第九章模態命題及其推理邏輯思維訓練LogicandCriticalThinking1模態邏輯前面介紹的命題都是非模態命題，僅僅是陳述思維對象具有或不具有某種屬性。進一步研究有關對象的情況時，便會發現：有些對象的屬性的存在具有必然性，有些對象的屬性的存在只具有可能性；有些事情是應當做的，有些事情是不允許做。正義的事業必然要勝利。其形式為：“p是必然的”。不允許闖紅燈。其形式為：“不允許p”。2把“必然”與“可能”、“應當”與“允許”等稱作模態詞（也稱模態算子）。包含模態算子的命題是模態命題，模態邏輯就是研究模態命題形式及其推理的邏輯分支。3模態的種類（一）廣義模態與狹義模態狹義的模態是指事物存在方式或發展趨勢及命題的真假程度這一類性質，包括命題的必然性、實然性和或然性（可能性）。由于這類模態涉及一個命題是真還是不真，更確切地說涉及一個命題的真假程度（必然真或者可能真），稱之為真值模態。5廣義的模態是指命題本身所具有的種種非外延的性質。例如，道義或規范模態（應當、允許）、時間模態（將要永遠、將來、過去一直、過去）、認知模態（知道、相信）、價值模態（好、壞）等等。6（二）客觀模態與主觀模態客觀模態是表示客觀事物本身存在的樣式、情狀和趨勢的模態。生物體必然要進行新陳代謝。人類社會必然走向進步，但可能比現曲折。主觀模態是表示人的認識的某種確定性與不確定性的模態。其他天體上可能存在生命現象。蘇軾必然是蘇轍的兄長。7（三）命題模態與事物模態命題模態，是指模態詞所修飾或限制的都是—個完整的命題。其模態詞通常置于表達命題的語句的句首或句尾。正義的事業將最終取得勝利是必然的。可能明天是一個晴天。8真值模態命題及其推理我們把包含真值模念算子“必然”與“可能”的命題稱為真值模態命題，若只對模態作狹義的理解，也可稱為模態命題。智者千慮，必有一失。其他天體有高級生命存在是可能的。10必然命題必然命題是斷定事物必然性的命題。又可分為肯定的與否定的兩種：必然肯定命題：斷定事物情況必然存在的命題。冬天過后必然是春天。人類歷史不斷向前發展是必然的。用公式可表示為：必然p若以“□”表示必然模態算子，則上述公式可寫作：□p12可能命題可能命題是斷定事物情況可能性的命題，又可分為肯定的與否定的兩種：可能肯定命題：斷定事物情況可能存在的命題。長期大量吸煙可能致癌。3x

大于5x

是可能的。用公式可表示為：可能p若以“

”表示可能模態算子，則上述公式可寫作：

p14可能否定命題：斷定事物情況可能不存在的命題。火星上可能沒有生命存在。真的判斷可能不是恰當的判斷。用公式可表示為：可能非p或表示為：

?p15所以，模態命題共有四種：1、必然肯定命題必然p□p2、必然否定命題必然非p□?p3、可能肯定命題可能p

p4、可能否定命題可能非p

?p16模態命題的真假當模態算子作用于一個命題時，整個模態命題的邏輯值并不完全地取決于模態算子所作用的命題的邏輯值。□p與

p的真假，并不只是由p的真假決定的。17假如有一副完整的撲克牌（不包括兩張王牌，下同），張某從中抽出一張牌的花色正好是梅花。這時，可以說命題“張某抽出的牌是梅花”是真的。將此命題用變項p表示，此時p為真，但□p即“張某抽出的牌必然是梅花”未必為真，因為張某有可能抽出一張黑桃、紅桃或方塊。再假如從完整的撲克脾中取出其中的十三張梅花，再讓張某從這十三張牌中去抽牌，這時“張某抽出的牌是梅花”是真的，即p是真的，而且□p即“張某抽出的牌必然是梅花”也是真的。從上面兩例的對照中，當p真時，□p可能為真也可能為假。因此p的真假不能完全決定□p的真假情況。18可能世界語義理論用“可能世界語義學”定義狹義模態命題（邏輯的可能世界）可能世界＝可想像的世界＝不矛盾的世界可能世界可能世界1可能世界2可能世界3(現實世界)可能世界有無窮多個20可能世界1可能世界2可能世界3(現實世界)可能世界1可能世界2可能世界3(現實世界)可能世界1可能世界2可能世界3(現實世界)□p：p在每一可能世界均為真ppp可能世界1可能世界2可能世界3(現實世界)?p?p?pp?p

