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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,圓錐底面半徑為,體積為,、是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線的中點(diǎn),已知過(guò)與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于()A. B.1 C. D.2.新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動(dòng)優(yōu)化升級(jí)和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實(shí)現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收增長(zhǎng)情況,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收均逐年增加B.2016年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收超過(guò)2012年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收的2倍C.2016年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收超過(guò)2012年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收的1.5倍D.2016年我國(guó)數(shù)字出版營(yíng)收占新聞出版營(yíng)收的比例未超過(guò)三分之一3.已知直線,,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.一個(gè)陶瓷圓盤的半徑為,中間有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形花紋,向盤中投入1000粒米后,發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒,據(jù)此估計(jì)圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1475.如圖,某幾何體的三視圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點(diǎn)O的位置有關(guān)6.直線與圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切7.設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo),的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.8.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)(即質(zhì)數(shù))的和”,如,.在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不對(duì)9.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則可以為()A. B. C. D.10.tan570°=()A. B.- C. D.11.己知函數(shù)的圖象與直線恰有四個(gè)公共點(diǎn),其中,則()A. B.0 C.1 D.12.3本不同的語(yǔ)文書(shū),2本不同的數(shù)學(xué)書(shū),從中任意取出2本,取出的書(shū)恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若奇函數(shù)滿足,為R上的單調(diào)函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí),,則________.14.已知向量,滿足,,且已知向量,的夾角為,,則的最小值是__.15.若存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切,則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)__________.16.設(shè)為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn),有下列三個(gè)命題:①當(dāng)時(shí),存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn);②若,函數(shù)的零點(diǎn)不超過(guò)4個(gè),則;③對(duì),,函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn),且這4個(gè)零點(diǎn)可以組成等差數(shù)列.其中,正確命題的序號(hào)是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列中,a1=1,其前n項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,若數(shù)列為遞增數(shù)列,求λ的取值范圍.18.(12分)已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,焦距為2,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),與橢圓交于,兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)在軸上是否存在點(diǎn),使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.20.(12分)(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)證明:();(Ⅲ)證明:.21.(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,∠,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,,為線段的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)若為線段上一點(diǎn),當(dāng)二面角的余弦值為時(shí),求三棱錐的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,求得拋物線的軌跡方程,解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系,如圖所示,∵,,,∴,設(shè)拋物線,代入點(diǎn),可得∴焦點(diǎn)為,即焦點(diǎn)為中點(diǎn),設(shè)焦點(diǎn)為,,,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查圓錐曲線的概念,拋物線的性質(zhì),兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,空間想象能力,推理論證能力,應(yīng)用意識(shí).2、C【解析】
通過(guò)圖表所給數(shù)據(jù),逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:,正確;對(duì)于選項(xiàng)C:,故C不正確;對(duì)于選項(xiàng)D:,正確.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查柱狀圖是識(shí)別和數(shù)據(jù)分析,題目較為簡(jiǎn)單.3、C【解析】
先得出兩直線平行的充要條件,根據(jù)小范圍可推導(dǎo)出大范圍,可得到答案.【詳解】直線,,的充要條件是,當(dāng)a=2時(shí),化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的,故舍去,最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點(diǎn)睛】判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要,誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.4、B【解析】
結(jié)合隨機(jī)模擬概念和幾何概型公式計(jì)算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬的概念和幾何概型,屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】
根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)四棱錐構(gòu)成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,頂點(diǎn)O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
由幾何法求出圓心到直線的距離,再與半徑作比較,由此可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意,圓的圓心為,半徑,∵圓心到直線的距離為,,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性,從而得到在相應(yīng)范圍上的符號(hào)和極值點(diǎn),據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知,在上為增函數(shù),且在上存在正數(shù),使得在上為增函數(shù),在為減函數(shù),故在有兩個(gè)不同的零點(diǎn),且在這兩個(gè)零點(diǎn)的附近,有變化,故排除A,B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立,故排除C.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識(shí)別,此類問(wèn)題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來(lái)考慮導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與零點(diǎn)情況,本題屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
