2.1一元二次方程第二章一元二次方程2.1一元二次方程第二章一元二次方程1學習目標1.在把實際問題轉化為一元二次方程的模型的過程中，形成對一元二次方程的感性認識。2.理解一元二次方程的定義，能識別一元二次方程。3.知道一元二次方程的一般形式，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式，能寫出一般形式的二次項系數、一次項系數和常數項。學習目標1.在把實際問題轉化為一元二次方程的模型的過程中，形2如圖所示，已知一矩形的長為200cm，寬為150cm.現在矩形中挖去一個圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的.求挖去的圓的半徑xcm應滿足的方程（其中取3）.要建立方程，關鍵是找出問題中的等量關系。分析問題涉及的等量關系是：矩形的面積-圓的面積=矩形的面積

.情境導入問題一如圖所示，已知一矩形的長為200cm，寬為150cm3分析問題涉及的等量關系是：解:由于圓的半徑為xcm,則它的面積為3x2cm2.根據等量關系，可以列出方程化簡，整理得①

矩形的面積-圓的面積=矩形的面積

.分析問題涉及的等量關系是：解:由于圓的4據某市交通部門統計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率x應滿足的方程.分析問題涉及的等量關系是：解:

該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率為x.根據等量關系，可以列出方程化簡，整理得②兩年后的汽車擁有量=前年的汽車擁有量×(1+年平均增長率)2問題二據某市交通部門統計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年5方程

①和

②，它們有什么共同點？①②

兩個方程都只有一個未知數.

它們的左邊都是二次多項式.它們的右邊是0。觀察方程①和②，它們有什么共同點？①②兩個方程都只有一6從方程①和②受到啟發，如果一個方程通過整理可以使右邊為0，而左邊是只含有一個未知數的二次多項式，那么這樣的方程叫作一元二次方程.它的一般形式是其中a，b，c分別叫作二次項系數、一次項系數、常數項．ax2+bx+c=0（a，b，c是已知數，a≠0）總結歸納從方程①和②受到啟發，如果一個方程通過整理可以使右邊為0，而7

1.

下列方程哪些是一元二次方程?(1)

7x2-6x=0(2)

2x2-5xy+6y=0(5)

x2+2x-3=1+x2(3)

2x2--1=0－13x解:以上是一元二次方程的是：(4)=0－y22(6)

3x3-3x=0（1）（4）當堂練習1.下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x2-6x=82.把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項：方程一般形式二次項系數一次項系數常數項3x2＝5x－1(x＋2)(x－1)＝64－7x2＝03x2

－5x＋1＝0x2＋x－8＝0－7x2

＋0

x＋4＝031－7－5101－843－5＋111－8－704＋2.把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系91.一元二次方程的概念

2.一元二次方程的一般形式如果一個方程通過整理可以使右邊為0，而左邊是只含有一個未知數的二次多項式，那么這樣的方程叫作一元二次方程.ax2+bx+c=0（a，b，c是已知數，a≠0），其中a，b，c分別叫作二次項系數、一次項系數、常數項．通過這節課學習，你有哪些收獲？

課堂小結1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的一般形式如果一個102.2.1配方法第2章一元二次方程第1課時用直接開平方法解一元二次方程2.2.1配方法第2章一元二次方程第1課時用11學習目標1.理解并掌握一元二次方程的根的概念;2.會用直接開平方法解形如的方程．（重點、難點）學習目標1.理解并掌握一元二次方程的根的概念;12問題：一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2，小李用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？導入新課問題：一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2，小李用這桶油13解：設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2，根據一桶油漆可刷的面積列出方程：10×6x2＝1500，由此可得x2＝25，根據平方根的意義，得x＝±5，即x1＝5，x2＝－5．但棱長不能為負值，所以正方體的棱長為5dm.解：設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為14前面題解得的x1＝5，x2＝－5也叫作10×6x2＝1500的根．一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．一、一元二次方程的解（根）前面題解得的x1＝5，x2＝－5也叫作10×6x2＝150015例1：已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一個解，則m的值是()A.-1B.1C.0D.0或1解析：把x=1代入一元二次方程x2-mx+2m=0

可得m=-1.A典例精析例1：已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一個解，16問題1：能化為(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具備什么特點？左邊是含有未知數的完全平方式，右邊是非負常數的一元二次方程可化為(x+m)2=n(n≥0).問題2：x2＝9，根據平方根的意義，直接開平方得x＝±3，如果x換元為2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接開平方的方法求解呢？一起看看下面的例題．二、直接開平方法解一元二次方程問題1：能化為(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具備17例2：解方程：(1)x2＋4x＋4＝1(2)x2＋6x＋9＝2解：(1)由原方程得：(x+2)2=1直接開平方得：x+2=±1

x1=-1

x2=-3右邊是大于0的數所以方程有個不同的的實數解(2)由原方程得：(x+3)2=2直接開平方得：典例精析例2：解方程：(1)x2＋4x＋4＝1(2)x2＋6x＋18用直接開平方法解方程時，要先將方程化成左邊是含未知數的完全平方式，右邊是非負常數的形式，再根據平方根的定義求解．注意開方后，等式的右邊取“正、負兩種情況”．方法歸納用直接開平方法解方程時，要先將方程化成左邊是含未知數的完全平191．一元二次方程x2－4＝0的根為(