□?p：p在每一可能世界均為假，或?p均為真

p：p在至少一個可能世界為真

?p：p在至少一個可能世界為假，或?p為真

21各種模態命題的真假表P在所有可能世界里為真

P在所有可能世界里可真可假

P在所有可能世界里為假

□P

+--□P

--+

P

++-

P

-++A

C

B（注A：P在可能世界里的真假B：模態命題的真假C：模態命題的種類）23命題“事物是發展變化的”在所有可能世界里為真，所以“事物必然是發展變化的”和“事物可能是發展變化的”為真，而“事物必然不是發展變化的”和“事物可能不是發展變化的”為假。命題“張三和王五簽訂合同是有效的”在所有可能世界里可真可假，所以“張三和王五簽訂的合同必然是有效的”和“張三和王五簽訂的合同必然不是有效的”為假，而“張三和王五簽訂的合同可能是有效的”和“張三和王五簽訂的合同可能不是有效的”是真的。24丈夫非常生氣，打了妻子一頓不說，還告到官府，指著妻子說：“破壞我的家當的人，就是這個惡婦，請把她殺了。”官吏就問他：“你的家當在哪里？她又怎樣敗壞了你的家當？”那人便又把他的計劃說了一遍，從拾得一個雞蛋說起，一直說到買妾為止。

官吏說：“這么大的家當，讓這個惡婦一拳頭就毀掉了，真是該殺！”便命令左右把她投入大鼎烹了。妻子大叫：“我丈夫說的都是沒有做的事，為什么要烹我？”官吏說：“你丈夫說買妾，也是還沒做的事，你為什么嫉妒？”妻子說：“雖然如此，我也只是想早一點除掉禍根罷了。”官吏笑而把她放了。

26真值模態命題間的關系□p、□?p、

p和

?p四種形式的模態命題，彼此間在真假值上存在相互制約關系，這種制約關系類似于傳統邏輯中直言命題A、E、I和O的對當關系。2728非模態命題間的關系相對于必然命題與可能命題等模態命題而言，非模態命題通常被稱為“實然命題”。公式表示為p□p、□?p、

p、

?p、p和?p這六種命題形式之間的關系30反對關系下反對關系31（一）反對關系，存在于□p和□?p、□p和?p、□?p與p之間。（二）矛盾關系，存在于□p和

?p、□?p和

p，p和?p之間。（三）差等關系，存在于□p和

p、□?p和

?p、□p和p、p和

p、□?p和?p、?p和

?p之間。（四）下反對關系，存在于

p和

?p、p和

?p、?p和

p之間。32真值模態推理所謂模態推理是以模態命題為前提或結論，并根據模態命題的性質及其相互間的邏輯關系而進行推演的推理。哀兵必勝，所以哀兵不可能不勝。我們的目的一定能達到，所以我們的目的可能達到。有些人可能活到一百歲，所以并非任何人必然活不到一百歲。并非任一數的平方必然大于該數本身，所以有些數的平方可能不大于該數本身。33（一）依據模態邏輯方陣而進行的模態推理依據模態邏輯方陣，可以有下列四種類型十六個有效的推理形式。第—種類型，由一個命題的真推出另一個命題的真，這是根據差等關系的邏輯特征而進行的推理。（1）□p→

p（2）□?p→

?p34第二種類型，由一個命題的真推出另一個命題的假，這是根據矛盾關系或反對關系的邏輯特征而進行的推理。（3）□p→?

?p（4）□?p→?

p（5）

p→?□?p（6）

?p→?□p（7）□p→?□?p（8）□?p→?□p35第三種類型，由一個命題的假推出另一個命題的真，這是根據矛盾關系或下反對關系的邏輯特征而進行的推理。（9）?□p→

?p（10）?□?p→

p（11）?

p→□?p（12）?

?p→□p（13）?

p→

?p（14）?

?p→

p36第四種類型，由一個命題的假推出另一個命題的假，這是根據差等關系的邏輯特性而進行的有效推理。（15）?

p→?□p（16）?

?p→?□?p37（二）依據模態六角圖而進行的推理依據模態六角圖所揭示的命題之間的對當關系，可以有三十六種有效的推理形式。其中十六種形式與根據模態邏輯方陣進行的推理是—致的，不再重復。下面是余下的二十種有效式。38依據差等關系的推理有效式有：（17）□p→p（18）p→

p（19）□?p→?p（20）?p→

?p（21）?

p→?p（22）?p→?□p（23）?

