、填空題.用最速下降法求f(x)=10(X2-X1)+(1—\\最優解時，設x(0)=[—0.5,0.5卜，第一步迭代的搜索方向為.機械優化設計采用數學的規劃法，其核心一是最佳步長，二是搜索方向.當優化問題是凸規劃的情況下，在任何局部最優解就是全域最優解。.應用外推法來確定搜索區間時，最后得到的三點，即為搜索區間的始點，中間點和終點，他們的函數值形成趨勢高低高。.包含n個設計變量的優化問題，稱為 n 維優化問題。—-16.函數一xtHx+Btx+c的梯度為 HX+B 。21.與負梯度成銳角的方向為函數值下降方向，與梯度成直角的方向為函數值的丕變方向。.設G為n義n對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個非零向量d0,d1，滿足(do)Gdi=0，則d0，d1之間存在共在關系。.設計變量，目標函數，約束條件是優化設計問題的數學模型的基本要素。.對于無約束二元函數f(X1,X2)，若在X0=(X12,X3J點處取得極小值，其必要條件是在X0點的梯度為0,充分條件是在X0點的海條矩陣正定。.處T條件可以敘述為在極值點處目標函數的負梯度為起作用的各約束函數梯度的非負線性組合。.用黃金分割法求一元函數f(x)=X2-10x+36的極值點，初始搜索區間LT=L10,1。]，經第一次區間消去后得到新區間[2.3610] 。.優化設計問題的數學模型的基本要素有設計變量，目標函數，約束條件。.牛頓法搜索方向dk=-(V2f(xk))-1Vf(xk)，其計算量大，且要求初始在級極小點附近位置。.將函數f(X)=x2+x2-xx-10x-4x+60表示成—XTHX+BTX+C的形式1 2 12 1 2 21「 ，2-11「 ，2-1-lxX-212-12X1+D10X2」fXI-4-1+60X22」.存在矩陣H,向量d1,d2，當滿足卑Hd=0向量d1和向量d2是關于H共軛方向。.采用外點法求約束優化問題時，將約束優化問題轉化為外點形式時引入的懲罰因子r數列，具有—單調遞增特點。.采用數學規劃法求解多元函數極值點時，根據迭代公式需要進行一維搜索，即求最佳步長.對于一維搜索，搜索區間為[〃/]，中間插入兩個點a,b,a<b，計算出f(a)<f(b)，則縮短后1111 1 1的搜索區間為La,bj。

.由于確定搜索方向和最佳步長的方法不一致，派生出不同的無約束優化問題過程中，懲罰因子具體有趨于。變化規律。.尋出等式約束極值條件時，將等式優化問題轉化為無約束問題的方法有消元法和拉格朗日乘子法.優化問題中二元函數等值線，從外層向內層函數值逐漸變小.優化設計中，可行設計點為可行域內的設計點。.方向倒數定義為函數在某點處沿某一方向的變化率.設f（%）為定義在凸集R上具有連續二階導數的函數，則f（Q在R上為凸函數充分必要條件是海賽矩陣G（%）在R上處處大于0.在n維空間中互相共軛的非零向量是個數最多有n個。.約束優化問題在可行域內對設計變量求目標函數的極小點。.外點懲罰函數法的迭代過程在可行域外進行，懲罰項的作用是迫使迭代點逼近邊界或等式約束曲面、選擇題.下面C__方法需要求海賽矩陣。%(%(2)=根據目標函數等值線和約束曲線，判斷％（i）=h,i1為d.內點懲罰函數用于求解—B—優化問題。.拉格朗日乘子法師求解等式約束優化問題的一種經典法，它是一種_D—。.對于一維搜索，搜索區間為［〃/］，中間插入兩個點a1，b1，a1<bj計算出f（a）<f（4），則縮短后的搜索區間為—D—。.―D―不是優化設計問題數學模型的基本要素。.變尺度發的迭代公式為%k+1=%-aHVfQJ，下列不屬于H必須滿足的條件是—C。kk k.函數f（%）在某點的梯度方向為函數在該點的___A。.下面四種無約束優化方法中，—D在構成搜索方向時沒有使用到目標函數的一階或二階導數。.設f（%）為定義在凸集R上且具有連續二階導數的函數，則f（%）在R上為凸函數的充分必要條件是海賽矩陣G（%）在R上處處_A。.通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是B.一維搜索試探方法中，黃金分割法比二次插值法的收斂速度_A—。.