2022/11/211:141因子分析FactorAnalysisFactorAnalysis2022/11/211:142主成分分析：以原變量的線性組合將原變量組合成少數(shù)幾個(gè)主成分。因子分析：將原變量分解成幾個(gè)公因子的線性組合，從而更好地理解原變量的內(nèi)在關(guān)系。2022/11/211:143回顧：主成分分析的任務(wù)將彼此相關(guān)的指標(biāo)變量轉(zhuǎn)化為彼此不相關(guān)的指標(biāo)變量；將個(gè)數(shù)較多的指標(biāo)變量轉(zhuǎn)化為個(gè)數(shù)較少的指標(biāo)變量。將意義單一的指標(biāo)變量轉(zhuǎn)化為意義綜合的指標(biāo)變量。2022/11/211:144主成分分析的基本原理尋找一個(gè)適當(dāng)?shù)木€性變換：將彼此相關(guān)的變量轉(zhuǎn)變?yōu)楸舜瞬幌嚓P(guān)的新變量；方差較大的幾個(gè)新變量就能綜合反應(yīng)原多個(gè)變量所包含的主要信息；新變量各自帶有獨(dú)特的專業(yè)含義。2022/11/211:145相關(guān)性的另一個(gè)角度分析：觀測(cè)指標(biāo)間存在相關(guān)性，是受某些不可觀測(cè)的潛在因素的影響造成的.如：學(xué)生的語文，英語成績相關(guān)，是受其語言能力的影響，學(xué)生的數(shù)學(xué)，物理化學(xué)成績相關(guān)，是受其邏輯推理能力的影響。2022/11/211:146變量的可測(cè)性可測(cè)變量(measuredvariable)：可以直接觀察或測(cè)量而得到的變量。潛在變量(latentvariable)：不能或不易直接觀測(cè)得到的變量。這種變量往往是根據(jù)某種理論假設(shè)的，所以也稱為理論變量(theoreticalvariable)。2022/11/211:147僅包含一個(gè)潛在因子的探索性因子分析路徑圖潛在因子其他影響因子2022/11/211:148可測(cè)變量潛在變量2022/11/211:149數(shù)學(xué)模型假設(shè)原有變量有p個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)化后分別用表示，且每個(gè)變量的均值是0，標(biāo)準(zhǔn)差是1，現(xiàn)將每個(gè)原有變量用m（m<p）個(gè)因子的線性組合來表示，即：因子模型F稱為公共因子，簡(jiǎn)稱因子，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。因子可理解為高維空間中互相垂直的k個(gè)坐標(biāo)軸；A稱為因子載荷矩陣，稱為因子載荷，是第i個(gè)原始變量在第j個(gè)因子上的負(fù)荷；稱為特殊因子，表示原始變量不能被因子解釋的部分。2022/11/211:1410因子分析數(shù)學(xué)模型可測(cè)變量（measuredvariable）潛在因子（latentvariable）,共性因子（commonfactor）因子載荷（factorloading）度量誤差（measurementerror）,特殊因子（specialfactor）2022/11/211:1411因子模型矩陣表示2022/11/211:1412因子模型假設(shè)2022/11/211:1413共性方差和個(gè)性方差共性方差(共同度)：反映Xi信息中被潛在因子解釋的比例個(gè)性方差共性方差2022/11/211:1414共性方差和個(gè)性方差2022/11/211:1415X1方差中的80.5%被潛在因子f所解釋；X2方差中的92%被潛在因子f所解釋；X3方差中的64.5%被潛在因子f所解釋。2022/11/211:1416因子貢獻(xiàn)和因子貢獻(xiàn)率因子貢獻(xiàn)：因子fj對(duì)所有原始指標(biāo)的貢獻(xiàn)因子貢獻(xiàn)率（）：因子fj對(duì)所有原始指標(biāo)的方差貢獻(xiàn)率2022/11/211:1417因子分析的基本步驟1、因子分析的前提條件；因子分析的前提條件是原始變量之間應(yīng)存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。

2、因子提取，計(jì)算因子負(fù)荷；

3、使因子更具有命名可解釋性，解釋變量間的關(guān)系；

4、計(jì)算各樣本的因子得分。2022/11/211:1418因子分析的步驟估計(jì)因子載荷確定因子個(gè)數(shù)解釋潛在因子的實(shí)際意義計(jì)算因子得分2022/11/211:1419估計(jì)因子載荷求原始變量相關(guān)矩陣；求相關(guān)矩陣的特征根(因子的貢獻(xiàn))，并排序計(jì)算所有特征根對(duì)應(yīng)的所有線形無關(guān)的特征向量；特征向量轉(zhuǎn)置，乘以特征根的平方根，即得到因子載荷。2022/11/211:1420確定因子個(gè)數(shù)一般原則：累積貢獻(xiàn)率（累積方差）達(dá)到70～85％；特征根≥1。2022/11/211:1421解釋潛在因子的實(shí)際意義解釋潛在因子的實(shí)際意義，一般以因子載荷的大小為依據(jù)。因子載荷大的指標(biāo)變量受潛在因子支配的作用大。如何判別因子載荷的大小？當(dāng)因子載荷大于或等于0.5時(shí)，可認(rèn)為該因子f支配對(duì)應(yīng)的指標(biāo)X。2022/11/211:14222022/11/211:1423特征向量