?p→??p（24）??p→?□?p39依據反對關系的推理有效式有：（25）p→?□?p（26）?p→?□p（27）□?p→?p（28）□p→??p40依據下反對關系的推理有效式有：（29）?p→

?p（30）??p→

p（31）?

?p→p（32）?

p→?p41依據矛盾關系的推理有效式有：（33）p→??p（34）?p→?p（35）?p→?p（36）??p→p42余某因患急性瘧疾住院治療，血檢中查出他已患上了糖尿病。醫生劉某忽視了這一點，在給余某治療瘧疾時注射了大量高滲葡萄糖，導致余某猝死。法院審理認為，劉某應當預見自己的行為必然發生致余某死亡的結果而因疏忽大意沒有預見，有重大過失。法院根據我國《刑法》第335條：“醫務人員由于嚴重不負責任，造成就診人死亡或者嚴重損害就診人身體健康的，處三年以下有期徒刑或者拘役。”判決劉某犯有醫療事故罪。我國《刑法》第15條規定：“應當預見自己的行為可能發生危害社會的結果，因為疏忽大意而沒有預見，或者已經預見而輕信能夠避免，以致發生這種結果的，是過失犯罪。”43林肯說："最高明的騙子，可能在某個時刻欺騙所有的人，也可能所有的時刻欺騙某些人，但不可能在所有的時刻欺騙所有的人"。

如果上述斷定為真，而且世界上總有一些高明的騙子，那么下述哪項斷定必定是假的？

A.張三可能在某個時刻受騙。

B.李四可能在任何時候都不受騙。

C.騙人的人也可能在某個時刻受騙。

D.不存在某一時刻所有的人都不會受騙。

E.不存在某一時刻有人可能不受騙。E44

不可能所有的香港人都會講普通話。

以下哪項判斷的含義與上述判斷最為接近?A．可能所有的香港人都會講普通話。

B．可能所有的香港人都不會講普通話。

C．必然所有的香港人都不會講普通話。

D．必然有的香港人不會講普通話。D45

不可能宏達公司和亞鵬公司都沒有中標。

以下哪項最為準確地表達了上述斷定的意思?A．宏達公司和亞鵬公司可能都中標。

B．宏達公司和亞鵬公司至少有一個可能中標。C．宏達公司和亞鵬公司必然都中標。D．宏達公司和亞鵬公司至少有一個必然中標。D46在市場預測中，專家說：明年電腦不降價是不可能的。

以下哪項和專家所說的同真？

A．明年電腦一定降價

B．明年電腦可能降價

C．不可能預測明年電腦是否降價

D．明年電腦可能不降價

E．明年電腦一定不降價A47在新疆恐龍發掘現場，專家預言：可能發現恐龍頭骨。以下哪個命題和專家意思相同？A.不可能不發現恐龍頭骨B.不一定發現恐龍頭骨C.恐龍頭骨的發現可能性很小D.不一定不發現恐龍頭骨E.在其他地方也可能發現恐龍頭骨D不一定不就是可能48在上次考試中，老師出了一道非常古怪的難題，有86%的考生不及格。這次考試之前，王見明預測說：“根據上次考試情況，這次考試不一定會出那種難題了。”胡思明說：“這就是說這次考試肯定不出那種難題了。太好了！”王見明說：“我不是那個意思。”

