2022年高考數學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長倍？”意思是：“今有蒲草第天長高尺，蕪草第天長高尺以后，蒲草每天長高前一天的一半，蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數是（）（結果采取“只入不舍”的原則取整數，相關數據：，）A． B． C． D．2．復數，若復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱，則等于（）A． B． C． D．3．為得到函數的圖像，只需將函數的圖像（）A．向右平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向左平移個長度單位4．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．《九章算術》“少廣”算法中有這樣一個數的序列：列出“全步”（整數部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分數進行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之數，逐個照此同樣方法，直至全部為整數，例如：及時，如圖：記為每個序列中最后一列數之和，則為（）A．147 B．294 C．882 D．17646．2020年是脫貧攻堅決戰決勝之年，某市為早日實現目標，現將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個貧困縣扶貧，要求每個貧困縣至少分到一人，則甲被派遣到縣的分法有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．36種7．函數的定義域為，集合，則（）A． B． C． D．8．設復數z＝，則|z|＝（）A． B． C． D．9．在三棱錐中，，且分別是棱，的中點，下面四個結論：①；②平面；③三棱錐的體積的最大值為；④與一定不垂直.其中所有正確命題的序號是（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④10．設，則，則（）A． B． C． D．11．如果直線與圓相交，則點與圓C的位置關系是（）A．點M在圓C上 B．點M在圓C外C．點M在圓C內 D．上述三種情況都有可能12．設為虛數單位，則復數在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上，則實數的值為___________.14．已知為矩形的對角線的交點，現從這5個點中任選3個點，則這3個點不共線的概率為________.15．已知，則_____16．已知為等比數列，是它的前項和.若，且與的等差中項為，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，的最大值為．求實數b的值；當時，討論函數的單調性；當時，令，是否存在區間，，使得函數在區間上的值域為？若存在，求實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由．18．（12分）已知函數（），是的導數.（1）當時，令，為的導數.證明：在區間存在唯一的極小值點；（2）已知函數在上單調遞減，求的取值范圍.19．（12分）在一次電視節目的答題游戲中，題型為選擇題，只有“A”和“B”兩種結果，其中某選手選擇正確的概率為p，選擇錯誤的概率為q，若選擇正確則加1分，選擇錯誤則減1分，現記“該選手答完n道題后總得分為”.（1）當時，記，求的分布列及數學期望；（2）當，時，求且的概率.20．（12分）如圖所示的幾何體中，，四邊形為正方形，四邊形為梯形，，，，為中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）設點分別是橢圓的左，右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線與軸交于點，過點且斜率的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：直線．22．（10分）某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫療保險，現從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應交納的保費如下表所示.據統計，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡（單位：歲）保費（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數時的最小值；（2）經調查，年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元，如果參保，保險公司補貼治療費元.某老人年齡歲，若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元；若沒有購買該項保險，針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購買此項保險是否劃算？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

由題意可利用等比數列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度，進而可得：，解出即可得出．【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據題意得：，解得2n＝12，∴n21．故選：C．【點睛】本題考查了等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2．A【解析】

先通過復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱，得到，再利用復數的除法求解.【詳解】因為復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱，且復數，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查復數的基本運算和幾何意義，屬于基礎題.3．D【解析】，所以要的函數的圖象，只需將函數的圖象向左平移個長度單位得到，故選D4．D【解析】

圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當且僅當且即時取等號，故選：．【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關系，考查運算能力，屬于基礎題．5．A【解析】

根據題目所給的步驟進行計算，由此求得的值.【詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【點睛】本小題主要考查合情推理，考查中國古代數學文化，屬于基礎題.6．B【解析】

分成甲單獨到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進行分類討論，由此求得甲被派遣到縣的分法數.【詳解】如果甲單獨到縣，則方法數有種.如果甲與另一人一同到縣，則方法數有種.故總的方法數有種.故選：B【點睛】本小題主要考查簡答排列組合的計算，屬于基礎題.7．A【解析】

根據函數定義域得集合，解對數不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【詳解】解：由函數得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【點睛】本題考查了交集及其運算，考查了函數定義域的求法，是基礎題.8．D【解析】

先用復數的除法運算將復數化簡，然后用模長公式求模長.【詳解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,則|z|＝＝＝＝.故選：D.【點睛】本題考查復數的基本概念和基本運算,屬于基礎題.9．D【解析】

①通過證明平面，證得；②通過證明，證得平面；③求得三棱錐體積的最大值，由此判斷③的正確性；④利用反證法證得與一定不垂直.【詳解】設的中點為，連接，則，，又，所以平面，所以，故①正確；因為，所以平面，故②正確；當平面與平面垂直時，最大，最大值為，故③錯誤；若與垂直，又因為，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因為，所以顯然與不可能垂直，故④正確.故選：D【點睛】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關命題真假性的判斷，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.10．A【解析】

根據換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.【點睛】本題考查換底公式和對數的運算，屬于中檔題.11．B【解析】

根據圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交，圓心到直線的距離，即．也就是點到圓的圓心的距離大于半徑．即點與圓的位置關系是點在圓外．故選：【點睛】本題主要考查直線與圓相交的性質，考查點到直線距離公式的應用，屬于中檔題．12．A【解析】