)A．x＝2B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2D．x＝42．方程5y2－3＝y2＋3的實數根的個數是(

)A．0個B．1個C．2個D．3個3．一元二次方程x2＝7的根是

．CC當堂練習1．一元二次方程x2－4＝0的根為()CC當堂204．若代數式3x2－6的值為21，則x的值是

．5．解下列方程：

(1)2y2－100＝0；(2)(x＋6)(x－6)＝64.解析：由題意可得方程：3x2－6＝21；解這個方程得：x1=3，x2=-3.解：x2-36=64

x2=100

x=±10解：2y2=100

y2=504．若代數式3x2－6的值為21，則x的值是21直接開平方法解一元二次方程一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根直接開平方法解形如課堂小結直接開平方法解一元二次方程一元二次方程的解：使方程左右兩邊相222.2一元二次方程的解法2.2.1配方法（第二課時）2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法（第二課時）23學習目標1.使用完全平方式把x2+ax型的代數式配成(x+p)2-q(q≥0)的形式.2.運用配方法解二次項系數為1的一元二次方程.學習目標1.使用完全平方式把x2+ax型的代數式配成(x+24(1)(2)2、下列方程能直接根據平方根的意義來解嗎?1、解下列方程:左邊是完全平方式可轉化成(x+b)2=a(a≥0)的形式，再根據平方根的意義求解.舊知回顧(1)(2)2、下列方程能直接根據平方根的意義來解嗎?1、25湘教版九年級數學上冊第二章一元二次方程課件26(1)(2)(3)=(+)2=(

)2=(

)2填上適當的數或式,使下列各等式成立.()2=(

)2(4)觀察(1)(2)當二次項系數是1時,所填的常數項與一次項系數之間有什么關系?當二次項系數是1時，常數項是一次項系數絕對值一半的平方.探究(1)(2)(3)=(+)2=()2=27怎樣解方程x2+6x-16=0？能把方程x2+6x-16=0轉化成(mx+n)2=a的形式嗎？

移項兩邊加上32,使左邊配成完全平方式左邊寫成完全平方的形式開平方變成了(mx+n)2=a的形式怎樣解方程x2+6x-16=0？能把方程x2+6x-128把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式,右邊為一個非負常數，然后根據平方根的意義求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法配方的作用是？降次歸納總結把一個一元二次方程轉化成兩個一元一次方程把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式,右邊為一個非負常數，29解下列方程:①x2+10x+9=0②x2-x-=0③

x2－2x＋4＝0方程無實數根當堂練習解下列方程:①x2+10x+9=0②x2-x-=30用配方法解一元二次方程的步驟：移項：把常數項移到方程的右邊；配方：方程兩邊都加上一次項系數絕對值一半的平方；開方：根據平方根意義，方程兩邊開平方（有正負兩根）求解：解一元一次方程；定解：寫出原方程的解.課堂小結用配方法解一元二次方程的步驟：移項：把常數項移到方程的右邊；312.若x2–mx+49是一個完全平方式，則m=

.1.關于x的二次三項式x2+4x+k是一個完全平方式，則k的值是

.3.用配方法將二次三項式a2-4a+5變形結果是（

）

A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1

C．（a+2）2+1D．（a-2）2-14±14A4.用配方法解下列方程：（1）x2-3x-1=0（2）x2–x-=05.用配方法說明：不論k取何實數，多項式k2－3k＋5的值必定大于零.小試牛刀2.若x2–mx+49是一個完全平方式，則m=321.本節課你學到了什么？2.若是要解方程2x2﹣4x﹣1=0該如何解？思考1.本節課你學到了什么？思考332.2一元二次方程的解法2.2.2公式法第二章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.2公式法第二章一元二34教學目標學會用公式法解一元二次方程，其一般步驟：1、把方程化成一般形式，并寫出a、b、c的值.2、求出b2-4ac的值.特別注意:當b2-4ac≥0時原方程有實數解.3、代入求根公式：4、寫出方程的解：x1=？，x2=?教學目標學會用公式法解一元二次方程，其一般步驟：1、把方程化35解：移項，得配方由此可得利用配方法解一元二次方程回顧舊知解：移項，得配方由此可得利用配方法解一元二次方程回顧舊知36化：把原方程化成x＋px＋q=0的形式.移項：把常數項移到方程的右邊，如x2＋px=－q.配方：方程兩邊都加上一次項系數一半的平方.開方：根據平方根的意義，方程兩邊開平方.求解：解一元一次方程.定解：寫出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步驟方程右邊是非負數x2＋px＋()2=－q＋()2(x+)2=－q＋()2化：把原方程化成x＋px＋q=0的形式.用配方法解一37一元二次方程的一般形式是什么？ax2＋bx＋c=0(a≠0)如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么這個根是不是可以普遍適用呢？導入新課一元二次方程的一般形式是什么？ax2＋bx＋c=0(a≠38任何一元二次方程都可以寫成一般形式你能否也用配方法得出①的解呢？二次項系數化為1，得配方即①②移項，得試一試任何一元二次方程都可以寫成一般形式你能否也用配方法得出①的解39因為a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三種情況：（2）當 時，一元二次方程 有實數根．（1）當 時，一元二次方程 有實數根．（3）當 時，一元二次方程 沒有實數根．因為a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三種情況：40一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式.通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac.由上可知當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根.一般地,對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

