專題五利用導數證明函數不等式（二）12專題五利用導數證明函數不等式（二）本專題總結了利用導數證明含有兩個未知數的函數不等式的常見方法，希望同學們看后有所收獲，提升利用導數證明函數不等式的能力．模塊1整理方法提升能力對于兩個未知數的函數不等式問題，其關鍵在于將兩個未知數化歸為一個未知數，常見的證明方法有以下4種：方法1：利用換元法，化歸為一個未知數方法2：利用未知數之間的關系消元，化歸為一個未知數方法3：分離未知數后構造函數，利用函數的單調性證明方法4：利用主元法，構造函數證明對數平均值不等式鏈我們將兩個正數和的對數平均值定義為：，對數平均值不等式鏈為：．對數平均值不等式鏈的指數形式為：，其中．例1已知函數．（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，，證明：．【解析】（1）定義域為，．①若，則，在上遞減．②若，即時，，在上遞減．③若，即時，由，可得，由，可得或，所以在，上遞減，在上遞增．綜上所述，當時，在上遞減；當時，在，上遞減，在上遞增．【證明】（2）法1：由（1）知，存在兩個極值點，則．因為，是的兩個極值點，所以，滿足，所以，，不妨設．，于是．構造函數，，由（1）知，在上遞減，所以，不等式獲證．法2：由（1）知，存在兩個極值點，則．因為，是的兩個極值點，所以，滿足，不妨設，則，．，于是．設，則，構造函數，，則，所以在上遞增，于是，命題獲證．法3：仿照法1，可得，因為，所以，令，構造函數，由（1）知，在上遞減，所以，不等式獲證．【點評】、和之間的關系為，，我們可以利用其關系式對不等式進行消元，化歸為只含有一個未知數的不等式．法1消去和留下，法2消去和留下，由于所證的不等式等價于，該不等式不含，因此法1比法2簡單．由等價的不等式，容易聯想到對數平均值不等式，將不等式進一步改造后，通過換元化歸為只含一個未知數的不等式．例2已知函數，．（1）設，討論曲線與曲線（）公共點的個數；（2）設，比較與的大小，并說明理由．【解析】（1）與的公共點的個數等價于與的公共點的個數．令，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以在上的最小值為．當時，，當時，．當時，與沒有公共點，即與沒有公共點；當時，與有一個公共點，即與有一個公共點；當時，與有兩個公共點，即與有兩個公共點．（2）結論：，證明如下．法1：．令，則，即證．構造函數，則，所以在上遞增，于是．命題獲證．法2：．令，則，即證，該不等式等價于．構造函數，則，令，則，于是在上遞增，所以，即，所以在上遞增，于是．命題獲證．法3：．令，，則，且不等式，令，，則不等式，這是與有關的常用不等式，命題獲證．【點評】第（2）小問的不等式含有兩個未知數、，其解題思路主要是利用換元法將兩個未知數、化歸為一個未知數，常見的換元手法有，，，．所證不等式為，這是對數平均值不等式的指數形式，法3通過換元將其轉化為對數平均值不等式再進行證明．例3已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）設，如果對任意，，求的取值范圍．【解析】（1）的定義域為．．當時，，所以在上遞增；當時，，所以在上遞減；當時，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減．（2）不妨設，因為，所以由（1）可知在上遞減，于是，于是對任意，等價于對任意，．法1：（分離未知數后構造函數）．構造函數，則只需證明在上是減函數．，要使在上是減函數，則在上恒成立，所以．令，則，由可得，由可得．所以在上遞減，在上遞增，所以當時，有最小值，于是的取值范圍是．法2：（主元法）由可得，以為主元構造函數（），則．令，則是開口方向向下，對稱軸為的拋物線，其．①若，則，此時，即，所以在上遞減，于是，即．②若，則，此時有兩個根，不妨設為、，且．由可得，由可得或．因為是任意的，不妨設，于是在上遞減，在上遞增，于是在上，有，即不成立．綜上所述，的取值范圍是．【點評】得到二元不等式后，有三種方法解決，一是分離未知數后構造函數，進而利用函數的單調性進行證明，二是利用換元法，把二元化歸為一元，三是把其中一個元看成主元，進而再求導，法1是分離未知數后構造函數法，法2是主元法．例4已知函數有兩個零點．（1）求的取值范圍；（2）設、是的兩個零點，證明：．【解析】（1）法1：，于是有兩個零點等價于與有兩個交點．因為，由可得，由可得，于是在上遞增，在上遞減．當時，；當時，；當時，；當時，．于是當時，與有兩個交點，所以的取值范圍是．法2：．①當時，，只有個零點．②當時，，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增．，，當時，，，所以，所以有兩個零點．③當時，由可得或．（i）當時，，由可得或，由可得，所以在、上遞增，在上遞減．因為，所以沒有兩個零點．（ii）當時，，所以恒成立，即在上遞增，所以沒有兩個零點．（iii）當時，，由可得或，由可得，所以在、上遞增，在上遞減．當時，，所以沒有兩個零點．綜上所述，的取值范圍是．【證明】（2）法1：（極值點偏移）構造函數（），令，則，因為，所以，，，所以，于是在上遞增，于是，于是，即．不妨設，由（1）可知，，于是，而，所以．因為，且在上遞減，所以，即．法2：（極值點偏移）構造函數（），則，因為，所以，，，所以，于是在上遞增，于是，于是．不妨設，由（1）可知，，于是，而，所以．因為，且在上遞增，所以，即．【點評】對于函數在區間內只有一個極值點，方程的解分別為、，即，且，很多極值函數由于極值點左右的“增減速度”不同，函數圖象不具有對稱性，常常有極值點的情況，出現了“極值點偏移”．對于極值點偏移問題，解題可沿循著如下處理策略：①構造一元差函數；②對差函數求導，判斷函數符號，確定的單調性；③結合，判斷的符號，從而確定、的大小關系；④由（或），結合的單調性得到（或），從而（或）．模塊2練習鞏固整合提升練習1：已知函數的圖象在點（為自然對數的底數）處的切線斜率為．（1）求實數的值；（2）若，且對任意恒成立，求的最大值；（3）當時，證明：．【解析】（1）因為，所以，所以，即，所以．（2）由（1）知，，所以對任意恒成立，即對任意恒成立．當時，有，猜想的最大值為，下面進行證明．，令，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以，命題獲證，整數的最大值是．【證明】（3）．法1：（分離未知數后構造函數）．構造函數，，則，令，則，因為，所以在上恒成立，即在上遞增，而，于是在上恒成立，所以在上遞增．而，所以，不等式獲證．法2：（主元法）以為主元構造函數，則．因為，所以，所以函數在上遞增．因為，所以，所以，即，不等式獲證．練習2：已知函數，．（1）求函數的最大值；（2）設，證明：．【解析】（1）函數的定義域為．，由可得，由可得，于是在上遞增，在上遞減，于是當時，有最大值，且最大值為．【證明】（2）以為主元構造函數．設，其中，則．因為，所以，因此在上為增函數．而，所以，即．設，其中，則．當時，，因此在上為減函數，而，所以，即．綜上所述，．練習3：設，函數有兩個零點、，且．（1）求實數的取值范圍；（2）證明：．【解析】（1），所以有兩