第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計一、數理統計的基本概念參數估計：在可靠性的研究中，經常遇到一些分布參數和可靠性指標是未知的，需要作出估計，根據子樣去尋找母體的某一或某些參數值的過程，稱為參數估計。統計推斷一般包括兩個方面：1）母體參數的估計：通過對實際樣本的統計計算，估計研究母體參數的可能取值和取值的可能范圍。2）統計假設的檢驗：要以樣本的觀測值來提供母體的概率分布，需要對母體分布作出假設，再通過樣本數據算出統計量，對原假設是否合理進行檢驗。第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計1第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計二、分布參數估計解決母體參數的取值和可能的取值范圍有兩種途徑:點估計與區間估計。（一）點估計：如果母體的函數為已知，但其某一或某些參數為未知，則可通過母體的一組子樣觀測值（x1，x2….xn）的數據來估計母體的參數值，這一過程稱為參數的點估計。（二）點估計的方法1.矩法：適應性好，精度較差，特別是子容量較小時。2.極大似然法：用于母體分布的類型已知的情況下，設已知分布形式的母體X僅有一個未知參數θ，x1,x2…xn,為X的一組觀測值，若當θ＝似然函數有最大的值第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計似然函數有最大的值2第二章可靠性的數學基礎第二章可靠性的數學基礎3第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計二、分布參數估計（三）點估計的準則無偏估計：是樣本數據的函數，是一個隨機變量，當樣本(x1，x2，…，xn)一定時，就是一個確定的數或點。而不同的樣本，由于x1，x2，…，xn是隨機變量，就有不同的值。如何判斷兩個中哪一個較接近母體參數的真值(它確實存在，但又無法求出)，這就涉及到了點估計的準則，其中較重要的一條是無偏估計，即：是母體參數的無偏估計值有效估計第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計是母體參數的4第二章可靠性的數學基礎三、區間估計今取樣本的兩個統計量和其母體的分布參數為θ，若對于給定的某一概率（1－α），滿足：

式中（）稱為置信區間，（1－α）稱為置信度，α為風險系數，又稱顯著性水平第二章可靠性的數學基礎三、區間估計式中（）稱5四、抽樣分布1、定義：樣本或是樣本函數的分布稱為抽樣分布。2、常見的抽樣分布1）分布定義：設(x1，x2，…，xn)是來自正態總體N〔0，1)的樣本，則統計量服從參數(也稱自由度)為n的分布，記作分布的概率密度函數曲線如圖所示四、抽樣分布服從參數(也稱自由度)為n的分布，記作6分布具有以下性質分布具有以下性質72）的分布設X服從正態分布(X1,X2….Xn)是來自總體X容量為n的樣本，由正態分布的性質可知，樣本均值也服從正態分布，2）的分布設X服從正態分布(X1,X2….Xn)是來自總83）T分布T分布概率密度函數圖形3）T分布T分布概率密度函數圖形94）F分布F分布概率密度函數圖形4）F分布F分布概率密度函數圖形10第二章可靠性的數學基礎五、常見的區間估計正態分布母體位置參數的區間估計1．已知母體的方差，求母體均值μ的置信區間步驟：第二章可靠性的數學基礎五、常見的區間估計步驟：11例2－5：某廠生產軸承滾珠，其直徑X—N(μ，0.06)．從某天生產的產品中隨機抽取6個，測得直徑依次為(單位：mm)14.615.114.914.815.215.1,求平均直徑μ的(1－α)置信區間（α＝0.05）例2－5：某廠生產軸承滾珠，其直徑X—N(μ，0.06)．從12第二章可靠性的數學基礎五、常見的區間估計2．