上面這個式子稱為一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法當時，方程有實數根嗎？歸納小結一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠041例2：用公式法解方程（1）x2-4x-7=0結論：當時，一元二次方程有兩個不相等的實數根.–例2：用公式法解方程（1）x2-4x-7=0結論：當時，一421.變形:化已知方程為一般形式;3.計算:△=b2-4ac的值;4.代入:把有關數值代入公式計算;5.定根:寫出原方程的根.2.確定系數:用a,b,c寫出各項系數;公式法1.變形:化已知方程為一般形式;3.計算:△=b2-4ac43解：則：方程有兩個相等的實數根：這里的a、b、c的值分別是什么？結論：當時，一元二次方程有兩個相等的實數根.解：則：方程有兩個相等的實數根：這里的a、b、c的值分別是什44這里的a、b、c的值分別是什么？則：方程有兩個不相等的實數根結論：當時，一元二次方程有兩個不相等的實數根.這里的a、b、c的值分別是什么？則：方程有兩個不相等的實數根45這里的a、b、c的值分別是什么？∴方程無實數根.結論：當時，一元二次方程沒有實數根.這里的a、b、c的值分別是什么？∴方程無實數根.結論：當時，46用公式法解一元二次方程的一般步驟1.將方程化成一般形式，并寫出a，b，c的值.2.求出?

的值.3.(a)當?>0時，代入求根公式:

寫出一元二次方程的根：

x1=______，x2=______.

(b)當?=0時，代入求根公式： 寫出一元二次方程的根：

x1=x2=______.

(b)當?<0時，方程實數根.

用公式法解一元二次方程的一般步驟1.將方程化成一般形式，并47求本章引言中的問題，雕像下部高度x(m)滿足方程解這個方程，得精確到0.001，x1≈1.236，雖然方程有兩個根，但是其中只有x1≈1.236符合問題的實際意義，所以雕像下部高度應設計為約1.236m．求本章引言中的問題，雕像下部高度x(m)滿足方程解這個方程，48隨堂練習

用公式法解下列方程：隨堂練習用公式法解下列方程：49答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）答案：（1）50課堂小結公式法求根公式步驟一化（一般形式）；二定（系數值）；三求（Δ值）；

四判（方程根的情況）；五代（求根公式計算）.根的判別式b2-4ac務必將方程化為一般形式課堂小結公式法求根公式步驟一化（一般形式）；根的判別式b2-51第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.3因式分解法第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.352學習目標1.用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次方程及其應用.2.三種方法（配方法、公式法、因式分解法）的聯系與區別：學習目標1.用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全531.我們已經學過了幾種解一元二次方程的方法?2.什么叫分解因式?把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式叫做分解因式.直接開平方法配方法X2=a(a≥0)(x+m)2=n(n≥0)公式法復習導入1.我們已經學過了幾種解一元二次方程的方法?2.什么叫分解因54你能解決這個問題嗎一個數的平方與這個數的3倍有可能相等嗎？如果相等，

這個數是幾？你是怎樣求出來的？小穎,小明,小亮都設這個數為x,根據題意得小穎做得對嗎?小明做得對嗎?自我探究你能解決這個問題嗎一個數的平方與這個數的3倍有可能相等嗎？如55當一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為分解因式法.老師提示:1.用分解因式法的條件是:方程左邊易于分解,而右邊等于零;2.關鍵是熟練掌握因式分解的知識;3.理論依舊是“如果兩個因式的積等于零,那么至少有一個因式等于零.”分解因式法當一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因56自學P38兩個例題，注意方程各自的特點，自學后比一比誰能靈活運用分解因法解相關方程.2.思考“動腦筋”中提出的問題，靈活運用因式分解法.自學自學P38兩個例題，注意方程各自的特點，自學后比一比誰能57用分解因式法解方程:(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).分解因式法解一元二次方程的步驟是:2.將方程左邊因式分解;3.根據“至少有一個因式為零”,轉化為兩個一元一次方程.4.分別解兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根.1.化方程為一般形式;例題欣賞用分解因式法解方程:(1)5x2=4x;(2)x-2=x(581.x2-4=0;2.(x+1)2-25=0.解：1.(x+2)(x-2)=0,∴x+2=0,或x-2=0.∴x1=-2,x2=2.你能用分解因式法解下列方程嗎？2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,∴x+6=0,或x-4=0.∴x1=-6,x2=4.這種解法是不是解這兩個方程的最好方法?你是否還有其它方法來解?你有幾種方法來解題1.x2-4=0;2.(x+1591.解下列方程:當堂練習1.解下列方程:當堂練習60解：設這個數為x,根據題意,得∴x=0,或2x-7=0.2x2=7x.2x2-7x=0,x(2x-7)