EigenvectorsPrin1Prin2Prin3Prin4Prin5Prin6x10.522252-.195699-.189953-.2537410.2265680.732908x20.525559-.080164-.167681-.3883900.304015-.667812x30.511208-.181857-.1039860.334729-.758103-.089540x40.345993-.0469780.7416530.4560600.346103-.015969x50.1887830.656595-.4703380.4980210.2526400.013219x60.1853580.6991990.392072-.465521-.3129000.091793第一主成分：C1=0.522252x1+0.525559x2+0.511208x3+0.345993x4+0.188783x5+0.185358x62022/11/211:1424主成分分析法因子模型（全分量模型）表達(dá)形式由C=Ax反解為x=AC即矩陣A稱載荷矩陣，反映各成分對(duì)原始變量x各分量的貢獻(xiàn)大小。2022/11/211:1425主成分分析法因子模型（全分量模型）表達(dá)--

主成分標(biāo)準(zhǔn)化變換2022/11/211:1426x=Lclij是xj和ci的相關(guān)系數(shù)SPSS輸出的系數(shù)矩陣是L矩陣2022/11/211:1427實(shí)例主成分分析法—

特征值（方差）及其比例2022/11/211:1428主成分分析分析法—L矩陣注意L矩陣的下標(biāo)，是列在前，行在后2022/11/211:1429主成分分析法—L矩陣注意L矩陣的下標(biāo)，是列在前，行在后2022/11/211:1430迭代主成分(主因子)分析法

1.

收集原始數(shù)據(jù)并整理為下表

2022/11/211:14312.對(duì)各指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化3.求指標(biāo)間的相關(guān)系數(shù)矩陣RX4.求指標(biāo)間的約相關(guān)系數(shù)矩陣R*

（1）R*的非對(duì)角線元素與相關(guān)矩陣RX的非對(duì)角線元素相等

（2）R*的對(duì)角線元素為共性方差2022/11/211:14325.求出約關(guān)系數(shù)矩陣R*所有大于零的特征值及相應(yīng)的特征向量6.寫出因子載荷陣A，得出原始指標(biāo)X的公因子表達(dá)式2022/11/211:1433要求：1.

保留公因子個(gè)數(shù)q小于指標(biāo)個(gè)數(shù)m，原則：

j≥1

前k個(gè)公因子累積貢獻(xiàn)率≥70%2.

各共性方差接近于1。3.

各原始指標(biāo)在同一公因子Fj上的因子載荷之間的差別應(yīng)盡可能大。2022/11/211:1434林登(Linden)根據(jù)他收集的來自139名運(yùn)動(dòng)員的比賽數(shù)據(jù)，對(duì)第二次世界大戰(zhàn)以來奧林匹克十項(xiàng)全能比賽的得分作了因子分析研究。這十個(gè)全能項(xiàng)目為：100米跑()，跳遠(yuǎn)()，鉛球()，跳高()，400米跑()，110米跨欄()，鐵餅()，撐桿跳高()，標(biāo)槍()，1500米跑()。經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后所作的因子分析表明，十項(xiàng)得分基本上可歸結(jié)于他們的短跑速度、爆發(fā)性臂力、爆發(fā)性腿力和耐力這四個(gè)方面，每一方面都稱為一個(gè)因子。十項(xiàng)得分與這四個(gè)因子之間的關(guān)系可以描述為如下的因子模型：其中表示四個(gè)因子，稱為公共因子，稱為在因子上的載荷，是的均值，是不能被四個(gè)公共因子解釋的部分，稱之為特殊因子。2022/11/211:14352022/11/211:14362022/11/211:1437一、主成分法2022/11/211:14382022/11/211:14392022/11/211:14402022/11/211:14412022/11/211:14422022/11/211:14432022/11/211:14442022/11/211:14452022/11/211:14462022/11/211:1447因子旋轉(zhuǎn)當(dāng)各公因子的專業(yè)意義難以解釋時(shí)，可以通過因子旋轉(zhuǎn)來解決。如求得的因子載荷陣A不甚理想，可右乘一個(gè)正交陣T，使AT有更好的實(shí)際意義，使各原始指標(biāo)在同一公因子上之間差別盡可能增大。稱因子正交旋轉(zhuǎn)。正交旋轉(zhuǎn)可保持各指標(biāo)的共性方差不變；各公因子互不相關(guān)。常用方差最大旋轉(zhuǎn)法等。2022/11/211:1448假設(shè)公因子Fj的解釋能力能夠以其因子載荷平方的方差來度量，考慮兩個(gè)因子的平面正交旋轉(zhuǎn)，設(shè)因子載荷矩陣為:正交陣記2022/11/211:1449經(jīng)過旋轉(zhuǎn)要求兩組數(shù)據(jù)的方差達(dá)到最大。即2022/11/211:1450將V對(duì)φ求導(dǎo)，并令其為零，經(jīng)過計(jì)算，其旋轉(zhuǎn)角度可按下面公式求得其中由此就可以得出φ的取值范圍。2022/11/211:1451幾點(diǎn)注意

1.因子分析的解不唯一（1）同一問題可以有不同的因子分析解：主成分解、主因子解、極大似然解（2）進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)以獲得更為滿意的解。2.因子得分不能直接進(jìn)行計(jì)算，但可以估計(jì)。

2022/11/211:14523.主成分分析與因子分析間的關(guān)系（1）兩者的分析重點(diǎn)不一致

Z=AX主成分為原始變量線性組合，重點(diǎn)在綜合原始變量信息。

X=AF+e原始變量為公因子與特殊因子線性組合