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7/61.A.當x>0時,三1.A.當x>0時,三2C.當x±2時,x+X的最小值為2xD.當0<xW2時,x—-無最大值x課時分層作業(二十三)基本不等式*(建議用時:60分鐘)[基礎達標練]一、選擇題下列結論正確的是()當x>0且xH1時,lgx+igx三2B.[A中,當0<x<1時,lgx<0,lgx+jg\±2不成立;由基本不等式知B正確;C中,由對勾函數的單調性,知x+丄的最小值為專;D中,由函數f(x)=x2TOC\o"1-5"\h\z113x■丄在區間(0,2]上單調遞增,知x--的最大值為2,故選B.]xx22.下列各式中,對任何實數x都成立的一個式子是()2.A.lg(A.lg(x2+1)三lg(2x)B.x2+1>2xC.D.x+-三C.x[對于A,當xWO時,無意義,故A不恒成立;對于B,當x=1時,x2+1=2x,故B不成立;對于D,當x<0時,不成立?對于C,x2+1±1,x2+1W1成立,故選C.]設a,b為正數,且a+bW4,則下列各式中正確的一個是()
A.1+1<1abB.1+1^1C.1+1<2abDA.1+1<1abB.1+1^1C.1+1<2abD.1+1^2ab[因為abWa+b)2IT=4,所以產異‘陽三2、*1」4.A.C.a+d.—2、;bca+d‘>A.C.a+d.—2、;bca+d‘>—D.2W"Jbc[因為a,b,c,d成等差數列,則a+d=b+c,又因為a,b,c,d均a+d,_大于0且不相等,所以b+c>2Jbc,故一2—>\'bc.]285?若x>0,y>0,且x+y=1,則xy有()xyA.最大值64B.最小值右C.最小值*D.最小值64[由題意xy=([由題意xy=(i+8b=2y+8x±2\;2y?8x=8\;xy,./Jxy±8,即xy有最小值64,等號成立的條件是x=4,y=16.]二、填空題若a>0,b>0,且++£=70^,則a3+b3的最小值為.4.'2[Ta〉。,b>0,.J喬二a+b±2\:a?即ab^2,當且僅當a=b=;2時取等號,???a3+b3±2\;;(ab)3三2何二4\;2當且僅當a=b=;2時取等號,則a3+b3的最小值為4辺.]已知0<x<1,則x(3-3x)取得最大值時x的值為.[由x[由x(3-3x)=1X3x(3-3x)wgx‘3x+3-3x'2<2~~丿3二4,當且僅當3x=3-3x,即x二*時等號成立?]8.若對任意x8.若對任意x>0xx2+3x+1Wa恒成立,則a的取值范圍是5,+8)[因為x>0,所以x+1三2.當且僅當x=1時取等號,x111x11所以有一x—二一1—w丄二5,即—x—的最大值為5,故a±5」x2+3x+1x+1+32+35x2+3x+155x三、解答題49.(1)已知x<3,求fx)=x^+x的最大值;13(2)已知x,y是正實數,且x+y=4,求-+寸的最小值.xy[解](1)???xv3,?f(x?f(x)一+x=+(x-3)x-3x-3=-Jx+(3-x)+3W-Ax-3<0,+32亡?(3-x)+3=-1,4當且僅當——二3-x,3-x即x=1時取等號,Afx)的最大值為-1.(2)Tx,y是正實數,???(兀+歹£+弓二4+[|+爭三4+2羽.當且僅當三二乎,即x=2G.;'3-1),y二2(3-“間時取“二”號.又x+y=4,
故£+*的最小值為i+乎.10.某種汽車,購車費用是10萬元,每年使用保險費、養路費、汽油費約為0.9萬元,年維修費第一年是0.2萬元,以后逐年遞增0.2萬元,問這種汽車使用多少年時,它的年平均費用最少?[解]設使用x年平均費用最少.由條件知,汽車每年維修費用構成以0.2萬元為首項,0.2萬元為公差的等差數列.因此,汽車使用x年總的維修費用為0.2;0.2:萬元.設汽車的年平均費用為y萬元,則有0.2+0.2x10+0.9x+2x10+x+0.1x210x:10xy=x='x=1+三+応三1+2\匸衛10x當且僅當10二10,即x=10時,y取最小值.即這種汽車使用i0年時,年平均費用最少.[能力提升練]x2_2x+22x2_2x+22x_2(A?有最小值1B.C?有最小值一1Dx22x+21Dfx)二--二2(x-■1)+若一4<x<1,則f(x)=1.有最大值1有最大值一11-1,XV-4<x<1,Ax-1<0.A-(x-1)>0.111故fx)二-2-(x-1)+(x1)W-1.當且僅當x-1二——,即x=02L-(x-丄丿」x-1時等號成立.]
2.已知x>0,y>0,且x+y=8,貝V(l+x)(l+y)的最大值為()B.25C.B.25C.9(1+x)+(1+y)22+(x+y)_2__2_D.36[(1+x)(1+y)W2二[2+8*I2丿25,因此當且僅當1+x=1+y,即x=y=4時,(1+x)(1+y)取最大值25,故選B.]3.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,貝V”點的最小值為.4[由lg2x+lg8y=lg2,得2畑二2,即2x+3y二21,「.x+3y二1,丿(x+3y)x+3x+3yxx+3y3y=1+¥+討*¥寺2+2=4.當且僅當牛話即x=2,y=6時等號成立.]若實數x、y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是[Vx2+y2+xy=1,A(x+y)2=1+xy.(x+y)2(x+y)2TxyW4,???(x+y)2?1W4,整理求得-警Wx+y?x+y的最大值是葺3.]某廠家擬在2019年舉行某產品的促銷活動,經調查,該產品的年銷售量(即該產品的年產量)x(單位:萬件)與年促銷費用m(m±O)(單位:萬元)滿足x=3
km^1(k為常數),如果不舉行促銷活動,該產品的年銷售量是1萬件.已知2019年生產該產品的固定投入為8萬元,每生產1萬件該產品需要再投入16萬元,廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金,不包括促銷費用).將2019年該產品的利潤y(單位:萬元)表示為年促銷費用m的函數;該廠家/r
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