實驗目的：探索改善最小二乘多項式的數值不穩定性的可能實驗內容：在［T,1］區間取n=20個等距節點，以相應節點上球的值作為數據樣本，以Legendre多項式匕⑴,P1(x),,p⑴為基函數，作出l=3,5,7,9,11,13,15次的最小二乘多

項式，畫出ln(Cond(A))?l之間的曲線。其中，A是確定最小二乘多項式系數的矩陣。計算出不同多項式的最小偏差3(l)=￡(y(x)-y)2，并與實驗二作比較。iii=1實驗結果：設擬合多項式為S(x)=aP(x)+aP(x)+aP(x)++aP(x)l001122ll其中，P(x)其中，P(x)=1,P(x)=1dn2nn!dxn{(x2-1)n}(n=1,2,).利用MATLAB中的函數legendre(n,X)可以計算出P(x)的具體數值。n對于不同的l值，求得對應的多項式系數［a。,a「，匕］及偏差3(l)列入表中表1l次最小二乘多項式系數及偏差l[a,a,,a]3(l)實驗二中3(l)31.175671.103780.3602340.07079953.1369e-043.1369e-0451.17521.103640.3578330.07045750.01000090.001102462.2457e-082.2457e-0871.17521.103640.3578140.07045560.009965270.001099599.96373e-0057.62962e-0064.0116e-134.0116e-1391.17521.103640.3578140.07045560.009965130.001099599.94548e-0057.62056e-0065.06791e-0072.9722e-0082.2582e-182.2582e-18111.17521.103640.3578140.07045560.009965130.001099599.94543e-0057.62054e-0065.06472e-0072.97181e-0081.56039e-0097.41442e-0114.4173e-247.5119e-24131.17521.103640.3578140.07045560.009965130.001099599.94543e-0057.62054e-0065.06472e-0072.97181e-0081.56089e-0097.41995e-0113.21999e-0121.30109e-0131.0606e-299.0515e-23151.17521.103640.3578140.07045560.009965130.001099599.94543e-0057.62054e-0065.06472e-0072.97181e-0081.56089e-0097.42165e-0113.22934e-0121.54797e-0131.20189e-0142.1157e-0144.1766e-293.4205e-21876421012141625圖1ln(Cond(A)2)?l關系曲線876421012141625從圖中可以看出，隨著擬合多項式的次數增大，A的條件數迅速增大，但要遠小于實驗二中以1,工，，近為基函數時的條件數。從偏差中反映，次數l9時兩種方法的偏差基本相同，而隨著次數繼續增加，以Legendre多項式為基的偏差要小于相同次數下實驗二中的偏差。而且用這種方法直到次數達到15偏差才轉而變大，說明最小二乘多項式的數值不穩定性得到了改善。［以匕3),P(x),,p(x)為基函數的Matlab程序］x=1:2/19:1y=exp(x)acond=zeros(1,7)delta=zeros(1,7)P=zeros(16,20)forn=0:15P=legendre(n,x)(n+1,:)=Pt(1,:)endfp=fopen('c.txt','w')forl=3:2:15=zeros(l+1)=zeros(l+1,1)fori=1:l+1forj=i:l+1(A,j)=P(i,：)*P(j,：)'A,i)=A(i,j)end五，1)=P(i,:)*y'end=(A\B)'y=c*P(1:l+1,:)delt((l1)/2)=sum((yfy).人2)fprint(fp,'%d:\n',l)fprint(fp,'%g',c)fprint(fp,'\