母體的方差未知，求母體均值μ的置信區間例2－6在材料的拉伸試驗中，測得25根鋼試件的屈服點均值，無偏估計的標準差s＝27.5MPa，試求置信度為95％的材料屈服點均值μ的置信區間。第二章可靠性的數學基礎五、常見的區間估計例2－6在材料的拉13第二章可靠性的數學基礎概要課件14第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗分布函數的假設檢驗就是根據已獲得的隨機樣本的數據，來對預先作出的母體分布函數的類型或特征的假設進行檢驗，它是依據小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能出現的這一小概率原理進行反證推斷。第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗15第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗1）已知母體方差值的均值檢驗（U檢驗）方差已知，檢驗原假設當第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗16例2－7今有一批汽車零件，已知其強度服從正態分布，標準差σ＝60N/mm2,且規定其均值不低于840N/mm2，今隨機抽取零件26個，測得它們的強度均值為830N/mm2，試問當顯著性水平α＝0.05時，這批零件是否合格？例2－7今有一批汽車零件，已知其強度服從正態分布，標準差σ＝17第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗2）未知母體方差值的均值檢驗（T檢驗）方差未知，檢驗原假設例2－8已知某零件的對數疲勞壽命服從正態分布，且均值μ＝4.36，經改變加工工藝后隨機抽得樣本觀測值為lgN0=4.37,4.48,4.40,4.33,4.42,4.45,試問，在顯著性水平α＝0.05得條件下，新舊加工工藝對零件的對數疲勞壽命有無顯著影響？第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗例2－8已知某零件的對數18第二章可靠性的數學基礎概要課件19第三章機械可靠性設計原理與可靠度計算第三章機械可靠性設計原理與可靠度計算20§3-1應力－強度干涉理論與可靠度的一般表達式3-1-1應力－強度分布干涉理論是以應力－強度分布干涉模型為基礎的，該模型清楚的揭示機械零件產生故障而有一定故障率的原因和機械強度可靠性設計的本質§3-1應力－強度干涉理論與可靠度的一般表達式3-1-121圖2－1應力－強度分布與時間t之間的關系3-1-2幾點結論零件初期，在正常的工作條件下，強度總是大于應力，是不會發生故障的，但該零件在動載荷、腐蝕、磨損、疲勞載荷的長期作用下，強度也會逐漸衰減而使強度應力分布曲線發生干涉2即使在安全系數大于1的情況下，仍然會存在一定的不可靠度；13機械零件的可靠度主要取決于應力－強度分布曲線干涉的程度，如果應力與強度的概率分布曲線已知，就可以根據干涉模型計算零件的可靠度。1.干涉模型圖2－1應力－強度分布與時間t之間的關系3-1-2幾22機械強度可靠性設計過程框圖3-1-3機械可靠性設計的實質與過程機械可靠性設計，就是要搞清楚零件的應力與強度的分布規律，嚴格控制發生故障的概率，以滿足設計要求，機械強度可靠性設計的過程如下：機械強度可靠性設計過程框圖3-1-3機械可靠性設計的實質233-1-4可靠度一般表達式的推導由應力分布和強度分布的干涉理論可知，可靠度是“強度大于應力的整個概率”，表示為:注意：應當注意，兩個分布的重疊面積不能用來作為失效概率的定量表示。