下列關于最常用的一維搜索試探方法 黃金分割法的敘述，錯誤的是CD，假設要求在區間［a,b］插入兩點ai，a2，ai<a2。.與梯度成銳角的方法為函數值_A方向，與負梯度成銳角的方向為函數值—B__方向，與梯度成直角的方向為函數值的C方向。.二維目標函數的無約束極小點就是A―。.最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為向量_B。.下列關于共軛梯度法的敘述，錯誤的是A。.下列關于內點懲罰函數法的敘述，錯誤的是A―。.設fG）是定義在凸集D上具有連續二階導數的函數，則fG）在D上嚴格凸函數的充要條件是—B:.下列幾種無約束問題求解方法中，哪種算法需要計算海賽矩陣—A—。.關于正交方向和共軛方向之間的關系，下列說法正確的是B。.多元函數的海賽矩陣是其B__偏導數所形成的對稱矩陣。.關于變尺度優化方法的變尺度矩陣Ak，下列說法不正確的是C。.關于梯度，下列說法不正確的是B―。.與梯度成銳角的方向為函數值___A方向。三、判斷題.二元函數等值線密度的區域函數值變化慢。（X）.海賽矩陣正定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（J）.當迭代接近極值點時，最速下降法會出現鋸齒現象，導致收斂速度慢。（J）.外點懲罰函數法的懲罰因子降低系數越小，則迭代次數越多。（J）.梯度法求解無約束優化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向對海賽矩陣共軛。（X）.數值迭代法求極值的核心就是建立搜索方向和計算最佳步長。（J）.海賽矩陣負定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（X）.拉格朗日乘子法師求解無約束優化問題的一種方法。（X）.凸規劃的任何局部最優解就是全局最優解。（J）.一維搜索的二次插值法用到了點的函數值，一階導數和二階導數信息。（X）.二元函數等值線稀疏的區域函數值變化慢。（J）.海賽矩陣正定的充要條件是它的主子式都小于零。（X）.外點懲罰函數法師只試用于不等式約束問題（X）.變尺度法求解優化問題時需計算海賽矩陣（X）.梯度法求解無約束優化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向相互垂直。（J）四、問答題.什么是一維搜索問題？答：當方向dk給定時，求最佳步長a就是求一元函數f（%k+i）=f1xk+adk）=w（a）的極值問題，它k k k稱為一維搜索。.試述兩種一維搜索方向的原理，它們之間有何區別？答：搜索的原理是：區間消去法原理區別：(1)、試探法：給定的規定來確定插入點的位置，此點的位置確定僅僅按照區間的縮短如何加快，而不顧及函數值的分布關系，如黃金分割法(2)、插值法：沒有函數表達式，可以根據這些點處的函數值，利用插值方法建立函數的某種近似表達式，近而求出函數的極小點，并用它作為原來函數的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數逼近法。.共軛梯度法是利用梯度求共軛方向的，那共軛方向與梯度之間有什么關系？f(X)=1XtGX+bTX+c對于二次函數， 2 ，從Xk點出發，沿G的某一共軛方向dk作一維搜索，到達。(x,r,r)=f(x)+r2^G(g(x))+r￡〃(h(x))Xk+卜點，則Xk+1點處的搜索方向打應滿足 12 j, 2k=i k,(gk+i-gk)=0，即終點Xk+1與始點Xk的梯度之差gk+i一gk與dk的共軛方向d正交。.懲罰函數法求解約束優化問題的基本原理是什么？答：懲罰函數求解約束優化問題的基本原理是將約束優化問題中的不等式和等式約束優化函數經過加權轉化后，和原目標函數結合成新的目標函數----懲罰函數，即求解該新的目標函數的無約束極小值，以期得到原問題的約束最優解。.與最速下降法和牛頓法比較，試述變尺度法的特點。答：牛頓法對于二次正定函數只需作一次迭代就得到最優解，特別是在極小點附近，收斂性很好、速度快，而最速下降法在極小點附近收斂速度很差。