首先確定不超過(guò)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型概率求解方法計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】不超過(guò)的素?cái)?shù)有,,,,,,,,共個(gè),從這個(gè)素?cái)?shù)中任選個(gè),有種可能;其中選取的兩個(gè)數(shù),其和等于的有,,共種情況,故隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù),其和等于的概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
根據(jù)圖象可知,函數(shù)為奇函數(shù),以及函數(shù)在上單調(diào)遞增,且有一個(gè)零點(diǎn),即可對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可得出.【詳解】首先對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性判斷,可知,為偶函數(shù),不符合題意,排除B;其次,在剩下的3個(gè)選項(xiàng),對(duì)其在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷,在上無(wú)零點(diǎn),不符合題意,排除D;然后,對(duì)剩下的2個(gè)選項(xiàng),進(jìn)行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意,排除C.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查圖象的識(shí)別和函數(shù)性質(zhì)的判斷,意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力,屬于容易題.10、A【解析】
直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為,結(jié)合題意可求得切點(diǎn)及其范圍,根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義,即可求得的值.【詳解】函數(shù)即直線與函數(shù)圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合圖象知直線與函數(shù)相切于,,因?yàn)椋剩?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由交點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)值,屬于難題.12、D【解析】
把5本書(shū)編號(hào),然后用列舉法列出所有基本事件.計(jì)數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語(yǔ)文書(shū)編號(hào)為,2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)編號(hào)為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個(gè),恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫出所有的基本事件,然后計(jì)數(shù)計(jì)算概率.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)可得,函數(shù)是以為周期的函數(shù),令,可求,從而可得,代入解析式即可求解.【詳解】令,則,由,則,所以,解得,所以,由時(shí),,所以時(shí),;由,所以,所以函數(shù)是以為周期的函數(shù),,又函數(shù)為奇函數(shù),所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用,屬于中檔題.14、【解析】
求的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以AB為直徑的圓到點(diǎn)O的最小距離,由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示,設(shè),由題,得,又,所以,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,取AB的中點(diǎn)為M,則,設(shè)以AB為直徑的圓與線段OM的交點(diǎn)為E,則的最小值是,因?yàn)椋郑缘淖钚≈凳?故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題,涉及到圓的相關(guān)知識(shí)與余弦定理,考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.15、【解析】
設(shè)直線l與函數(shù)及的圖象分別相切于,,因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,即,因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,即,因?yàn)榇嬖谥本€l與函數(shù)及的圖象都相切,所以,所以,令,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以,所以實(shí)數(shù)的最小值為.16、①②③【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象,利用圖象對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:當(dāng)時(shí)又因?yàn)闉榕己瘮?shù)可畫(huà)出的圖象,如下所示:可知當(dāng)時(shí)有5個(gè)不同的零點(diǎn);故①正確;若,函數(shù)的零點(diǎn)不超過(guò)4個(gè),即,與的交點(diǎn)不超過(guò)4個(gè),時(shí)恒成立又當(dāng)時(shí),在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象,如下所示:直線與圖象的公共點(diǎn)不超過(guò)個(gè),則,故②正確;對(duì),偶函數(shù)的圖象,如下所示:,使得直線與恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)點(diǎn),且相鄰點(diǎn)之間的距離相等,故③正確.故答案為:①②③【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得,繼而得到,可得解;(2)代入可得,由數(shù)列為遞增數(shù)列可得,,令,可證明為遞增數(shù)列,即,即得解【詳解】(1)∵,∴,∴,即,∴,∴,∴.(2).=2·-λ(2n+1).∵數(shù)列為遞增數(shù)列,∴,即.令,即.∴為遞增數(shù)列,∴,即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列綜合問(wèn)題,考查了項(xiàng)和轉(zhuǎn)換,數(shù)列的單調(diào)性,最值等知識(shí)點(diǎn),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.18、(1)(2)存在;實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】
(1)根據(jù)橢圓定義計(jì)算,再根據(jù),,的關(guān)系計(jì)算即可得出橢圓方程;(2)設(shè)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立方程組,求出的范圍,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點(diǎn)坐標(biāo),求出的中垂線與軸的交點(diǎn)橫,得出關(guān)于的函數(shù),利用基本不等式得出的范圍.【詳解】(1)由題意可知,,.又,,,橢圓的方程為:.(2)若存在點(diǎn),使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形,則為線段的中垂線與軸的交點(diǎn).設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程組,消元得:,△,又,故.由根與系數(shù)的關(guān)系可得,設(shè)的中點(diǎn)為,,則,,線段的中垂線方程為:,令可得,即.,故,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),,且.的取值范圍是,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)直接代入再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;(Ⅱ)先得到,再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因?yàn)樗裕傻茫忠驗(yàn)椋剩裕?【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,屬于中檔題.20、(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)見(jiàn)解析(Ⅲ)見(jiàn)解析【解析】
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得到結(jié)果化簡(jiǎn),運(yùn)用累加法得出結(jié)果運(yùn)用放縮法和累加法進(jìn)行求證【詳解】(Ⅰ)數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),①當(dāng)時(shí),成立;②當(dāng)時(shí),假設(shè)成立,則時(shí)所以時(shí),成立綜上①②可知,時(shí),(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的綜合,運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的成立,結(jié)合已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)求出化簡(jiǎn)后的結(jié)果,利用放縮法求出不等式,然后兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)再進(jìn)行證明,本題較為困難。21、(1)an=2n【解析】
(1)先設(shè)出數(shù)列的公差為d,結(jié)合題中條件,求出首項(xiàng)和公差,即可得出結(jié)果.(2)利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和.【詳解】解:(1)設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}且a1+a則有:a1
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