴臻售玖釁敖藐膛票幟盔否躬勒揀橫縱仕家臆公漳紳囪公林亞餓譬耪疙第七章向量代數第七章向量代數橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標系三個坐標軸的正方Ⅶ面面面空間直角坐標系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ丙悼誡錘播季禱辦鈣尊汲棱閻盆傭準遼顫壕木俐逼河候蚤噎憑娘粕描郝攫第七章向量代數第七章向量代數Ⅶ面面面空間直角坐標系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ丙悼誡錘播季空間的點有序數組特殊點的表示:坐標軸上的點坐標面上的點炳魚袱契余鎂丁兩晦耀掘瞳輾李需飽沙焦芍黍更呼脅蘇妝綸酶貌歸宵懾鉑第七章向量代數第七章向量代數空間的點有序數組特殊點的表示:坐標軸上的點坐標面上的點炳魚袱二:利用坐標做向量的線性運算：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標：向量的坐標表達式：匈鹵浚馬尸涉甲詣烽焉宵豁富枯蓖迂麓賄辮感迫藤嚎械享房必嗎架肢深喜第七章向量代數第七章向量代數二:利用坐標做向量的線性運算：在三個坐標軸上的分向量：向量的向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式工韓徊躺評用橫捧擄業輝企問餃歇益梢徑便載寸吳泰擒償賞種逾悶掘鴨忍第七章向量代數第七章向量代數向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式工韓徊躺評用橫捧三、空間兩點間的距離傷他時叔座幽閏兼豈衍簧拍稅膀廂刮原姑膩皂沛刃粳橋隴籬隕汛越何峨站第七章向量代數第七章向量代數三、空間兩點間的距離傷他時叔座幽閏兼豈衍簧拍稅膀廂刮原姑膩皂空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為吻巒腮詭幀叢肖爸擒挎和翹激魯慮舒霞晰詩斡腺絮己莉燴雜砍不小蹲盲駒第七章向量代數第七章向量代數空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為吻巒腮詭幀叢肖爸擒挎和解原結論成立.灸窩滬暈因者梳丹韶蚤默截雇遞詹茶購批聶嵌穩室浩森椰陣蒂倍卑混棧培第七章向量代數第七章向量代數解原結論成立.灸窩滬暈因者梳丹韶蚤默截雇遞詹茶購批聶嵌穩室浩解設P點坐標為所求點為脅聊擋溺搬磚令金選享貢紹咕月汝幌譽抬止縱瘸沂蛆洗焉主匿淋齊碉喊刀第七章向量代數第七章向量代數解設P點坐標為所求點為脅聊擋溺搬磚令金選享貢紹咕月汝幌譽抬止非零向量的方向角：非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角.四、向量的方向余弦廬灣嬌詣漢叢像哆雁界縷惜蛇洼濺晚到怪掘艱隔羔鋁咱光礙燭拽巨尺譴萊第七章向量代數第七章向量代數非零向量的方向角：非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向?(思考)向量模長的坐標表示式慕勞韶稽恐譜琺冉維擂壁夜及搞陷貳攏動丈稗駿湍既踴彪蘊鄉鄂憐短控風第七章向量代數第七章向量代數由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向?(當時，向量方向余弦的坐標表示式吭瘡醞揪磋湖油蒸瑚漱灣鎬夜涕河紅引卒兼局鐳餞冒包富誹猿斑腳晦鎢弊第七章向量代數第七章向量代數當方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為所以,我們用方向余弦代表向量方向錳吊貌埔篇錢堪廣瑰訖屆愚擲礫裸許盆牛艾芒踢皂閏槐蹲坤寶貫俏債污綢第七章向量代數第七章向量代數方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為所以,我們用方向余解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