3-1-4可靠度一般表達式的推導由應力分布和強度分布的干24§3-2應力分布的確定3-2-1應力分布的一般表達式：式中：L－載荷，有軸向、彎曲、扭矩載荷之分T－溫度Ge－幾何參數，包括尺寸的大小及特征等p－物理參數，如泊松比ν，彈性模量E，剪切模量G,熱脹系數λ等T－時間m－其它參數§3-2應力分布的確定3-2-1應力分布的一般表達式：式中：253-2-2確定應力分布的步驟：（1）確定零件的失效模式及其判據（2）應力單元體分析（3）計算應力分量（4）確定每一分量的最大值（5）計算主應力（6）將上述的應力分量綜合為復合應力（7）確定每個名義應力、應力修正系數和有關設計參數的分布（8）確定應力分布3-2-2確定應力分布的步驟：263-2-3用代數法綜合應力分布1.獨立隨機變量的加減法若獨立隨機變量X的均值為μx,標準差為σx，獨立隨機變量Y的均值為μy，標準差為σy，可以導出隨機變量的均值μz，和標準差為σz分別為3-2-3用代數法綜合應力分布1.獨立隨機變量的加減法27第二章可靠性的數學基礎概要課件28第二章可靠性的數學基礎概要課件293-2-3用代數法綜合應力分布如果影響零件工作應力δ的參數有X1，X2，…，Xn，它們均為隨機變量，均呈正態分布，且巳知每個隨機變量Xi(i=1,2,….n)的均知μi及σi，則可根據這些參數與應力的函數關系，把它們綜合成僅含單一隨機變量z的應力表達函數δ(Z)＝f(X1,X2,…Xn)，并求出其分布，方法是確定這單一函數δ(Z)的均值μz和標準差σz。如果每一隨機變量Xi(i=1,2,….n)的變差系數均能滿足CXI<0.01,以及隨機變量的多重性的要求，則由中心極限定理可知，單一函數的均值和方差能夠滿意的近似正態分布的參數。3-2-3用代數法綜合應力分布如果影響零件工作應力δ的參30表3—1正態分布函數的統計特征值綜合計算用表表3—1正態分布函數的統計特征值綜合計算用表313-2-4用矩法綜合應力分布用矩法求隨機變量X的函數f(x)的均值及標準差，是通過泰勒展開式來實現的。1、一維隨機變量設y＝f(X)為一維隨機變量x的函數。該隨機變量的均值μ為已知。今將f(x)用泰勒展開式在X＝μ處展開，得3-2-4用矩法綜合應力分布用矩法求隨機變量X的函數f(32例題3—1已知某一軸銷的半徑r的均值＝10mm，標準差σr＝0．5mm，求軸銷斷面面積的均值及標準差。例題3—1已知某一軸銷的半徑r的均值＝10mm，標332、多維隨機變量

設y＝f(X)＝f（Xl，X2，…，Xn)為相互獨立的隨機變量Xl，X2…，Xn的函數。若已知這些隨機變量的均值分別為μ1，μ2，…，μn，求函數的均值及標準差。為此，將函數在點處用泰勒展開式展開，則有2、多維隨機變量設y＝f(X)＝f（Xl，X2，…，Xn)34

例題3—2一拉桿受外力作用，若外力的均值＝20000N，標準差＝2000N；桿的斷面積的均值，標準差求應力S的均值和標準差。例題3—2一拉桿受外力作用，若外力的均值＝2353-2-5用蒙特卡羅模擬法確定應力分布蒙特卡羅模擬法又稱為統計模擬試驗法，統計試驗法，隨機模擬法它是以統計抽樣理論為基礎、以計算機為計算手段，通過對有關隨機變量的統計抽樣試驗或隨機模擬，從而估計和描述函數的統計量，求解工程技術問題近似解的一種數值計算方法。3-2-5用蒙特卡羅模擬法確定應力分布蒙特卡羅模擬法又稱36第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計一、數理統計的基本概念參數估計：在可靠性的研究中，經常遇到一些分布參數和可靠性指標是未知的，需要作出估計，根據子樣去尋找母體的某一或某些參數值的過程，稱為參數估計。統計推斷一般包括兩個方面：1）母體參數的估計：通過對實際樣本的統計計算，估計研究母體參數的可能取值和取值的可能范圍。2）統計假設的檢驗：要以樣本的觀測值來提供母體的概率分布，需要對母體分布作出假設，再通過樣本數據算出統計量，對原假設是否合理進行檢驗。第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計37第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計二、分布參數估計解決母體參數的取值和可能的取值范圍有兩種途徑:點估計與區間估計。