=0,2.一個數平方的2倍等于這個數的7倍,求這個數.解：設這個數為x,根據題意,得∴x=0,或2x-7=0.2x61用分解因式法解下列方程

參考答案：1.;2.；4.;小試牛刀用分解因式法解下列方程參考答案：1.62

參考答案：參考答案：63當一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為分解因式法.分解因式法的條件是方程左邊易于分解,而右邊等于零,關鍵是熟練掌握因式分解的知識,理論依舊是“如果兩個因式的積等于零,那么至少有一個因式等于零.”當堂小結當一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個64因式分解法解一元二次方程的步驟是:(1)化方程為一般形式;(2)將方程左邊因式分解;(3)根據“至少有一個因式為零”,得到兩個一元一次方程.(4)兩個一元一次方程的根就是原方程的根.因式分解的方法,突出了轉化的思想方法——“降次”,鮮明地顯示了“二次”轉化為“一次”的過程.因式分解法解一元二次方程的步驟是:65解下列方程

參考答案：課后作業解下列方程參考答案：課后作業66

參考答案：參考答案：672.3一元二次方程根的判別式2.3一元二次方程根的判別式68教學目標1.感悟一元二次方程的根的判別式的產生的過程；2.能運用根的判別式，判別方程根的情況和進行有關的推理論證；3.會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數的范圍.教學目標1.感悟一元二次方程的根的判別式的產生的過程；692.我們在運用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）時，總是要求b2-4ac≥0.這是為什么？1.寫出解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.導入新課2.我們在運用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a70我們知道,任何一個一元二次方程∵a≠0∴4a2>0配方

我們知道,任何一個一元二次方程∵a≠0∴4a2>0配方71當時，當時，當時，方程有兩個不相等的實數根：方程有兩個相等的實數根：方程沒有實數根.1.3.2.當時，當時72我們把叫做一元二次方程的根的判別式，用符號“”表示，即.記住了，別搞錯!我們把叫做一元二次方程記住了，別搞錯!73例

不解方程，利用判別式判斷下列方程根的情況.

（1）

3x2－x＋1=3x；（2）5（x2＋1）=7x；（3）x2－4x=－4.方程要先化為一般形式，再求判別式例題講解例不解方程，利用判別式判斷下列方程根的情況.方程要先化為74

解：（1）原方程化為一般形式為：3x2－4x＋1=0.因為=（－4）2－4×3×1=16－12=4>0，所以，原方程有兩個不相等的實數根.（1）

3x2－x＋1=3x；解：（1）原方程化為一般形式為：75

解：（2）原方程化為一般形式為：5x2－7x＋5=0.因為=（－7）2－4×5×5=49－100=－51<0，所以，原方程沒有實數根.（2）5（x2＋1）=7x；解：（2）原方程化為一般形式為：76

解：（3）原方程化為一般形式為：

x2－4x＋4=0.

因為=（－4）2－4×1×4=16－16=0，所以，原方程有兩個相等的實數根.（3）x2－4x=－4.解：（3）原方程化為一般形式為：77已知關于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有兩個不相等的實數根．(1)求k的取值范圍；(2)求證：x＝－1不可能是此方程的實數根．(2)證明：若x＝－1是方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0的實數根，則有(－1)2＋2(k＋1)＋k2＝0，即k2＋2k＋3＝0.∵Δ＝b2－4ac＝－8<0，故此方程無實數根，k值不存在，∴x＝－1不可能此方程的實數根．題目探究已知關于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有兩個不相等的781.當時，方程有兩個不相等的實數根，其根為：一元二次方程：的根的情況可由

來判斷：2.當時，方程有兩個相等的實數根，其根為：3.當時，方程有沒有實數根.x1=，x2=；x1=x2=；當堂小結1.當時，方程有兩個不相等的實數根，其根為：一元791.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情況是（）A.有一個實數根B.有兩個相等的實數根C.有兩個不相等的實數根D.沒有實數根D2.方程x2-3x+1=0的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根C.沒有實數根D.只有一個實數根A3.下列一元一次方程中，有實數根的是（）A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0D.x2+4=0C當堂練習1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情況是（）D804.若方程2x2-(k-1)x+8=0有兩個相等的實數根，求k的值.解：又∵方程有兩個相等的實數根,4.若方程2x2-(k-1)x+8=0有兩個相等的實數根812.4一元二次方程根與系數的關系

2.4一元二次方程根與系數的關系82學習目標了解一元二次方程

的兩個根分別是

、，那么：這就是一元二次方程根與系數的關系，也叫韋達定理.學習目標了解一元二次方程83新課引入新課引入84

的兩個根為x1，x2，則：ax2+bx+c又

ax2+bx+c=

于是.

85所以即：

這表明，當時，一元二次方程根與系數之間具有如下關系：兩根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩根的積等于常數項與二次項系數的比.所以即：這表明，當時，一元二次方程根與系數之間86例1根據一元二次方程根與系數的關系，求下列方程的兩根x1，x2的和與積：(1)(2)(3)題目探究例1根據一元二次方程根與系數的關系，求下列方程的兩根x87（1）（2）整理得：（3）整理得：解：（1）（2）整理得：（3）整理得：解：88例2已知關于x的方程的一個根為-3，求它的另一個根及q的值.解：設的另一個根為x2，則解得由根與系數之間的關系得因此，方程的另一個根是0，

q的值為0.例2已知關于x的方程的一個89

1．根據一元二次方程根與系數的關系，求下列方程的兩根x1，x2的和與積．(1)2x2－4x－3＝0；(2)x2－4x＋3＝7；(3)5x2－3＝10x＋4.課堂練習1．根據一元二次方程根與系數的關系，求下列方程的兩根x1，90答案：（1）（2）（3）x1＋x2＝4，x1x2＝－4

