第9講后測檢驗xjyu@39380758B10北407華南理工大學金融工程研究中心華南理工大學經濟與貿易學院于孝建博士講師金融風險管理FinancialRiskManagement個人主頁：/economy/center/yxj/第9講后測檢驗xjyu@華南理工大學為什么要進行后測檢驗模型是否有效？模式是否穩?。敯簦堪腿麪栁瘑T會對于銀行采用的內部模型的評測與懲罰為什么要進行后測檢驗模型是否有效？后測檢驗的設立模型的準確性模型能夠有效地反映標的物的實際價值最直接的辦法——系統地比較實際損失水平與用模型預測出的水平之間的差別如果模型是完好校準的，所觀察到的在VaR預測以外的點，就應該會與置信水平相一致。后測檢驗的設立模型的準確性后測檢驗的設立100807060504030201001020304050607080日損益（絕對值）日價格波動率異常值點異常值點的數量稱為異常數觀察樣本數置信度后測檢驗的設立100102030405后測檢驗的設立如果實際出現的異常很多 模型低估了風險 風險資本金過少如果實際出現的異常過少 模型高估了風險 風險資本金過多，影響資金使用效率后測檢驗的設立如果實際出現的異常很多后測檢驗的設立：一個例子100807060504030201001020304050607080日損益（絕對值）日價格波動率假定損益分布是對稱的，則大約有2%的日觀察（為正或為負）會位于對角線的上方，或者說一年當中有5個數據點。在這里,我們觀察到了4個。這樣的模型是否正確呢？后測檢驗的設立：一個例子1001020304關于回報的選擇模型依賴于數據VaR度量假定當前頭寸在預測時段是“凍結”的“凍結”——投資組合（頭寸）的成分是不變的實際中，交易投資組合的演變即使是在一天中都是動態的。實際的回報對應的是實際的損益，即考慮了日間的交易和其它的利潤項目。關于回報的選擇模型依賴于數據關于回報的選擇要求：對回報數據的選擇必須是時間上是非常短的?！x擇日回報數據進行后測檢驗但是，日間交易會增加收入的波動。假想的回報

