第四節全微分方向導數梯度第四節全微分方向導數梯度1

我們以二元函數為主,進行講解,所得結論可容易地推廣至三元和三元以上的函數中.一.全微分我們以二元函數為主,進行講解,所得結論可2回憶一元函數的微分可微可導回憶一元函數的微分可微可導3運用多元函數的全增量概念,將一元函數的微分概念推廣到多元函數中.一元函數的增量多元函數的全增量運用多元函數的全增量概念,將一元函數的微分概念推廣到多元函數4回憶一元微分的幾何意義yDyd

一元:用切線上的增量近似曲線上的增量.

多元:用切平面上的增量近似曲面上的增量.回憶一元微分的幾何意義yDyd一元:用切線上的增量近5應用的某一個線性函數表示二元函數的全增量應用的某一個線性函數表示二元函數的全增量6二元函數全微分的定義時,若函數在點X0

處的全增量可則稱函數在點X0

處可微,設函數在點的某一鄰域稱為函數在點X0處的全微分,其中,a,b是與DX內有定義,當獲得增量且表示為

0有關的常數.無關,僅與X二元函數全微分的定義時,若函數在點X0處的全增量可7全微分概念的極限形式其中全微分概念的極限形式其中8如果函數在區域中的每一點均可微,則稱函數在區域上可微.函數在區域上的可微性如果函數在區域中的每一點均可微,則稱函數在區域9可微連續可導???

在多元函數中,三者的關系如何？可微連續可導???在多元函數中,三者的關系如何？10可微：連續：可微與連續的關系

(可微的必要條件)可微：連續：可微與連續的關系(可微的必要條件)11可微與連續的關系

(可微的必要條件)函數在點X0

處可微,則必在點X0

處連續.可微與連續的關系(可微的必要條件)函數在點X0處可微,12可微連續可導?在多元函數中,可微連續可微連續可導?在多元函數中,可微連續13可微與可導的關系(可微的必要條件)定理若在點處可微,可微：可微與可導的關系(可微的必要條件)定理若在點處可微,可微：14可微與可導的關系(可微的必要條件)定理則其兩個偏導數均存在,且若在點處可微,可微與可導的關系(可微的必要條件)定理則其兩個偏導數均存在15證若函數可微,則即同理,取證若函數可微,則即同理,取16可微連續可導在多元函數中,可微可偏導可微連續可導在多元函數中,可微可偏導17可微連續可導在多元函數中,可微可偏導在多元函數中,可偏導可微?可微連續可導在多元函數中,可微可偏導在多元函數中,18函數在點(0,0)處連續,且有有界的偏導數,但不可微.例1

該例留給學生課后研討參考書：《高等數學中的反例》朱勇等編華中工學院出版社1986年p120~130函數在點(0,0)處連續,且有有界的偏導數,但不可微.19逆命題?可微連續可導連續可導連續可導Ok逆命題?可微連續可導連續可導連續可導Ok20定理設在內有定義,可偏導.若,在點處連續,則函數f(X)在點X0處可微.二元函數可微的充分條件定理設在內有定義,可偏導.若,在點處連續,則函數f21證要證明函數f(X)在點X0處可微,即要證利用微分中值定理由偏導數的連續性證要證明函數f(X)在點X0處可微,即要證22故同理其中為該極限過程中的無窮小量.從而,函數的全增量故同理其中為該極限過程中的無窮小量.從而,函數的全增量23又由夾逼定理

這一步是怎么得來的？故即函數f(X)在點X0處可微.又由夾逼定理這一步是怎故即函數f(X)在點24如果函數在區域中具有連續偏導數和,則稱函數為區域中的類函數,記為當不強調區域時,記為如果函數在區域中具有連續偏導數和,則稱函數為區域中的類函數25二.全微分的計算

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P28

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P28全微分的計算全微分的計算二.全微分的計算請看書26全微分方向導數與梯度課件27例2解

將y,z看成常數:

將x,z看成常數:例2解將y,z看成常數:將x,z看成28

將x,y看成常數:故將x,y看成常數:故29例3若可微,求其全微分.解例3若可微,求其全微分.解30例4.