答案：（1）x1＋x2＝4，x1x2＝－4912.已知方程的一根為1，求它的另一個根及m的值.解：設的另一個根為x2

，則解得有根與系數之間的關系得因此，方程的另一個根是，m的值是16.2.已知方程的一根為1，923．已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的兩實數根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．解：(1)∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，解得：m＝－4或m＝6.∵m＝－4時原方程無解，∴m＝6；3．已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x93(2)①當7為底邊時，此時方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得：m＝2.∴方程變為x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7，∴不能構成三角形；②當7為腰時，設x1＝7，代入方程得：49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m＝10或4.當m＝10時，方程變為x2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15.∵7＋7＜15，不能組成三角形；當m＝4時方程變為x2－10x＋21＝0，解得：x＝3或7，此時三角形的周長為7＋7＋3＝17.(2)①當7為底邊時，此時方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5943、已知黑板的長和寬是方程的兩根，求黑板的面積和周長？利用韋達定理，我們不必求出方程的解，給計算帶來方便定理應用3、已知黑板的長和寬是方程的兩根95這個題目中第③問，你會嗎？你還會哪些常見的變形求值？這個題目中第③問，你會嗎？你還會哪些常見的變形求值？96另外幾種常見的求值另外幾種常見的求值97你認為韋達定理還有哪些作用？作用二：已知一元二次方程的一根，可以求另一根你認為韋達定理還有哪些作用？作用二：已知一元二次方程的一根，98若給出一元二次方程兩根的關系，你能利用嗎？若給出一元二次方程兩根的關系，你能利用嗎？99

二個核心

三個應用一個定理：韋達定理(表述根與系數關系)應用1.求含有兩根的代數式的值；應用2.已知一元二次方程的一根，可以求另一根.應用3.已知含有待定系數的一元二次方程的兩根

的關系，可以求待定系數的值隨堂總結二個核心三個應用一個定理：韋達定理(表述根與系數關系)100一元二次方程的應用——增長率問題一元二次方程的應用——增長率問題101學習目標1.建立一元二次方程模型解決一些代數問題.2.把一些代數問題化歸為解一元二次方程的問題.學習目標102（1）通過前面的學習你知道解一元二次方程有哪些方法嗎？你有什么體會？（2）列一元一次方程解應用題分幾個步驟？應注意什么？（3）小學六年級計算增長率你會嗎？總結回顧（1）通過前面的學習你知道解一元二次方程有哪些方法嗎？你有什103解一元二次方程的方法有:（1）開平方法（2）配方法（3）公式法（4）因式分解法解一元二次方程的方法有:104列一元一次方程解應用題的一般步驟實際問題數學問題已知量、未知量、相等關系解釋解的合理性方程的解方程抽象分析合理驗證求出列出列一元一次方程解應用題的一般步驟實際問題數學問題已知量、未知105塘溪學校由于努力改善辦學條件，很抓教學質量，學校越辦越紅火，學生在校人數逐年增多，2015年為640人，預計2017年達到1000人，

求我校這兩年人數平均增長率為多少?

如果設2016年、2017年這兩年學生人數平均每年的增長率為x，則：1.2016年學生人數列式為

2.2017年學生人數列式為

3.根據題意，列方程得

想一想塘溪學校由于努力改善辦學條件，很抓教學質量，學校越辦越紅火，1061.若某個量原來的值是a，每次增長的百分率是x，則增長1次后的值是a（1+x），增長2次后的值是a(1+x)2

，…增長n次后的值是a(1+x)n

，這就是增產率公式。2.若某個量原來的值是a，每次降低的百分率是x，則降低n次后的值是a(1-x)n，這就是降低率公式。歸納規律1.若某個量原來的值是a，每次增長的百分率是x，則增長1次后107

為了大力弘揚雷鋒精神,塘溪學校今年3月份開展了“情暖敬老院·愛在行動中”的學雷鋒活動。3月5日學校發出捐出你的一點零花錢，奉獻你的一片愛心倡議，同學們積極響應，當天學校收到捐款650元，3月7日收到捐款2151.5元，求我校這兩天平均款增長率為多少?變式訓練為了大力弘揚雷鋒精神,塘溪學校今年3月份開展了“情暖108變式問題一：當天學校收到捐款650元，到3月7日一共收到捐款2151.5元，求我校這兩天平均捐款增長率為多少?變式問題二：當天學校收到捐款650元，3月7日與3月6日一共收到捐款2151.5元，求我校這兩天平均捐款增長率為多少?變式問題一：109變式問題三：當天學校收到捐款650元，3月7日與3月5日一共收到捐款2151.5元，求我校這兩天平均捐款增長率為多少?變式問題四：當天學校收到捐款650元，3月7日比3月6日多收到捐款2151.5元，求我校這兩天平均捐款增長率為多少?變式問題三：110變式問題五：當天學校收到捐款650元，3月7日比3月5日多收到捐款2151.5元，求我校這兩天平均捐款增長率為多少?變式問題六：當天學校收到捐款650元，3月7日比3月5日和3月６日的捐款總數還多2151.5元，求我校這兩天平均捐款增長率為多少?變式問題五：1111.某校圖書館的藏書在兩年內從５萬冊增加到7.2萬冊，問平均每年藏書增長的百分率是多少？作業1.某校圖書館的藏書在兩年內從５萬冊增加到7.2萬冊，問平均1122.將進貨單價為40元的商品按50元售出時，能賣出500個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，若這種商品漲價x元，則可賺得y元的利潤.（1）寫出x與y之間的關系式；（2）為了賺得8000元利潤，售價應定為多少元，這時應進貨多少個？2.將進貨單價為40元的商品按50元售出時，能賣出500個，113解∶（1）商品的單價為50+x元，每個的利潤是（50+x）-40元，銷售量是500-10x個，則依題意得y=［（50+x）-40］（500-10x），即y=-10x2+400x+5000.（2）依題意，得-10x2+400x+5000=8000.整理，得x2-40x+300=0.解得x1=10,x2=30.所以商品的單價應定為50+10=60（元）或50+30=80（元）.當商品的單價為60元時，其進貨量只能是500-10×10=400（個）；當商品每個單價為80元時，其進貨量只能是500-10×30=200（個）.解∶（1）商品的單價為50+x元，每個的利潤是（50+x）-114先小組內交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充.課堂小結先小組內交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進行總結.教師115第2章一元二次方程2.5.2圖形面積第2章一元二次方程2.5.2圖形面積116快遞包裹一年需25億紙箱快遞包裹一年需25億紙箱1172.5.2圖形面積