代表一種“凍結”的投資組合的回報。關于回報的選擇要求：對回報數據的選擇必須是時間上是非常短的。關于回報的選擇此外，也可考慮通過采用清潔回報（cleanedreturn）來近似。清潔回報：是指實際回報減去所有的非盯市項目，諸如融資成本、費用收入、儲備釋放等。從監管的目的，后測檢驗應該采用實際回報。實際回報反映了真實的、事后的交易回報的波動率，這也會傳達一定的信息量。關于回報的選擇此外，也可考慮通過采用清潔回報（cleaned基于異?；貓髷档暮鬁y檢驗模型對后測檢驗的建模包括了系統地比較歷史VaR度量和實際序列回報。對模型的檢驗，則可以利用異?；貓髷党霈F的情況來判斷模型的好壞?；诋惓；貓髷档暮鬁y檢驗模型對后測檢驗的建模包括了系統地比較基于異?；貓髷档暮鬁y檢驗模型譬如說在95%的置信水平下的5%的觀察數。但幾乎可以肯定，我們不一定正好觀察到5%的超出偏差。由于運氣不好可能導致某個比較大的比例，如6%到8%。如果偏差的頻率很大，如10%到20%，則用戶必須認為模型是不適宜的，而不僅僅是由于運氣不好，從而采取糾正措施?；诋惓；貓髷档暮鬁y檢驗模型譬如說在95%的置信水平下的5%基于異?；貓髷档暮鬁y檢驗模型問題：如何對模型的好壞進行判斷？模型判斷中的兩種錯誤錯誤1：拒絕一個好的模型（第1類錯誤）錯誤2：接受一個壞的模型（第2類錯誤）需要在兩種錯誤中進行權衡?；诋惓；貓髷档暮鬁y檢驗模型問題：如何對模型的好壞進行判斷？基于失效率的模型驗證失效率：在某個給定樣本下，超出VaR預測值的次數的占比。證實某個模型準確性最簡單的方法是記錄下其“失效率”。假定銀行提供了總共T天的左尾1%（p=1–c）水平下的VaR數據。假設N為實際的損失會超出前一天的VaR值總的異常數，N/T即為失效率。基于失效率的模型驗證失效率：在某個給定樣本下，超出VaR預測基于失效率的模型驗證理論上，失效率（failurerate）應該是p的一個無偏測度（unbiasedmeasure），即應該隨著樣本容量的增大而收斂于p。基于失效率的模型驗證理論上，失效率（failurerate基于失效率的模型驗證我們想要知道的是：給定某個置信水平，在樣本容量為T的情況下，對于零假設p=0.01，N是太大還是太小。值得注意得是，這一統計檢驗對回報的分布沒有任何先決條件?！菂捣椒?。基于失效率的模型驗證我們想要知道的是：基于失效率的模型驗證建立這種檢驗完全是一種傳統的構架，即對一系列成功或失敗的檢驗。這又被稱作貝努里試驗。異常的個數服從某個二項分布：基于失效率的模型驗證建立這種檢驗完全是一種傳統的構架，即對一基于失效率的模型驗證二項分布的期望：E(X)=pT方差V(X)=p(1–p)T當T增大時，我們可以根據中心極限定理用一個正態分布來近似二項分布：基于失效率的模型驗證二項分布的期望：E(X)=pT基于失效率的模型驗證二項分布可以用來檢驗異常的次數是否足夠小以接受模型，即發生第一類錯誤的概率。當模型是被正確地校準的，即當p=0.01，和當T=250時的情形。從該圖形中可以看到，這一零假設成立時，仍會在10.8%的時間里觀察到超出5個(包括5個）異常的情況。10.8%這一數字描述了犯第1類錯誤（type1error），即拒絕正確模型的概率。基于失效率的模型驗證二項分布可以用來檢驗異常的次數是否足夠小基于失效率的模型驗證0.000.050.100.150.200.250.30第1類錯誤10.8%頻率模型是正確的：p=0.01;T=250個觀察0123456789101112131415如果模型是正確的，但此時的異常數大于等于5，就會拒絕模型。則，此時拒絕模型的概率為：P(x＞＝5)＝10.8%基于失效率的模型驗證0.000.00基于失效率的模型驗證二項式分布的概率密度函數值：P(x=0)=0.0811P(x=1)=0.2047P(x=2)=0.2574P(x=3)=0.2149P(x=4)=0.1341P(x＞＝5)＝1－P(x＜＝4)＝10.8%基于失效率的模型驗證二項式分布的概率密度函數值：基于失效率的模型驗證如果模型是錯誤的，但此時的異常數小于5，我們還是會接受模型。則，此時接受模型的概率為：P(x＜＝4)＝12.8%基于失效率的模型驗證如果模型是錯誤的，但此時的異常數小于5，基于失效率的模型驗證上面的圖給出了當模型校準得不正確時，異常數的分布。該圖形給出了，p=0.03，（不是0.01）和當T=250時，異常數的分布。這一圖形也告訴我們，有稍多于12.8%的時間，我們會接受這一錯誤的模型。這描述了我們犯第2類錯誤，即并沒有拒絕一個不正確的模型的概率。基于失效率的模型驗證上面的圖給出了當模型校準得不正確時，異常基于失效率的模型驗證決策模型正確模型錯誤模型接受OK第2類錯誤拒絕第1類錯誤OK決策錯誤表基于失效率的模型驗證決策模型正確模型錯誤模型接受OK基于失效率的模型驗證對于后續檢驗的目的，VaR模型的用戶需要盡量避免第2類錯誤而平衡第1類錯誤。目標：設置一個很低水平的1類錯誤，然后采用一種檢驗能夠使得犯第2類錯誤的水平也很低。在這種情況下，檢驗才能被稱得上是“有效力”的。基于失效率的模型驗證對于后續檢驗的目的，VaR模型的用戶需要基于失效率的模型驗證Kupiec（1995）開發了一個95%置信水平的一個近似區域。如表9-2所報告的（應該注意到對這一檢驗置信區域的選擇與在VaR中模型所選擇的p的水平無關，而是僅僅取決于接受或拒絕模型的決策規則）。這些區域是由一些對數似然比尾部的點構成的。LRuc=–2ln[(1–p)T–NpN]+2ln{[1–(N/T)T–N(N/T)N]}基于失效率的模型驗證Kupiec（1995）開發了一個95%基于失效率的模型驗證LRuc=–2ln[(1–p)T–NpN]+2ln{[1–(N/T)T–N(N/T)N]}這是一個漸進（T非常大時）自由度為1的chi-平方分布。對于零假設：p

