同步測試試題一、選擇題(共12小題，每小題5分，共60分)1．下列函數中，定義域為(0，＋∞)的是()A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝[答案]B[解析]選項C中函數量為，四個選項中函數的定義域分別為(0，＋∞)、、、R，所以只有選項B符合。2．下列函數中是奇函數且是減函數的是()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝－x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝3x[答案]B[解析]由冪函數的性質可得。奇函數有選項A、D，又是減函數的是選項B。3．若，則函數y＝ax與y＝(1－a)x2的圖象可能是下列四個選項中的()[答案]B[解析]，∴y＝ax在R上單調遞減且過點(0,1)，排除選項A、C，又∵1－a>0，∴y＝(1－a)x2的開口向上．4．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，則f(2a)等于()A．5 B．7C．9 D．11[答案]B[解析]由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，兩邊平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝7.5．已知a＝，函數f(x)＝ax，若實數m，n滿足f(m)>f(n)，則實數m，n的關系是()A．m＋n<0 B．m＋n>0C．m>n D．m<n[答案]D[解析]∵a＝，即0<a<1，∴函數f(x)＝ax是減函數，又f(m)>f(n)，∴m<n.6．函數f(x)＝(a>0，a≠1)的值域為[1，＋∞)，則f(－4)與f(1)的關系是()A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能確定[答案]A[解析]由題意知a>1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由單調性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)．7．函數y＝的單調增區間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．(－1，2] D．[2，5)[答案]D[解析]設y＝，，函數y＝的增區間即為的減區間且t>0，故為（2，5），故選D.8.已知函數f(x)=logax(a>0,a≠1),若，則（） [答案]100[解析]。9．已知函數f(x)＝則f(f())＝ ()．A．9 B.C．－9 D．－[答案]B[解析]由f()＝，∴f(f())＝f(－2)＝。10．若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數，且f(3)＝1，則的單調遞減區間為（）A．(-∞,2]B.(0,2)C．[2,4)D．[2，+∞)[答案]C[解析]f(x)＝logax，∵f(3)＝1，∴loga3＝1.∴a＝3.∴f(x)＝log3x.可看成由函數與復合而成，由復合函數的單調性及定義域可得單調減區間為[2,4)。11.已知f(x)=是（-∞,+∞)上的減函數，那么a的取值范圍是（）A．B.C．D．[答案]A[解析]依題意有，解得。12．偶函數y＝f(x)滿足條件f(x＋1)＝f(x－1)，且當x∈[－1,0]時，f(x)＝4x＋，則f()的值等于()A．－1 B.C. D．1[答案]D[解析]由f(x＋1)＝f(x－1)知函數的周期為2，。所以D。二、填空題13.函數的圖象過定點________．[答案]（2，2）[解析]由得此時，所以圖象過定點（2，2）。14．設a＝，b＝，c＝，d＝，則a，b，c，d從小以大排列為________．[答案]d<b<c<a[解析]a＝＝，c＝，因為y＝2x是增函數，∴a>c>1；因為函數y＝在[0，＋∞)<是增函數，1>>，∴1>所以d<b<c<a。15．(上海理工附中2022～2022學年第一學期期末考試)函數f(x)＝ex2＋2x的增區間為________．[答案][－1，＋∞)[解析]設f(x)＝et，t＝x2＋2x，由復合函數性質得，f(x)＝ex2＋2x增區間就是t＝x2＋2x增區間[－1，＋∞)．故填[－1，＋∞)．(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數)，則f(－1)＝________.[答案]－3[解析]∵f(x)是定義在R上的奇函數，且x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b，∴f(0)＝1＋b＝0，∴b＝－1，∴f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.三、解答題17．（1）已知10a＝2,10b＝5,10c＝3，求103a－2b＋c的值．（2）計算.[解析]（1）103a－2b＋c＝eq\f(103a·10c,102b)＝eq\f((10a)3·10c,(10b)2)＝eq\f(23×3,52)＝eq\f(24,25).