2022-2023學年福建省三明市鳳山中學高三數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數的圖像可能是

（

）參考答案：C

，且。所以選C2.定義區間（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的長度均為d=b﹣a．用[x]表示不超過x的最大整數，記{x}=x﹣[x]，其中x∈R．設f（x）=[x]{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集區間的長度，則當0≤x≤3時，有(

) A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4參考答案：A考點：進行簡單的合情推理．專題：新定義．分析：先化簡f（x）=[x]?{x}=[x]?（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化簡f（x）＜（x），再分類討論：①當x∈[0，1）時，②當x∈[1，2）時③當x∈[2，3]時，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3時的解集的長度．解答： 解：f（x）=[x]?{x}=[x]?（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）?[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＞1，∴x∈?；當x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0＞0，∴x∈?；當x∈[2，3]時，[x]﹣1＞0，上式可化為x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3時的解集為[2，3]，故d=1．故選：A．點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，同時考查了創新能力，以及分類討論的思想和轉化思想，屬于中檔題3.若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，則A∩B=（）A．{2，3} B．? C．2 D．[2，3]參考答案：A【考點】交集及其運算．【分析】利用已知條件求出集合B，然后求解交集．【解答】解：集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|={2，3}，則A∩B={2，3}．故選：A．4.若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解,則a的取值為(

)A．

B．

C.

D．

參考答案：D【知識點】一元二次不等式與二次函數的關系E3解析：若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，則x2－2ax＋a=－1有相等實根，所以，解得a=,所以選D.【思路點撥】遇到一元二次不等式的解集問題，可結合其對應的二次函數的圖象進行解答.5.已知復數z=1+i,則復數在復平面內對應的點在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A略6.已知，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.五四青年節活動中，高三(1)、(2)班都進行了3場知識辯論賽，比賽得分情況的莖葉圖如圖所示（單位：分），其中高三(2)班得分有一個數字被污損，無法確認，假設這個數字x具有隨機性，那么高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由徑葉圖可得高三（1）班的平均分為，高三（2）的平均分為，由，得10>x>5,又，所以x可取，6，7，8，9，概率為，選D.

8.已知一個幾何體是由上下兩部分構成的組合體，其三視圖如下，若圖中圓的半徑為，等腰三角形的腰長為，則該幾何體的體積是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A由三視圖可知，該幾何體上部分是一個圓錐，下部分是個半球，球半徑為1，圓錐的高為，所以圓錐的體積為，半球的體積為，所以幾何體的總體積為，選A.9.已知復數（i為虛數單位，a為實數）在復平面內對應的點位于第二象限，則復數z的虛部可以是A. B. C. D.參考答案：D【分析】由題意得到關于a的不等式組，求解不等式組即可確定復數的虛部.【詳解】＝，對應點為：在第二象限，所以，所以復數的虛部a的取值范圍為：，只有D符合.故選：D.【點睛】本題主要考查復數的運算法則，復數所在象限的確定等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10.已知如圖所示的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點P、Q分別在棱BB1、DD1上，且=，過點A、P、Q作截面截去該正方體的含點A1的部分，則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的主視圖的是（）參考答案：A當P、B1重合時，主視圖為選項B；當P到B點的距離比B1近時，主視圖為選項C；當P到B點的距離比B1遠時，主視圖為選項D，因此答案為A.考點：組合體的三視圖二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果復數（b∈R）的實部和虛部互為相反數，則b等于

．參考答案：0【考點】A2：復數的基本概念；A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】首先進行復數的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數，整理成復數的代數標準形式，根據實部和虛部互為相反數，得到實部和虛部和為0，得到結果．【解答】解：∵===，∵實部和虛部互為相反數，∴，∴，∴b=0，故答案為：012.在△ABC中，D為BC邊上一點，若△ABD是等邊三角形，且AC=4，則△ADC的面積的最大值為