是真的概率水平，在置信水平95%下，如果LR>3.84，我們將拒絕這一零假設。即：P(LR>3.84)=0.05P(LR

<=3.84)=0.95基于失效率的模型驗證LRuc=–2ln[(1–p)T基于失效率的模型驗證異常數為N時的非拒絕區域概率水平pVaR置信水平T=255天T=510天T=1000天0.0199%N<71<N<114<N<170.02597.5%2<N<126<N<2115<N<360.0595%6<N<2116<N<3637<N<650.07592.5%11<N<2827<N<5159<N<920.1090%16<N<3638<N<6581<N<120注：N為在樣本容量為T的樣本中，在檢驗置信水平為95%的情況下，不足以拒絕零假設：p為一正確的概率水平（1–p為置信水平）時，所能觀察到的失效次數。對模型的后測檢驗，非拒絕檢驗的置信區間為95%(好模型沒有拒絕)基于失效率的模型驗證異常數為N時的非拒絕區域概率水平pVaR基于失效率的模型驗證如果有2年的數據（T=510），我們會期望觀察到N=pT=1%×510=5個異常。但是只要N在[1<N<11]的范圍之內，VaR模型的使用者都不能拒絕這一假設。當N

＞＝11時，說明VaR的預測值太低，或模型低估了較大損失的可能性。當N

＜＝1時，表示該VaR模型過余保守。基于失效率的模型驗證如果有2年的數據（T=510），我們基于失效率的模型驗證異常數為N時的非拒絕區域概率水平pT=255天T=510天T=1000天0.01N/T<0.0280.002<N/T<0.022

0.004<N/T<0.0170.0250.008<

N/T<0.0470.012<N/T<0.041

0.015<N/T<0.0360.050.024<N/T<0.0820.031<N/T<0.071

0.037<N/T<0.0650.0750.043<N/T<0.1100.053<

N/T<0.1

0.059<N/T<0.0920.100.063<N/T<0.1420.075<N/T<0.128

0.081<N/T<0.120對模型的后測檢驗，非拒絕檢驗的置信區間為95%(好模型沒有拒絕)以N/T比例表示的區間，會隨著樣本容量的增大而縮小?；谑实哪Ｐ万炞C異常數為N時的非拒絕區域概率T=25基于失效率的模型驗證在p=0.05這一行，對于T=255的區間為[6/255=0.024，21/255=0.082]；而對于T=1000的區間為[37/1000=0.037，65/1000=0.065]。如果有更多的數據，當模型為假時，我們更容易拒絕它（因為不拒絕模型的區間越來越小，因此接受一個錯誤模型的區間也變小），即犯第2類錯誤的幾率會減小?；谑实哪Ｐ万炞C在p=0.05這一行，對于T=25基于失效率的模型驗證對于VaR參數p的很小值，確定異常情況是一件很困難的事。（p很小，VaR很大，則超出VaR的異常情況很少）在p=0.01，和T=250時的非拒絕區域為(N<7)。在N