（一）點估計：如果母體的函數為已知，但其某一或某些參數為未知，則可通過母體的一組子樣觀測值（x1，x2….xn）的數據來估計母體的參數值，這一過程稱為參數的點估計。（二）點估計的方法1.矩法：適應性好，精度較差，特別是子容量較小時。2.極大似然法：用于母體分布的類型已知的情況下，設已知分布形式的母體X僅有一個未知參數θ，x1,x2…xn,為X的一組觀測值，若當θ＝似然函數有最大的值第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計似然函數有最大的值38第二章可靠性的數學基礎第二章可靠性的數學基礎39第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計二、分布參數估計（三）點估計的準則無偏估計：是樣本數據的函數，是一個隨機變量，當樣本(x1，x2，…，xn)一定時，就是一個確定的數或點。而不同的樣本，由于x1，x2，…，xn是隨機變量，就有不同的值。如何判斷兩個中哪一個較接近母體參數的真值(它確實存在，但又無法求出)，這就涉及到了點估計的準則，其中較重要的一條是無偏估計，即：是母體參數的無偏估計值有效估計第二章可靠性的數學基礎§2-4數理統計是母體參數的40第二章可靠性的數學基礎三、區間估計今取樣本的兩個統計量和其母體的分布參數為θ，若對于給定的某一概率（1－α），滿足：

式中（）稱為置信區間，（1－α）稱為置信度，α為風險系數，又稱顯著性水平第二章可靠性的數學基礎三、區間估計式中（）稱41四、抽樣分布1、定義：樣本或是樣本函數的分布稱為抽樣分布。2、常見的抽樣分布1）分布定義：設(x1，x2，…，xn)是來自正態總體N〔0，1)的樣本，則統計量服從參數(也稱自由度)為n的分布，記作分布的概率密度函數曲線如圖所示四、抽樣分布服從參數(也稱自由度)為n的分布，記作42分布具有以下性質分布具有以下性質432）的分布設X服從正態分布(X1,X2….Xn)是來自總體X容量為n的樣本，由正態分布的性質可知，樣本均值也服從正態分布，2）的分布設X服從正態分布(X1,X2….Xn)是來自總443）T分布T分布概率密度函數圖形3）T分布T分布概率密度函數圖形454）F分布F分布概率密度函數圖形4）F分布F分布概率密度函數圖形46第二章可靠性的數學基礎五、常見的區間估計正態分布母體位置參數的區間估計1．已知母體的方差，求母體均值μ的置信區間步驟：第二章可靠性的數學基礎五、常見的區間估計步驟：47例2－5：某廠生產軸承滾珠，其直徑X—N(μ，0.06)．從某天生產的產品中隨機抽取6個，測得直徑依次為(單位：mm)14.615.114.914.815.215.1,求平均直徑μ的(1－α)置信區間（α＝0.05）例2－5：某廠生產軸承滾珠，其直徑X—N(μ，0.06)．從48第二章可靠性的數學基礎五、常見的區間估計2．母體的方差未知，求母體均值μ的置信區間例2－6在材料的拉伸試驗中，測得25根鋼試件的屈服點均值，無偏估計的標準差s＝27.5MPa，試求置信度為95％的材料屈服點均值μ的置信區間。第二章可靠性的數學基礎五、常見的區間估計例2－6在材料的拉49第二章可靠性的數學基礎概要課件50第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗分布函數的假設檢驗就是根據已獲得的隨機樣本的數據，來對預先作出的母體分布函數的類型或特征的假設進行檢驗，它是依據小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能出現的這一小概率原理進行反證推斷。