一塊長和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個全等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長？解：設截去的小正方形的邊長為。由題意得：

為什么？x40-2xx28-2x答：截去的小正方形的邊長為7cm。2.5.2圖形面積一塊長和寬分別為40cm，2118例3如圖2-4，一長為32m、寬為24m的矩形地面上修建有同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分進行了綠化.若已知綠化面積為540m2，求道路的寬.

分析：雖然“整個矩形的面積-道路所占面積=綠化面積”，但道路不是規則圖形，因此不便于計算。若把道路平移，此時綠化部分就成了一個新的矩形了，題目探究例3如圖2-4，一長為32m、寬為24m的矩形地面上修建119解：設道路寬為xm，則新矩形的邊長為(32-x)m，寬為(20-x)m，根據等量關系列出方程。(32-x)(20-x)=540

整理，得x2-52x+100=0解得x1=2,x2=50

x2=50＞32，不符合題意，舍去,故x=2.答：道路的寬為2米.解：設道路寬為xm，則新矩形的邊長為(32-x)m，寬為(120如圖，利用一面墻（墻的長度不超過45m），用80m長的籬笆圍一個矩形場地．（1）怎樣圍才能使矩形場地的面積為750m2?（2）能否使所圍矩形場地的面積810m2，為什么?

雞場45mxx80-2x雞場45m如圖，利用一面墻（墻的長度不超過45m），用80m長的籬笆圍121如圖，利用一面墻（墻的長度不超過45m），用80m長的籬笆圍一個矩形場地．如果給雞場開扇2m寬的門，怎樣圍才能使矩形場地的面積為750m2?雞場45m如圖，利用一面墻（墻的長度不超過45m），用80m長的籬笆圍122如圖，利用一面墻（墻的長度不超過45m），用80m長的籬笆圍一個矩形場地．如果把雞場隔成兩個小雞場，又怎樣圍才能使矩形場地的面積為750m2?雞場雞場45m雞場如圖，利用一面墻（墻的長度不超過45m），用80m長的籬笆圍123例

如圖2-6所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.點P沿AC邊從點A向終點C以1cm/s的速度移動；同時點Q沿CB邊從點C向終點B以2cm/s的速度移動，且當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止移動.問點P，Q出發幾秒后可使△PCQ的面積為9cm2？根據題意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：設點P，Q出發xs后可使△PCQ的面積為9cm2整理，得解得

x1=x2=3答：點P，Q出發3s后可使△PCQ的面積為9cm2.例如圖2-6所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6c1242．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm.點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．(1)如果P，Q分別從A，B同時出發，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6cm2?(2)如果P，Q分別從A，B同時出發，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm?(3)在(1)中，△PQB的面積能否等于8cm2？說明理由．2．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝125湘教版九年級數學上冊第二章一元二次方程課件126列方程解應用題的一般步驟是:1.審:審清題意:已知什么,求什么?2.設:設未知數,語句完整,有單位(同一)的要注明單位;3.列:列代數式,找出相等關系列方程;4.解:解所列的方程;5.驗:是否是所列方程的根;是否符合題意;6.答:答案也必需是完整的語句,注明單位且要貼近生活.列方程解應用題的關鍵是:

找出相等關系.歸納總結歸納總結127第二章一元二次方程小結復習第二章一元二次方程小結復習1281.能夠根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程.2.理解配方法，會用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程.3.會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根之間是否相等.4.能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.考試指南1.能夠根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程.3.會用一129因式分解法知識點內容一元二次方程定義只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)注意：其中a叫做二次項系數，b叫做一次項系數，c叫做常數項一元二次方程的解法(1)直接開平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)_______________考點梳理因式分解法知識點內容一元二次定義只含有一個未知數，且未知數的130(續表)有兩個不相等的有兩個相等的沒有b2－4ac知識點內容一元二次方程根的判別式判別式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判別式為Δ＝________判別式與方程根之間的關系(1)當Δ>0時，原方程_____________實數根；(2)當Δ＝0時，原方程____________實數根；(3)當Δ<0時，原方程______實數根一元二次方程的應用列一元二次方程解應用題的一般步驟(1)審題；(2)設未知數；(3)列一元二次方程；(4)解一元二次方程；(5)檢驗；(6)作答(續表)有兩個不相等的有兩個相等的沒有b2－4ac知識點內容131題型一：解一元二次方程1.(湖北隨州)用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列變形正確的是()

答案：D2.(山東聊城)一元二次方程x2－2x＝0的解是

答案：x＝0或x＝2________.