下面哪句話與王見明說的意思相似？

A這次考試老師不可能不出那種難題

B這次考試老師必定不出那種難題了

C這次考試老師可能不出那種難題了

D這次考試老師不可能出那種難題了

E這次考試不一定不出那種難題了C49世界上不可能有某種原則適用所有不同的國度。

以下哪項與上述斷定的含義最為接近？

A.有某種原則可能不適用世界上所有不同的國度。

B.有某種原則必然不適用世界上所有不同的國度。

C.任何原則都可能有它不適用的國度。

D.任何原則都必然有它不適用的國度。D50一把鑰匙能打開天下所有的鎖。這樣的萬能鑰匙是不可能存在的。

以下哪項最符合題干的斷定？

A．任何鑰匙都必然有它打不開的鎖。

B．至少有一把鑰匙必然打不開天下所有的鎖。

C．至少有一把鎖天下所有的鑰匙都必然打不開。

D．任何鑰匙都可能有它打不開的鎖。

E．至少有一把鑰匙可能打不開天下所有的鎖A51模態三段論模態三段論就是以模態命題為前提或結論的三段論。也可以說模態三段論就是在三段論系統中引入模態詞所構成的三段論。所有大科學家必然具有求實精神，愛因斯坦是大科學家，所以愛因斯坦必然具有求實精神。靈長類動物必然有發達的大腦，那個小動物可能是靈長類動物，所以那個小動物可能有發達的大腦。52模態三段論種類兩個前提都是必然命題；一個前提是必然命題，另一個前提是實然命題；一個前提是必然命題，另一個前提是可能命題；一個前提是實然命題，另—個前提是可能命題；兩個前提都是可能命題。53“結論從弱”原則從較強的前提可以推出較弱的結論，但不能由較弱的前提推出較強的結論。根據這種原則，在模態三段論中，其結論的模態不得強于前提中的任何一個前提的模態。在組成模態三段論前提的三種模態的類型中，必然命題蘊涵實然命題，實然命題蘊涵可能命題，即必然、實然、可能這三種模態的強度是依次遞減的。54必然模態三段論可能世界1可能世界2可能世界3(現實世界)MAPMAPMAPSAMSAMSAMSAPSAPSAP綠色植物必然能進行光合作用海洋里的藻類必然是綠色植物所以，海洋里的藻類必然能進行光合作用必然MAP必然SAM必然SAP55必然和可能模態三段論可能世界1可能世界2可能世界3(現實世界)MAPMAPMAPSAMSAP靈長類動物必然有發達的大腦那個小動物可能是靈長類動物所以，那小動物可能有發達的大腦必然MAP可能SAM可能SAP56必然和實然模態三段論可能世界1可能世界2可能世界3(現實世界)MAPMAPMAPSAMSAP所有在歷史上產生的東西必然最終要死亡資本主義制度是歷史上產生的東西所以，資本主義制度必然最終要死亡必然MAPSAM必然SAP57凡故意殺人犯都有殺人動機，某甲必然是故意殺人，所以，某甲有殺人動機。MAP必然SAMSAP大前提是必然命題，小前提是實然命題，結論則是必然命題。大前提是實然命題，小前提是必然命題，則結論是實然命題。58可能和實然模態三段論可能世界1可能世界2可能世界3(現實世界)MAPMAPSAM凡與被害人有仇恨的人都可能是作案兇手張某是與被害人有仇的人所以，張某可能是作案兇手可能MAPSAM可能SAP59可能模態三段論證人心情緊張可能導致作偽證，壓力太大可能使證人心情緊張，所以，壓力太大可能導致證人作偽證。所有M可能是P所有S可能是M所以，所有S可能是P60必然實然混合三段論在第一格中，作為結論的命題模態不能強于大前提的模態。如果大前提是必然命題，而小前提是實然命題，則結論命題的模態就可以是必然的，即可以不遵循“結論從弱”的原則。科學規律必然是不以人的意志為轉移的，邏輯規律是科學規律，所以邏輯規律必然是不以人的意志為轉移的。61（1）第一格①第一格的形式中項M是大前提的主項、小前提的謂項。

M——P╲S——M———————S——P如：凡是金屬（M）都是導體（P），鐵（S）是金屬（M），所以，鐵（S）是導體（P）。62在第二格中，結論的模態應當不強于否定前提的模態。在三段論第二格的有效式中，必須有而且只能有一個前提是否定命題，這個否定前提的模態決定了結論的模態。因此，如果出現在否定的前提中的模態是必然的，而肯定的前提的模態是實然的，則結論的模態就可以是必然的。這也突破了“結論從弱”的原則。馬克思主義者必然不是唯心主義者，有神論者是唯心主義者，所以有神論者必然不是馬克思主義者。63（2）第二格①第二格的形式中項M是大前提和小前提的謂項。

P——M∣S——M———————S——P如：凡金屬（P）都是導體（M），碳（S）不是導體（M），所以，碳（S）不是金屬（P）。64在第三格中，結論的模態不能強于大前提的模態。因此，如果出現大前提是必然命題而小前提是實然命題的情況，則結論就可以是必然模態命題。這樣，也突破了“結論從弱”的原則。所有奇數必然是不能被2整除的，所有奇數是整數，所以有些整數必然是不能被2整除的。65（3）第三格①第三格的形式中項M是大前提和小前提的主項。