利用復數的除法運算化簡，求得對應的坐標，由此判斷對應點所在象限.【詳解】，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.【點睛】本小題主要考查復數除法運算，考查復數對應點所在象限，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，右準線方程，得到交點坐標代入拋物線方程求解即可．【詳解】解：雙曲線的右準線，漸近線，雙曲線的右準線與漸近線的交點，交點在拋物線上，可得：，解得．故答案為．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質以及拋物線的簡單性質的應用，是基本知識的考查，屬于基礎題．14．【解析】

基本事件總數，這3個點共線的情況有兩種和，由此能求出這3個點不共線的概率．【詳解】解：為矩形的對角線的交點，現從，，，，這5個點中任選3個點，基本事件總數，這3個點共線的情況有兩種和，這3個點不共線的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．15．【解析】

化簡得，利用周期即可求出答案．【詳解】解：，∴函數的最小正周期為6，∴，，故答案為：．【點睛】本題主要考查三角函數的性質的應用，屬于基礎題．16．【解析】

設等比數列的公比為，根據題意求出和的值，進而可求得和的值，利用等比數列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數列的性質可得，，由于與的等差中項為，則，則，，，，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數列求和，解答的關鍵就是等比數列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1);(2)時，在單調增；時,在單調遞減，在單調遞增；時,同理在單調遞減，在單調遞增；（3）不存在.【解析】分析：(1)利用導數研究函數的單調性，可得當時，取得極大值，也是最大值，由，可得結果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（3）假設存在區間，使得函數在區間上的值域是，則，問題轉化為關于的方程在區間內是否存在兩個不相等的實根，進而可得結果.詳解：(1)由題意得，令，解得，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.所以當時，取得極大值，也是最大值，所以，解得.（2）的定義域為.①即,則，故在單調增②若,而,故,則當時，;當及時，故在單調遞減，在單調遞增．③若,即,同理在單調遞減，在單調遞增（3）由（1）知，所以，令，則對恒成立，所以在區間內單調遞增，所以恒成立，所以函數在區間內單調遞增.假設存在區間，使得函數在區間上的值域是，則，問題轉化為關于的方程在區間內是否存在兩個不相等的實根，即方程在區間內是否存在兩個不相等的實根，令，，則，設，，則對恒成立，所以函數在區間內單調遞增，故恒成立，所以，所以函數在區間內單調遞增，所以方程在區間內不存在兩個不相等的實根.綜上所述，不存在區間，使得函數在區間上的值域是.點睛：本題主要考查利用導數判斷函數的單調性以及函數的最值值，屬于難題.求函數極值、最值的步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導數；(3)解方程求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個極值點，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區間上的最值還需要比較端點值的函數值與極值的大小.18．（1）見解析；（2）【解析】

（1）設，，注意到在上單增，再利用零點存在性定理即可解決；（2）函數在上單調遞減，則在恒成立，即在上恒成立，構造函數，求導討論的最值即可.【詳解】（1）由已知，，所以，設，，當時，單調遞增，而，，且在上圖象連續不斷.所以在上有唯一零點，當時，；當時，；∴在單調遞減，在單調遞增，故在區間上存在唯一的極小值點，即在區間上存在唯一的極小值點；（2）設，，，∴在單調遞增，，即，從而，因為函數在上單調遞減，∴在上恒成立，令，∵，∴，在上單調遞減，，當時，，則在上單調遞減，，符合題意.當時，在上單調遞減，所以一定存在，當時，，在上單調遞增，與題意不符，舍去.綜上，的取值范圍是【點睛】本題考查利用導數研究函數的極值點、不等式恒成立問題，在處理恒成立問題時，通常是構造函數，轉化成函數的最值來處理，本題是一道較難的題.19．（1）見解析，0（2）【解析】

（1）即該選手答完3道題后總得分,可能出現的情況為3道題都答對,答對2道答錯1道,答對1道答錯2道,3道題都答錯,進而求解即可；（2）當時,即答完8題后,正確的題數為5題,錯誤的題數是3題,又,則第一題答對,第二題第三題至少有一道答對,進而求解.【詳解】解:（1）的取值可能為,,1,3,又因為,故,,,,所以的分布列為：13所以（2）當時,即答完8題后,正確的題數為5題,錯誤的題數是3題,又已知,第一題答對,若第二題回答正確,則其余6題可任意答對3題；若第二題回答錯誤,第三題回答正確,則后5題可任意答對題，此時的概率為（或）.【點睛】本題考查二項分布的分布列及期望,考查數據處理能力,考查分類討論思想.20．（1）見解析；（2）【解析】

(1)取的中點，結合三角形中位線和長度關系，為平行四邊形，進而得到，根據線面平行判定定理可證得結論；(2)以，，為，，軸建立空間直角坐標系,分別求得兩面的法向量，求得法向量夾角的余弦值；根據二面角為銳角確定最終二面角的余弦值；【詳解】（1）取的中點，連結，因為為中點，，，所以，，∴為平行四邊形，所以，又因為，所以；（2）由題及（1）易知，，兩兩垂直，所以以，，為，，軸建立空間直角坐標系,則，，，，，