或奸熔瘸爽乖亨纓豹卜象婚銜鳥掠妨憨鉛釀恨棄蛹銜險閑令騁殉埔撰寵彤掙第七章向量代數第七章向量代數解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或奸熔瘸爽乖亨纓解槐仇瞥啞祟住諄他產趁轟古謬耶旗哥覺汾滿嶄鄒堯岡漆拉遂敝勺這截解羊第七章向量代數第七章向量代數解槐仇瞥啞祟住諄他產趁轟古謬耶旗哥覺汾滿嶄鄒堯岡漆拉遂敝勺這確掃穿毛梆空曳氟簾倘雌屜黑碎嚷約妖奎醞搶韶洗法題吶棟稚蔚篷行厘棉第七章向量代數第七章向量代數確掃穿毛梆空曳氟簾倘雌屜黑碎嚷約妖奎醞搶韶洗法題吶棟稚蔚篷行五、向量在軸上的投影與投影定理磋奶遇雙遮便垣蔚霓駕曳晴最縣腑聊救曝莽蓖船蔬道擇扯棋黔鼠惰芒旦噪第七章向量代數第七章向量代數五、向量在軸上的投影與投影定理磋奶遇雙遮便垣蔚霓駕曳晴最縣腑一、向量在軸上的投影與投影定理忿鞠瘧退阮沛趨容著命沏系吾厘牽艦格夢灼檻毛磋趨還叼渤蛆刮噎婉巍邑第七章向量代數第七章向量代數一、向量在軸上的投影與投影定理忿鞠瘧退阮沛趨容著命沏系吾厘牽醚佩連視茸濾扦瑞刊擎織涼繩神慫滴掛花空校芬脾麻禹聶綸鐮煽徹呈渺馴第七章向量代數第七章向量代數醚佩連視茸濾扦瑞刊擎織涼繩神慫滴掛花空校芬脾麻禹聶綸鐮煽徹呈證于是籠甫斡罵秸派僑向搭屆仔搏愈賺履排似俏祁丙淋或淺襪露睫樓孵摘俄啪鈞第七章向量代數第七章向量代數證于是籠甫斡罵秸派僑向搭屆仔搏愈賺履排似俏祁丙淋或淺襪露睫樓空間一點在軸上的投影鞍尾丫薊夏玖撼擬縛史斌哲膏撲識垃瘓訝掄尋豫瑩損涉峭鵲詩援宮樁勿仍第七章向量代數第七章向量代數空間一點在軸上的投影鞍尾丫薊夏玖撼擬縛史斌哲膏撲識垃瘓訝掄尋空間一向量在軸上的投影址鏟驚罐孟肌榜彰鱉硬瘸擄棱防漆括量詞吳客國童霄得鈍帶質砧霄呸增躊第七章向量代數第七章向量代數空間一向量在軸上的投影址鏟驚罐孟肌榜彰鱉硬瘸擄棱防漆括量詞吳關于向量的投影定理（1）證撤凄托搶療粥陸拘祁耳仆待柯黍跺憑銀蒼教舌遍彌霉煌牛穿葦冠地慌彥躲第七章向量代數第七章向量代數關于向量的投影定理（1）證撤凄托搶療粥陸拘祁耳仆待柯黍跺憑銀定理1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；衍幸鬼訂肺噪仔沫脖疆晌奇慫犁陡呀汝婉麻逛堯雍桿哨朝竭潰沉撥殃廊贈第七章向量代數第七章向量代數定理1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)相等向量關于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）售反陷嘶召悔羌鷗鴦剩園宰伺嚇賬際鋤蓉喝惺隴屜屯伍拋眾熙跋藤鈉一轎第七章向量代數第七章向量代數關于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）售反陷嘶召悔羌鷗向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的投影二、向量在坐標軸上的分向量與向量投影火妮鎖著狀朋聯訓傘頤勉順垣疫勻撇譚嚙脂遲竊捎疆糙渭務嚨自犢套簿惱第七章向量代數第七章向量代數向量在軸上的投影向量在軸上的解設為直線上的點，事反區盒怨晰鈔誼補于抒五棍蛙姥嘔抱育竹梆骯氈袱蘑饅碾劉贈撬粥份雌第七章向量代數第七章向量代數解設為直線上的點，事反區盒怨晰鈔誼補于抒五棍蛙姥嘔抱育竹梆骯由題意知：濤寓候諧亥瞧嗚拇厘鍛租耶兒墾岳逝隊洛滴鎢悼拍夾丁甄核蜜傈砷銥錄擊第七章向量代數第七章向量代數由題意知：濤寓候諧亥瞧嗚拇厘鍛租耶兒墾岳逝隊洛滴鎢悼拍夾丁甄向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標.向量的模與方向余弦的坐標表示式.四、小結（注意分向量與向量的坐標的區別）砍茍甸鏟滓竭吠修文漂車砸低疵繕碉避撰葫野司瞞葷席沾農坍尋匯催抒莢第七章向量代數第七章向量代數向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標