典型例題探究題型一：解一元二次方程 典型例題探究1323.解方程：(1)(江蘇徐州)解方程：x2－2x－3＝0；(2)(遼寧大連)解方程：x2－6x－4＝0.[解題技巧]解一元二次方程的方法：先確定所選方法，再動筆解.方法的確定是先考慮因式分解法和直接開平方法，再考慮配方法和公式法.3.解方程：(1)(江蘇徐州)解方程：x2－2x－3＝0；[133題型二：一元二次方程根的判別式4.(重慶)已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，則該方程根的情況是()A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根C.兩個根都是自然數D.無實數根答案：A題型二：一元二次方程根的判別式A.有兩個不相等的實數根1345.(山東德州)若一元二次方程x2＋2x＋a＝0有實數解，則a的取值范圍是()A.a<1B.a≤4C.a≤1D.a≥1答案：C6.(四川涼山州)關于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有實數根，則m的取值范圍是()A.m≤3B.m＜3C.m＜3，且m≠2D.m≤3，且m≠2答案：D

[易錯陷阱]利用根的判別式確定一元二次方程中所含有的未知數的取值范圍時，既要考慮方程的定義，又要考慮方程根的情況.在計算過程中，往往忽視一元二次方程的定義而導致錯誤.5.(山東德州)若一元二次方程x2＋2x＋a＝0有實數解， 135題型三：一元二次方程的應用例：(2015年廣西)為落實國務院房地產調控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建設力度.2013年市政府共投資3億元人民幣建設了廉租房12萬平方米，2015年投資6.75億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內每年投資的增長率相同.(1)求每年市政府投資的增長率；(2)若這兩年內的建設成本不變，問2015年建設了多少萬平方米廉租房？

題型三：一元二次方程的應用 136解：(1)設每年市政府投資的增長率為x，根據題意，得3(1＋x)2＝6.75.解得x＝0.5，或x＝－2.5(不合題意，舍去).∴x＝0.5＝50%，即每年市政府投資的增長率為50%.(2)∵12(1＋50%)2＝27，∴2015年建設了27萬平方米廉租房.解：(1)設每年市政府投資的增長率為x，根據題意，得3(1＋137【試題精選】7.(廣西梧州)向陽村2014年的人均收入為12000元，2016年的人均收入為14520元，求人均收入的年平均增長率.解：設這兩年的年平均增長率為x，由題意，得12000(1＋x)2＝14520.解得x1＝－2.1(不合題意，舍去)，x2＝0.1＝10%.答：這兩年的年平均增長率為10%.【試題精選】1388.(四川巴中)如圖，某農場有一塊長40m，寬32m的矩形種植地，為方便管理，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路，要使種植面積為1140m2，求小路的寬.解：設小路的寬為xm，依題意，有(40－x)(32－x)＝1140.整理，得x2－72x＋140＝0.解得x1＝2，x2＝70(不合題意，舍去).答：小路的寬應是2m.8.(四川巴中)如圖，某農場有一塊長40m，寬32m139相等的實數根，則實數a的取值范圍是()A.a≥2B.a≤2C.a＞2D.a＜2答案：C2.(廣東)關于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍為()答案：B相等的實數根，則實數a的取值范圍是()2.(廣東)1403.(廣東)解方程：x2－3x＋2＝0.3.(廣東)解方程：x2－3x＋2＝0.1414.(廣東)雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元.(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；(2)按照(1)中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？解：(1)設捐款增長率為x，根據題意，得10000×(1＋x)2＝12100(元).解得x1＝0.1，x2＝－2.1.(不合題意，舍去)答：捐款增長率為10%.(2)12100×(1＋10%)＝13310(元).答：第四天該單位能收到13310元捐款.4.(廣東)雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有1422.1一元二次方程第二章一元二次方程2.1一元二次方程第二章一元二次方程143學習目標1.在把實際問題轉化為一元二次方程的模型的過程中，形成對一元二次方程的感性認識。2.理解一元二次方程的定義，能識別一元二次方程。3.知道一元二次方程的一般形式，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式，能寫出一般形式的二次項系數、一次項系數和常數項。學習目標1.在把實際問題轉化為一元二次方程的模型的過程中，形144如圖所示，已知一矩形的長為200cm，寬為150cm.現在矩形中挖去一個圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的.求挖去的圓的半徑xcm應滿足的方程（其中取3）.要建立方程，關鍵是找出問題中的等量關系。分析問題涉及的等量關系是：矩形的面積-圓的面積=矩形的面積

.情境導入問題一如圖所示，已知一矩形的長為200cm，寬為150cm145分析問題涉及的等量關系是：解:由于圓的半徑為xcm,則它的面積為3x2cm2.根據等量關系，可以列出方程化簡，整理得①

矩形的面積-圓的面積=矩形的面積

.分析問題涉及的等量關系是：解:由于圓的146據某市交通部門統計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率x應滿足的方程.分析問題涉及的等量關系是：解:

該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率為x.根據等量關系，可以列出方程化簡，整理得②兩年后的汽車擁有量=前年的汽車擁有量×(1+年平均增長率)2問題二據某市交通部門統計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年147方程

①和

②，它們有什么共同點？①②

兩個方程都只有一個未知數.