求u=xyz的全微分.解:故du=yzxyz–1

dx+zxyzlnxdy+yxyzlnxdy=xyz–1

(yzdx+xzlnxdy+xylnxdy)例4.求u=xyz的全微分.解:故du=31回頭看全微分公式這與物理中的疊加原理相符.回頭看全微分公式這與物理中的疊加原理相符.32三.方向導數回憶一元函數的單側導數:ABC三.方向導數回憶一元函數的單側導數:ABC33xOyz.P0Pl.利用點函數推廣到xOyz.P0Pl.利用點函數推廣到34方向導數的定義

設函數在內有定義.若點沿射線l趨于時,極限l方向的方向導數.記為存在,則稱該極限值為函數在點處沿方向導數的定義設函數在內有定義.若點沿射線l趨于時35比較方向導數與偏導數的概念在方向導數中,分母在偏導數中,分母可正、可負.即使l的方向與x軸

,y

軸的正方向一致時,方向導數與偏導數也是兩個不同的概念.單向雙向比較方向導數與偏導數的概念在方向導數中,分母在偏導數中,36

利用直線方程可將方向導數的定義表示為:射線l的方程:則故利用直線方程可將方向導數的定義表示為:射線l的方程:則37怎么計算方向導數？怎么計算方向導數？38全微分方向導數與梯度課件39全微分方向導數與梯度課件40方向導數導計算公式若函數在點處可微,則函數在點處沿任一方向的方向導數存在,且其中,各偏導數均為在點處的值.定理方向導數導計算公式若函數在點處可微,則函數在點處沿任一方向的41例4解例4解42例5由點到坐標原點的距離定義的函數在坐標原點處向導數值都等于1:的兩個偏導數均不存在,但它在該點沿任何方向的方向導數均存在,且方此例說明:1.方向導數存在時,偏導數不一定存在.2.可微是方向導數存在的充分條件,而不是必要條件.例5由點到坐標原點的距離定義的函數在坐標原點處向導數值都等于43全微分方向導數與梯度課件44只與函數在點X0處的偏導數有關.1只與函數在點X0處的偏導數有關.145一個問題：該問題僅在不同時為零才有意義.在給定點沿什么方向增加得最快?可微函數一個問題：該問題僅在不同時為零才有意義.在給定點沿什么方向增46現在正式給出的定義gradu且現在正式給出的定義gradu且47四.梯度定義設則稱向量為函數在點處的梯度,記為或四.梯度定義設則稱向量為函數在點處的梯度,記為或48

梯度的方向與取得最大方向導數值的方向一致,而梯度的模就是函數在該點的方向導數的最大值.

以上結論可以推廣到二元和三元以上的函數中.梯度的方向與取得最大方向導數值的方向一致,而梯度的模就是函49在中在中可統一表示為在中在中可統一表示為50例6解∵∴從而例6解∵∴從而51

梯度及其運算公式的參考書

工程數學《矢量分析與場論》謝樹藝高等教育出版社1985年梯度及其運算公式的參考書工程數學《矢量分析與場論52第四節全微分方向導數梯度第四節全微分方向導數梯度53

我們以二元函數為主,進行講解,所得結論可容易地推廣至三元和三元以上的函數中.一.全微分我們以二元函數為主,進行講解,所得結論可54回憶一元函數的微分可微可導回憶一元函數的微分可微可導55運用多元函數的全增量概念,將一元函數的微分概念推廣到多元函數中.一元函數的增量多元函數的全增量運用多元函數的全增量概念,將一元函數的微分概念推廣到多元函數56回憶一元微分的幾何意義yDyd

一元:用切線上的增量近似曲線上的增量.

多元:用切平面上的增量近似曲面上的增量.回憶一元微分的幾何意義yDyd一元:用切線上的增量近57應用的某一個線性函數表示二元函數的全增量應用的某一個線性函數表示二元函數的全增量58二元函數全微分的定義時,若函數在點X0

處的全增量可則稱函數在點X0

處可微,設函數在點的某一鄰域稱為函數在點X0處的全微分,其中,a,b是與DX內有定義,當獲得增量且表示為

0有關的常數.無關,僅與X二元函數全微分的定義時,若函數在點X0處的全增量可59全微分概念的極限形式其中全微分概念的極限形式其中60如果函數在區域中的每一點均可微,則稱函數在區域上可微.函數在區域上的可微性如果函數在區域中的每一點均可微,則稱函數在區域61可微連續可導???