（2）原式＝＝－1－1＋23＋＝12。18．求下列函數的定義域和值域．(1)y＝；(2)y＝.[解析](1)顯然定義域為R.∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，且y＝為減函數．∴≥＝eq\f(1,2).故函數y＝的值域為(2)由32x－1－9≥0，得32x－1≥9＝32，∵y＝3x為增函數，∴2x－1≥2，即x≥－eq\f(3,2)，此函數的定義域為，由上可知32x－1－9≥0，∴y≥0.即函數的值域為[0，＋∞)．19．若函數f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a>0且a≠1)，滿足對任意的x1，x2，當x1<x2≤eq\f(a,2)時，f(x1)－f(x2)>0，求實數a的取值范圍．[解析]因為對任意的x1，x2，當x1<x2≤eq\f(a,2)時，f(x1)－f(x2)>0，所以函數f(x)在上單調遞減．令t＝x2－ax＋3，則二次函數t＝x2－ax＋3的對稱軸為x＝eq\f(a,2)，其在上單調遞減．由復合函數的單調性，可知y＝logax為單調增函數，故a>1.由對數函數的定義域，可知在區間上，t>0恒成立，即x2－ax＋3>0在區間上恒成立．而函數t＝x2－ax＋3在區間上的最小值為－a×eq\f(a,2)＋3＝3－eq\f(a2,4).故3－eq\f(a2,4)>0，解得a<2eq\r(3).綜上可得a的取值范圍是(1,2eq\r(3))．20．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及對應的x值；(2)x取何值時，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)＜f(1)．[解析](1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0.∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4.∴b＝4－a2＋a＝2.故f(x)＝x2－x＋2.從而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝＋eq\f(7,4).∴當log2x＝eq\f(1,2)，即x＝eq\r(2)時，f(log2x)有最小值eq\f(7,4).(2)由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((log2x)2－log2x＋2＞2，,log2(x2－x＋2)＜2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞2或0＜x＜1，,－1＜x＜2，))∴0＜x＜1.21．已知函數f(x)＝2x－eq\f(1,2|x|).(1)若f(x)＝0，求x的值；(2)若對于t∈[1,2]時，不等式2tf(2t)＋mf(t)≥0恒成立，求實數m的取值范圍．[解析](1)f(x)＝0即2x－eq\f(1,2|x|)＝0，當x≥0時，2x－eq\f(1,2x)＝0，去分母得4x＝1，∴x＝0，當x<0時，2x－eq\f(1,2－x)＝2，即0＝0恒成立，綜上x≤0.(2)∵2t(22t－eq\f(1,22t))＋m(2t－eq\f(1,2t))≥0，∴2t(2t－eq\f(1,2t))(2t＋eq\f(1,2t))＋m(2t－eq\f(1,2t))≥0化簡得(2t－eq\f(1,2t))(4t＋1＋m)≥0，∵t∈[1,2]，∴2t>eq\f(1,2t)，∴4t＋1＋m≥0恒成立，即m≥－(4t＋1)恒成立，也就是m大于等于－(4t＋1)的最大值－5，∴m≥－5，因此m的取值范圍為[－5，＋∞)．22．設函數f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數．(1)若f(1)>0，試求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝eq\f(3,2)，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．[解析]∵f(x)是定義域為R上的奇函數，∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1.(1)∵f(1)>0，∴a－eq\f(1,a)>0，又a>0且a≠1，∴a>1，f(x)＝ax－a－x，∵f′(x)＝axlna＋a－xlna＝(ax＋a－x)lna>0，∴f(x)在R上為增函數．原不等式可化為f(x2＋2x)>f(4－x)，∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，∴x>1或x<－4，∴不等式的解集為{x|x>1，或x<－4}．(2)∵f(1)＝eq\f(3,2)，∴a－eq\f(1,a)＝eq\f(3,2)，即2a2－3a－2＝0，∴a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴g(x