非常小或當模型系統地高估風險時，沒有辦法告訴任何信息。直覺上，對很低的p值，辨識出系統的異常情況是十分困難的。因為這對應的事件很少。此時犯第2類錯誤的概率很高?；谑实哪Ｐ万炞C對于VaR參數p的很小值，確定異常情況是基于失效率的模型驗證因此，部分銀行會選擇較高的p值，如p=0.05，即置信水平c=95%。這樣可以觀察到足夠多的異常數來證實模型的有效性。然后通過一個乘數因子將具體的VaR值轉換成安全資本金緩沖的數字?；谑实哪Ｐ万炞C因此，部分銀行會選擇較高的p值，如p=巴塞爾規則巴塞爾（1996a）對內部模型的后測檢驗的規則是直接從這個失效率檢驗獲得的。為了設計這樣一個檢驗，首先要確定犯第1類錯誤的比例，這是當模型是正確時，拒絕該模型的概率。因此，我們首先應該選擇一個檢驗，讓它有較低的犯第1類錯誤的概率。矛盾的中心在于，不可避免的是，監管者會因此而犯第2類錯誤，銀行都會有這樣的意愿在它們的VaR報告中誤導。巴塞爾規則巴塞爾（1996a）對內部模型的后測檢驗的規則是直巴塞爾規則當前的模型證實程序是記錄在過去一年中對99%-日VaR的異常數。因此，期望250個交易日的1%，即在過去1年中只有2.5個異常。巴塞爾委員會已經決定直至4個異常都可以接受，這定義了銀行的“綠燈區”。如果異常數升至5個或更多，則銀行落在了“黃燈區”或“紅燈區”，這時會招致懲罰，而且同時乘數因子也會由3增加到4。如果直接落在“紅燈區”則自動招致懲罰。巴塞爾規則當前的模型證實程序是記錄在過去一年中對99%-日V巴塞爾規則區域異常的次數（過去1年）乘數k值的增加綠燈0~40.00黃燈50.4060.5070.6580.7590.85紅燈10+1.00表9-3：巴塞爾的懲罰區域巴塞爾規則區域異常的次數（過去1年）乘數k值的增加綠燈0~巴塞爾規則如果在“黃燈區”，懲罰將取決于監管者，取決于異常的原因。巴塞爾委員會采用以下的范疇來劃分可能的原因：模型基本上的完整性（可信性）。異常的發生是由于頭寸價值報告得不正確，或是因為程序編程時出現的錯誤?！\用懲罰模型的精度可以依靠自身得到修正。異常的產生是由于模型并沒有以足夠的精度度量風險。（譬如，太短的到期日）

——運用懲罰日間的交易。一天中的頭寸改變。

——考慮懲罰運氣不好。市場是高波動的，尤其是相關性的改變。

——也要考慮到這些情況的發生巴塞爾規則如果在“黃燈區”，懲罰將取決于監管者，取決于異常的巴塞爾規則后測檢驗問題的關鍵是要能夠分開運氣不好和確實的失效模型?；蛘哒f在第1類錯誤和第2類錯誤間做一個平衡。巴塞爾規則后測檢驗問題的關鍵是要能夠分開運氣不好和確實的失效覆蓋率=99%，模型正確覆蓋率=97%，模型不正確區域異常的個數N概率P(X=N)累計的(第1類，拒絕)P(X≥N)概率P(X=N)累計的(第2類，不拒絕)P(X<N)效力(第1類，拒絕)P(X≥N)綠燈08.1100.00.00.0100.0120.591.90.40.0100.0225.771.41.50.499.6321.545.73.81.998.1綠燈413.424.27.25.794.3黃燈56.710.810.912.887.262.74.113.823.776.371.01.414.937.562.580.30.414.052.447.6黃燈90.10.111.666.333.7紅燈100.00.08.677.921.1110.00.05.886.613.4覆蓋率=99%，模型正確覆蓋率=97%，模型不正確區域異常的巴塞爾規則表9-4給出了對一個正確的模型（有99%的覆蓋率，置信水平）和一個不正確的模型（僅有97%的覆蓋率）獲得某個給定的異常數的概率。對于正確的模型，如果有5個或更多的異常數，則犯第1類誤差的概率為10.8%。這是一個相當高的比例。即10家銀行就會有一家被錯誤地受到懲罰，盡管它有正確的內部模型。巴塞爾規則表9-4給出了對一個正確的模型（有99%的覆蓋率，巴塞爾規則第2種錯誤的比例也相當得高。假定一個真實的97%的覆蓋率（即錯誤的模型），監管層會有12.8%的可能性接受它。在99%的覆蓋率和97%的覆蓋率的VaR模型之間的差別在經濟上是顯著的。假定正態分布，真實的VaR（99%）會比銀行對官方報告的高出23.7%。VaR99%=V02.3263σVaR97%=V01.8808σVaR99%/VaR97%=1.237巴塞爾規則第2種錯誤的比例也相當得高。條件覆蓋率模型前面的檢驗，考慮的是無條件的覆蓋率，并沒有考慮異常情況發生的條件概率。異常數可能是密集地隨時間“束集”的，它也可以使模型無效。如果有一個95%的VaR置信水平，我們會期望每年中有13個異常數。從理論上講，這些個異常的發生是隨時間均勻散布的。但是，如果我們在過去兩周內觀察到10個異常，這當然應該拒絕模型的有效性。條件覆蓋率模型前面的檢驗，考慮的是無條件的覆蓋率，并沒有考慮條件覆蓋率模型后測檢驗的系統要能夠設計得合適地度量條件覆蓋率（conditionalcoverage），即基于當前條件下的覆蓋率。條件覆蓋率模型后測檢驗的系統要能夠設計得合適地度量條件覆蓋率條件覆蓋率模型由Christofferson（1998）提出的檢驗。擴展了LRuc統計量，將其指定為那些序列相互獨立的偏誤。這一檢驗是按如下設立的：每一天將偏誤指示器設置為1或0，即當VaR預測值被超出時設為1，沒有超出時設為0。然后定義Tij，為狀態j發生在某一天，而狀態i發生在它前一天的總天數，而