M——P∣M——S———————S——P如：

語言（M）是沒有階級性的（P），語言（M）是社會現象（S），所以，有些社會現象（S）是沒有階級性的（P）。66如果直言三段論第一、二、三格有效式的兩個前提之一引入必然模態詞，那么結論的模態就可以按下述原則決定：第一，如果前提之一是否定命題，那么結論的模態不能強于否定前提的模態。第二，如果兩個前提都是肯定命題，那么結論的模態不能強于大前提的模態。67結論（1）如果前提之一引入了可能模態，另一前提無論是可能模態、必然模態還是實然模態，結論只能是可能模態；（2）如果兩個前提都引入了必然模態，結論可以是任一模態；（3）如果前提之一引入必然模態，另一前提為實然模態，則有兩種可能性：結論的模態不強于否定前提的模態，或者如無否定前提，則結論的模態不強于大前提的模態。必須遵守三段論的一切規則68阿道夫.貝克，時年50歲，蓄又密又長的小胡子，一頭白發。1896年12月16日下午4時左右，當他從倫敦維多利亞街139號樓大門走出時，迎面碰上一位素不相識的婦女，擋住了他的去路，并高喊“先生，我認識你，我要你還給我兩只手表和一只戒指。”貝克設法擺脫其糾纏，走到警察面前求救，后該婦女也尾隨而至，于是他倆被帶到派出所。后來，又有一名女教師指控，三個星期前，她在維多利亞街上碰到一位蓄貝克胡子的人，自稱索爾茲里勛爵，騙走了她的一只手表和一只戒指等物。當天晚上巡警瓦爾多克接受了偵破此案的任務，調查發現，類似案子已發生多起，于是，警方組織了若干次辯認，每次均從街道上隨機請來10－15個男人，同貝克站在一起，讓受害辯認結果，她們一致認為貝克就是那個騙子。691896年12月18日，蘇格蘭警方收到一封匿名信，該信認為貝克就是1877年有“詐騙女人罪”前科的史密斯，該犯的詐騙行為與“貝克詐騙”行為高度一致，警方找出史密斯檔案一查，果然“貝克作案”和史密斯手法完全一樣。隨后，進行筆跡鑒定，將“勛爵”所開衣物清單筆跡與1877年史密斯所開衣物清單筆跡比對，然后又與貝克的筆跡比對結果，認為前面兩者筆跡相同，但與貝克的筆跡有些不同，但古林認為這些清單均系貝克所寫，只不過這次清單是貝克的“變形筆跡”。法庭審判時，十幾位受害人出庭作證，其中有10位認為詐騙者就是貝克。盡管警察有存疑，律師提出了疑問，也有受害人不能肯定貝克就是騙人，貝克也作了申辯，但貝克還是難逃劫運，終以詐騙犯被判徒刑。1904年7月，犯罪真兇落網，貝克案得以平反，同時發現，貝克和真兇犯長相特別相像。7019世紀后期，蘇伊士運河通航，作為紅海沿岸的埃塞俄比亞，它的戰略和經濟地位變得更加重要。英、法、意在瓜分非洲的爭奪中，都想把埃塞俄比亞占為已有。1889年，埃塞俄比亞經過內亂以后，麥納利克掌權，建立了統一的中央集權國家。就在這時，意大利乘麥納利克需要外援時，和他簽訂了烏查里條約，表示永久友好。于是意大利便想到了利用條約的措詞來為自己的利益服務。條約第17條：“埃塞俄比亞萬王之王陛下在其與其他列強或政府所發生的一切交涉中，可以借助于意大利國王陛下的政府。”這句話意思很明白，當埃塞俄比亞一旦與外國發生糾紛，他們可以請意大利幫忙，自然，也可以不請。這個決定權在埃塞俄比亞國王那里。但是，條約還有個意大利文本，意大利有意把第17條中的“可以”改為“必須”。埃塞俄比亞人忽略了這兩個文本中的一字之差。條約簽字生效了，1890年，意大利得意洋洋地通知各國，宣布埃塞俄比亞是意大利的保護國。因為，按照意大利文本的解釋，埃塞俄比亞只能在意大利的卵冀之下了。71

規范命題

包括“應當”、“允許”、“禁止”等規范詞的命題。它們是廣義模態命題。

共產黨員應當關心群眾疾苦課外時間允許看小說教室內禁止吸煙給定任意一個命題p，加上“應當”、“允許”、“禁止”等規范詞，就能形成規范命題。設命題形式有p和?p，應當＝O

允許＝P

，禁止＝F

則有應當肯定命題：Op應當否定命題：O?p允許肯定命題：Pp允許否定命題：P?p禁止肯定命題：Fp禁止否定命題：F?p由于OpF?pO?pFp因此基本規范命題形式有4種規范命題及其種類OpO?pPpP?p72Op→?O?pO?p→?Op

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