在多元函數中,三者的關系如何？可微連續可導???在多元函數中,三者的關系如何？62可微：連續：可微與連續的關系

(可微的必要條件)可微：連續：可微與連續的關系(可微的必要條件)63可微與連續的關系

(可微的必要條件)函數在點X0

處可微,則必在點X0

處連續.可微與連續的關系(可微的必要條件)函數在點X0處可微,64可微連續可導?在多元函數中,可微連續可微連續可導?在多元函數中,可微連續65可微與可導的關系(可微的必要條件)定理若在點處可微,可微：可微與可導的關系(可微的必要條件)定理若在點處可微,可微：66可微與可導的關系(可微的必要條件)定理則其兩個偏導數均存在,且若在點處可微,可微與可導的關系(可微的必要條件)定理則其兩個偏導數均存在67證若函數可微,則即同理,取證若函數可微,則即同理,取68可微連續可導在多元函數中,可微可偏導可微連續可導在多元函數中,可微可偏導69可微連續可導在多元函數中,可微可偏導在多元函數中,可偏導可微?可微連續可導在多元函數中,可微可偏導在多元函數中,70函數在點(0,0)處連續,且有有界的偏導數,但不可微.例1

該例留給學生課后研討參考書：《高等數學中的反例》朱勇等編華中工學院出版社1986年p120~130函數在點(0,0)處連續,且有有界的偏導數,但不可微.71逆命題?可微連續可導連續可導連續可導Ok逆命題?可微連續可導連續可導連續可導Ok72定理設在內有定義,可偏導.若,在點處連續,則函數f(X)在點X0處可微.二元函數可微的充分條件定理設在內有定義,可偏導.若,在點處連續,則函數f73證要證明函數f(X)在點X0處可微,即要證利用微分中值定理由偏導數的連續性證要證明函數f(X)在點X0處可微,即要證74故同理其中為該極限過程中的無窮小量.從而,函數的全增量故同理其中為該極限過程中的無窮小量.從而,函數的全增量75又由夾逼定理

這一步是怎么得來的？故即函數f(X)在點X0處可微.又由夾逼定理這一步是怎故即函數f(X)在點76如果函數在區域中具有連續偏導數和,則稱函數為區域中的類函數,記為當不強調區域時,記為如果函數在區域中具有連續偏導數和,則稱函數為區域中的類函數77二.全微分的計算

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P28全微分的計算全微分的計算二.全微分的計算請看書78全微分方向導數與梯度課件79例2解

將y,z看成常數:

將x,z看成常數:例2解將y,z看成常數:將x,z看成80

將x,y看成常數:故將x,y看成常數:故81例3若可微,求其全微分.解例3若可微,求其全微分.解82例4.

求u=xyz的全微分.解:故du=yzxyz–1

dx+zxyzlnxdy+yxyzlnxdy=xyz–1

(yzdx+xzlnxdy+xylnxdy)例4.求u=xyz的全微分.解:故du=83回頭看全微分公式這與物理中的疊加原理相符.回頭看全微分公式這與物理中的疊加原理相符.84三.方向導數回憶一元函數的單側導數:ABC三.方向導數回憶一元函數的單側導數:ABC85xOyz.P0Pl.利用點函數推廣到xOyz.P0Pl.利用點函數推廣到86方向導數的定義

設函數在內有定義.若點沿射線l趨于時,極限l方向的方向導數.記為存在,則稱該極限值為函數在點處沿方向導數的定義設函數在內有定義.若點沿射線l趨于時87比較方向導數與偏導數的概念在方向導數中,分母在偏導數中,分母可正、可負.即使l的方向與x軸

,y

軸的正方向一致時,方向導數與偏導數也是兩個不同的概念.單向雙向比較方向導數與偏導數的概念在方向導數中,分母在偏導數中,88

利用直線方程可將方向導數的定義表示為:射線l的方程:則故利用直線方程可將方向導數的定義表示為:射線l的方程:則89怎么計算方向導數？怎么計算方向導數？90全微分方向導數與梯度課件91全微分方向導數與梯度課件92方向導數導計算公式若函數在點處可微,則函數在點處沿任一方向的方向導數存在,且其中,各偏導數均為在點處的值.定理方向導數導計算公式