它們的左邊都是二次多項式.它們的右邊是0。觀察方程①和②，它們有什么共同點？①②兩個方程都只有一148從方程①和②受到啟發，如果一個方程通過整理可以使右邊為0，而左邊是只含有一個未知數的二次多項式，那么這樣的方程叫作一元二次方程.它的一般形式是其中a，b，c分別叫作二次項系數、一次項系數、常數項．ax2+bx+c=0（a，b，c是已知數，a≠0）總結歸納從方程①和②受到啟發，如果一個方程通過整理可以使右邊為0，而149

1.

下列方程哪些是一元二次方程?(1)

7x2-6x=0(2)

2x2-5xy+6y=0(5)

x2+2x-3=1+x2(3)

2x2--1=0－13x解:以上是一元二次方程的是：(4)=0－y22(6)

3x3-3x=0（1）（4）當堂練習1.下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x2-6x=1502.把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項：方程一般形式二次項系數一次項系數常數項3x2＝5x－1(x＋2)(x－1)＝64－7x2＝03x2

－5x＋1＝0x2＋x－8＝0－7x2

＋0

x＋4＝031－7－5101－843－5＋111－8－704＋2.把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系1511.一元二次方程的概念

2.一元二次方程的一般形式如果一個方程通過整理可以使右邊為0，而左邊是只含有一個未知數的二次多項式，那么這樣的方程叫作一元二次方程.ax2+bx+c=0（a，b，c是已知數，a≠0），其中a，b，c分別叫作二次項系數、一次項系數、常數項．通過這節課學習，你有哪些收獲？

課堂小結1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的一般形式如果一個1522.2.1配方法第2章一元二次方程第1課時用直接開平方法解一元二次方程2.2.1配方法第2章一元二次方程第1課時用153學習目標1.理解并掌握一元二次方程的根的概念;2.會用直接開平方法解形如的方程．（重點、難點）學習目標1.理解并掌握一元二次方程的根的概念;154問題：一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2，小李用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？導入新課問題：一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2，小李用這桶油155解：設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2，根據一桶油漆可刷的面積列出方程：10×6x2＝1500，由此可得x2＝25，根據平方根的意義，得x＝±5，即x1＝5，x2＝－5．但棱長不能為負值，所以正方體的棱長為5dm.解：設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為156前面題解得的x1＝5，x2＝－5也叫作10×6x2＝1500的根．一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．一、一元二次方程的解（根）前面題解得的x1＝5，x2＝－5也叫作10×6x2＝1500157例1：已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一個解，則m的值是()A.-1B.1C.0D.0或1解析：把x=1代入一元二次方程x2-mx+2m=0

可得m=-1.A典例精析例1：已知x=1是一元二次方程x2-mx+2m=0的一個解，158問題1：能化為(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具備什么特點？左邊是含有未知數的完全平方式，右邊是非負常數的一元二次方程可化為(x+m)2=n(n≥0).問題2：x2＝9，根據平方根的意義，直接開平方得x＝±3，如果x換元為2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接開平方的方法求解呢？一起看看下面的例題．二、直接開平方法解一元二次方程問題1：能化為(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具備159例2：解方程：(1)x2＋4x＋4＝1(2)x2＋6x＋9＝2解：(1)由原方程得：(x+2)2=1直接開平方得：x+2=±1

x1=-1

x2=-3右邊是大于0的數所以方程有個不同的的實數解(2)由原方程得：(x+3)2=2直接開平方得：典例精析例2：解方程：(1)x2＋4x＋4＝1(2)x2＋6x＋160用直接開平方法解方程時，要先將方程化成左邊是含未知數的完全平方式，右邊是非負常數的形式，再根據平方根的定義求解．注意開方后，等式的右邊取“正、負兩種情況”．方法歸納用直接開平方法解方程時，要先將方程化成左邊是含未知數的完全平1611．一元二次方程x2－4＝0的根為(

)A．x＝2B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2D．x＝42．方程5y2－3＝y2＋3的實數根的個數是(

)A．0個B．1個C．2個D．3個3．一元二次方程x2＝7的根是

．CC當堂練習1．一元二次方程x2－4＝0的根為()CC當堂1624．若代數式3x2－6的值為21，則x的值是

．5．解下列方程：

(1)2y2－100＝0；(2)(x＋6)(x－6)＝64.解析：由題意可得方程：3x2－6＝21；解這個方程得：x1=3，x2=-3.解：x2-36=64

x2=100

x=±10解：2y2=100

y2=504．若代數式3x2－6的值為21，則x的值是163直接開平方法解一元二次方程一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根直接開平方法解形如課堂小結直接開平方法解一元二次方程一元二次方程的解：使方程左右兩邊