第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗51第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗1）已知母體方差值的均值檢驗（U檢驗）方差已知，檢驗原假設當第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗52例2－7今有一批汽車零件，已知其強度服從正態分布，標準差σ＝60N/mm2,且規定其均值不低于840N/mm2，今隨機抽取零件26個，測得它們的強度均值為830N/mm2，試問當顯著性水平α＝0.05時，這批零件是否合格？例2－7今有一批汽車零件，已知其強度服從正態分布，標準差σ＝53第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗2）未知母體方差值的均值檢驗（T檢驗）方差未知，檢驗原假設例2－8已知某零件的對數疲勞壽命服從正態分布，且均值μ＝4.36，經改變加工工藝后隨機抽得樣本觀測值為lgN0=4.37,4.48,4.40,4.33,4.42,4.45,試問，在顯著性水平α＝0.05得條件下，新舊加工工藝對零件的對數疲勞壽命有無顯著影響？第二章可靠性的數學基礎六、假設檢驗例2－8已知某零件的對數54第二章可靠性的數學基礎概要課件55第三章機械可靠性設計原理與可靠度計算第三章機械可靠性設計原理與可靠度計算56§3-1應力－強度干涉理論與可靠度的一般表達式3-1-1應力－強度分布干涉理論是以應力－強度分布干涉模型為基礎的，該模型清楚的揭示機械零件產生故障而有一定故障率的原因和機械強度可靠性設計的本質§3-1應力－強度干涉理論與可靠度的一般表達式3-1-157圖2－1應力－強度分布與時間t之間的關系3-1-2幾點結論零件初期，在正常的工作條件下，強度總是大于應力，是不會發生故障的，但該零件在動載荷、腐蝕、磨損、疲勞載荷的長期作用下，強度也會逐漸衰減而使強度應力分布曲線發生干涉2即使在安全系數大于1的情況下，仍然會存在一定的不可靠度；13機械零件的可靠度主要取決于應力－強度分布曲線干涉的程度，如果應力與強度的概率分布曲線已知，就可以根據干涉模型計算零件的可靠度。1.干涉模型圖2－1應力－強度分布與時間t之間的關系3-1-2幾58機械強度可靠性設計過程框圖3-1-3機械可靠性設計的實質與過程機械可靠性設計，就是要搞清楚零件的應力與強度的分布規律，嚴格控制發生故障的概率，以滿足設計要求，機械強度可靠性設計的過程如下：機械強度可靠性設計過程框圖3-1-3機械可靠性設計的實質593-1-4可靠度一般表達式的推導由應力分布和強度分布的干涉理論可知，可靠度是“強度大于應力的整個概率”，表示為:注意：應當注意，兩個分布的重疊面積不能用來作為失效概率的定量表示。3-1-4可靠度一般表達式的推導由應力分布和強度分布的干60§3-2應力分布的確定3-2-1應力分布的一般表達式：式中：L－載荷，有軸向、彎曲、扭矩載荷之分T－溫度Ge－幾何參數，包括尺寸的大小及特征等p－物理參數，如泊松比ν，彈性模量E，剪切模量G,熱脹系數λ等T－時間m－其它參數§3-2應力分布的確定3-2-1應力分布的一般表達式：式中：613-2-2確定應力分布的步驟：（1）確定零件的失效模式及其判據（2）應力單元體分析（3）計算應力分量（4）確定每一分量的最大值（5）計算主應力（6）將上述的應力分量綜合為復合應力（7）確定每個名義應力、應力修正系數和有關設計參數的分布（8）確定應力分布3-2-2確定應力分布的步驟：623-2-3用代數法綜合應力分布1.獨立隨機變量的加減法若獨立隨機變量X的均值為μx,標準差為σx，獨立隨機變量Y的均值為μy，標準差為σy，可以導出隨機變量的均值μz，和標準差為σz分別為3-2-3用代數法綜合應力分布1.獨立隨機變量的加減法63第二章可靠性的數學基礎概要課件64第二章可靠性的數學基礎概要課件653-2-3用代數法綜合應力分布如果影響零件工作應力δ的參數有X1，X2，…，Xn，它們均為隨機變量，均呈正態分布，且巳知每個隨機變量Xi(i=1,2,….n)的均知μi及σi，則可根據這些參數與應力的函數關系，把它們綜合成僅含單一隨機變量z的應力表達函數δ(Z)＝f(X1,X2,