πi為觀察到1次異常的概率，但是它前一天的狀態為i，i,j=0或1。條件覆蓋率模型由Christofferson（1998）提出條件覆蓋率模型前一天（條件）當前日沒有異常有異常無條件沒有異常有異常總異常數T0T1T=T0+T1表9-5構造一個異常表和期望的異常數當前一天沒有異常，當前日沒有異常時，發生異常的總數為前一天沒有異常，今天發生異常的概率條件覆蓋率模型前一天（條件）當前日沒有異常有異常無條件沒有異條件覆蓋率模型統計量：

LRind=–2ln[(1–π)(T00+T10)π

(T01+T11)]+2ln[(1–π0)T00π0T01(1–π1)T10π1T11]有條件覆蓋率聯合的統計量則為：

LRcc=LRuc+LRind分布如果LR

cc>5.99,將會在95%的置信水平上拒絕假設分布條件覆蓋率模型統計量：分布如果LRcc>5.99,將會條件覆蓋率模型例子：JPMorgan在1998年252個交易日內，觀察到了20個異常值，則π=20/252=7.9%.有6個異常是屬于連續異常發生的（前一天也是異常）π1=6/20=30%有14個異常發生時，前一天沒有異常π0=14/232=6%這樣我們得到LRind=9.53條件覆蓋率模型例子：計算過程pi_06%pi_130%pi7.90%T00218.08T1014T0113.92T116T0232T120前一項139.3243后一項-129.748LRind9.576825計算過程pi_06%pi_130%pi7.90%T00218條件覆蓋率模型LRind=9.53>3.84,我們拒絕假設。說明，銀行應該修改其VaR模型。條件覆蓋率模型LRind=9.53>3.84,我們拒絕假設險陣中的后測檢驗t時刻的組合回報定義如下：組合回報標準差

σ

p,t|t–1

的計算公式為：險陣中的后測檢驗t時刻的組合回報定義如下：險陣中的后測檢驗90%雙尾置信區間險陣中的后測檢驗90%雙尾置信區間險陣中的后測檢驗模型的評估對于1-日95%VaR，這里假定每一天都有5%的機會，所觀察到的損失會超過VaR的預測值。定義在任意天t，如果這一特定天的觀察損失大于它對應的VaR預測值，隨機變量X(t)=1，反之則有X(t)=0險陣中的后測檢驗模型的評估險陣中的后測檢驗X(t)的分布如下，隨機變量X(t)被認為是服從期望值為0.05的貝努利（Bernoulli）分布。險陣中的后測檢驗X(t)的分布如下，險陣中的后測檢驗在期間T違反VaR估計的總次數由下式給出XT

的期望值，即在T天中違反VaR估計的期望次數為

0.05T。例如，如果我們觀察T=20天的VaR預報，則違反VaR預測的期望次數為20?0.05=1；險陣中的后測檢驗在期間T違反VaR估計的總次數由下式險陣中的后測檢驗通過違反VaR估計的次數來評價對這一包括215個現金流組合的險陣模型的適宜性。違反

VaR的真實概率

=5%Prob(Loss<1.65σ

t|t

1)Prob(Profit>1.65σ

t|t

1)5.74%5.87%表9-7所實現的偏誤了VaR的比例上、下限分別定義為1.65σ

t|t

1

和1.65σ

t|t

1險陣中的后測檢驗通過違反VaR估計的次數來評價對這一包括險陣中的后測檢驗推導出上述結論的一個更加直接的方法是運用險陣模型所維系條件正態分布的假定。假定實際回報（P/L）（被用于構造VaR估計的標準差估計除后的值）服從均值為0和方差為1的正態分布。通過分析標準化后的組合回報來做出判斷。險陣中的后測檢驗推導出上述結論的一個更加直接的方法