．參考答案：【考點】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性質確定AD?DC的最大值，進而根據三角形面積公式求得三角形面積的最大值．【解答】解：在△ACD中，cos∠ADC===﹣，整理得AD2+CD2=48﹣AD?DC≥2?AD?DC，∴AD?DC≤16，AD=CD時取等號，∴△ADC的面積S=AD?DC?sin∠ADC=AD?DC≤4，故答案為：【點評】本題主要考查了正弦定理的應用和余弦定理的應用．本題靈活運用了基本不等式的基本性質解決了三角形求最值的問題．13.如圖，在平面直角坐標系中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時圓上一點的位置在，圓在軸上沿正向滾動。當圓滾動到圓心位于時，的坐標為______________.參考答案：因為圓心移動的距離為2，所以劣弧，即圓心角,,則,所以，，所以，，所以。14.展開式的常數項為280，則正數a=

.參考答案：15.已知

.參考答案：16.若一組樣本數據，，，，的平均數為，則該組數據的方差

.參考答案：略17.設復數，其中，則______．參考答案：-2/5略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.M公司從某大學招收畢業生，經過綜合測試，錄用了14名男生和6名女生，這20名畢業生的測試成績如莖葉圖所示（單位：分），公司規定：成績在180分以上者到“甲部門”工作；180分以下者到“乙部門”工作。（I）求男生成績的中位數及女生成績的平均值；（II）如果用分層抽樣的方法從“甲部門”人選和“乙部門”人選中共選取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“甲部門”人選的概率是多少？參考答案：略19.設n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）證明：對任意正整數n，f（n）是8的倍數．參考答案：【分析】（1）由n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，分別取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．（2）利用用數學歸納法能證明對任意正整數n，f（n）是8的倍數．【解答】解：（1）∵n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，∴f（1）=3+7﹣2=8，f（2）=32+72﹣2=56，f（3）=33+73﹣2=368．證明：（2）用數學歸納法證明如下：①當n=1時，f（1）=3+7﹣2=8，成立；②假設當n=k時成立，即f（k）=3k+7k﹣2能被8整除，則當n=k+1時，f（k+1）=3k+1+7k+1﹣2=3×3k+7×7k﹣2=3（3k+7k﹣2）+4×7k+4=3（3k+7k﹣2）+4（7k+1），∵3k+7k﹣2能被8整除，7k+1是偶數，∴3（3k+7k﹣2）+4（7k+1）一定能被8整除，即n=k+1時也成立．由①②得：對任意正整數n，f（n）是8的倍數．【點評】本題考查函數值的求法，考查函數值是8的倍數的證明，是基礎題，解題時要認真審，注意數學歸納法的合理運用．20.已知函數．（Ⅰ）求的單調區間和極值；（Ⅱ）求證：．參考答案：解：（Ⅰ）定義域為，令，令故的單調遞增區間為，的單調遞減區間為的極大值為（Ⅱ）證：要證

即證，即證即證

令，由（Ⅰ）可知在上遞減，故

即，令，故累加得，

故，得證法二：=，其余相同證法．略21.已知數列{an}前n項和為Sn，首項為a1，且成等差數列．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）數列滿足bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求證：．參考答案：考點：數列與不等式的綜合；等差數列的性質．專題：綜合題；等差數列與等比數列．分析：（Ⅰ）由題意可得，令n=1可求a1，n≥2時，，，兩式相減可得遞推式，由遞推式可判斷該數列為等比數列，從而可得an；（Ⅱ）表示出bn，進而可得，并拆項，利用裂項相消法可求和，由和可得結論；解答：解：（Ⅰ）∵成等差數列，∴，當n=1時，，解得；當n≥2時，，，兩式相減得：an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，∴，所以數列{an}是首項為，公比為2的等比數列，．（Ⅱ）bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3）=×=（2n﹣1）（2n+1），，則==．點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查裂項相消法對數列求和，考查等比數列的通項公式，屬中檔題．22.（13分）已知函數，是的一個極值點．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當時，求函數的最大值．參考答案：解析：（Ⅰ）．

---------------------------------------------------3分∵是的一個極值點，∴是方程的一個根，解得．----------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則．

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