但牛頓法也有缺點，它要求初始點在最優點附近，否則牛頓法不能保證其收斂，甚至也不是下降方向。因此，變尺度法就是在克服了梯度法收斂速度慢和牛頓法計算量、存儲量大的特點基礎上而發展起來。.試述數值解法求最佳步長因子的基本思路。答主要用數值解法，利用計算機通過反復迭代計算求得最佳步長因子的近似值..寫出應用數學規劃法求解優化設計問題的數值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。X1=x0+a0d0.答：意義是從X0出發沿某一規定方向d0求函數的極值點，設此點為X1，再從X1出發沿d1方向求函數的極值點X2,如此繼續。.變尺度矩陣的搜索方向是什么？變尺度矩陣應滿足什么條件？變尺度矩陣在極小點處逼近什么矩陣？并寫出其初始形式。答：搜索方向是擬牛頓方向S(0)=-A(0)Vf(X(k))，條件：(1)為保證迭代公式具有下降的性質，要求變尺度矩陣中的每一個矩陣都是對稱正定的。(2)要求矩陣之間具有簡單的形式:Hk+i=Hk+Eko(3)要求矩陣必須滿足擬牛頓條件。變尺度矩陣在極小點處逼近海塞矩陣的逆矩陣。初始形式Hk=I(單位矩陣)。.在變尺度法中，變尺度矩陣Hk為什么要求都是正定對稱的？答：因為若要求搜索方向%=-Hg為下降方向，即要求g：dk<0，也就是一gT^gk<0，這樣gTHkgk>0,即Hk應為對稱正定。.什么是共軛方向？滿足什么關系？共軛與正交是什么關系？答：共軛方向是若干個方向矢量組成的方向組，具有某種共同的性質，之間存在特定的關系。存在矩陣H,,一dd ，一d1T ,一d,一d一，, , , 、, 、 、一，向量d1，d2，當滿足 Hd2=0，向量d1和向量d2是關于H共軛方向。共軛是正交的推廣，正交是共軛的特例。.請寫出應用MATLAB優化工具箱處理約束優化設計問題的基本步驟。答：(1)編寫定義目標函數的M文件 如：functionf=ws331(x)f=1000-x(1)人2-2*x(2)人2-x(3)人2-x(1)*x(2)-x(1)*x(3)(2)編寫定義約束方程函數的M文件 如：function[c,ceq]=ws332(x)C(小于等于0)=[-x(1);-x(2);-x(3)];Ceq(等于0)=[x(1)人2+x(2)人2+x(3)人2-25;8*x(1)+14*x(2)+7*x(3)-56];(3)在窗口調用求解命令求解.。求解格式為：x0=[-1,1][x,fval]=fmincon(@fun1,x0,[],[],[],[],[],[],@con)12.試述求解無約束優化問題的最速下降法與牛頓型方法的優缺點。答：最速下降法此法優點是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優點是收斂比較快，對二次函數具有二次收斂性。缺點是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數高時及數量比較大。.何為優化設計的可行設計域和可行設計點？答:可行域：滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間中的活動范圍稱作可行域。在可行域內的任意一點可以叫做可行設計點。.無約束優化問題數值求解的一般步驟是什么？答：(1)編寫乂文件，functionf=fun1(x)如f=xA4-5*xA3+4*xA2-6*x+60目標函數文件。(2)在命令窗口中調用無約束線性函數fminunc求解。(單變量用fminbnd)求解格式為：x0=[-1,1][x,fval]=fminunc(@fun1,x0)五、解答題.試用牛頓法求fG)=(5—2、+(\—2x)\的最優解，設初始點M。)=12,1"。.設有函數f(X)=x2+2x2-2xi七-4q，試利用極值條件求其極值點和極值。.試用梯度法求目標函數f(X)=1.5x2+0.5x2-xix2-2%的最優解，設初始點x(0)=[-2,4]，迭代精度8=0.02(迭代一步)。.求目標函數f(X)=x2+2x2+xj2+4x1+6x2+10的極值和極值點。.試證明函數f(X)=2x2+/r/