12等邊三角形（基礎）【學習目標】掌握等邊三角形的性質和判定.掌握含30°角的直角三角形的一個主要性質．熟練運用等邊三角形的判定定理與性質定理進行推理和計算．【要點梳理】【高清課堂：389303等邊三角形，知識要點】要點一、等邊三角形等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．要點二、等邊三角形的性質等邊三角形的性質：等邊三角形三個內角都相等，并且每一個內角都等于60°.要點三、等邊三角形的判定等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．要點四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性質定理：在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點詮釋：這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數關系.【典型例題】類型一、等邊三角形1、（2014秋?崇州市期末）如圖，已知△ABC為等邊三角形，D為BC延長線上的一點，CE平分ZACD,CE=BD，求證：AADE為等邊三角形.【思路點撥】由條件可以容易證明△ABD9AACE,進一步得出AD=AE，ZBAD=ZCAE，加上ZDAE=60°，即可證明△ADE為等邊三角形.【答案與解析】證明：???△ABC為等邊三角形，AZB=ZACB=60°，AB=AC，即ZACD=120°，?CE平分ZACD，.??Z1=Z2=6O°,在厶ABD和厶ACE中，'AB二AC彳ZB=Z1,、BD=CE.?.△ABD9AACE(SAS),.??AD=AE,ZBAD=ZCAE,又ZBAC=60°,.\ZDAE=60°,【總結升華】本題考查了等邊三角形的判定與性質,難度適中,關鍵找出判定三角形等邊的條件．舉一反三：【變式】等邊△ABC,P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上,使三角板繞P點旋轉.如圖，當P為BC的三等分點，且PE丄AB時，判斷AEPF的形狀.【答案】解：VPE丄AB,ZB=60°,11因此直角三角形PEB中，BE=2BP=3BC=PC,厶J.\ZBPE=30°,VZEPF=60°,.??FP丄BC,VZB=ZC=60°,BE=PC,ZPEB=ZFPC=90°,.?.△BEP9ACPF,.??PE=PF,VZEPF=60°,/.△EPF是等邊三角形.

2、已知：如圖，AABC中，AB=AC,ZABC=60°,AD=CE,求ZBPD的度數.答案與解析】2、已知：如圖，AABC中，AB=AC,ZABC=60°,AD=CE,求ZBPD的度數.答案與解析】證明：在AABC中，AB=AC,ZABC=60°???AABC為等邊三角形（有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形）.\AC=BC,ZA=ZECB=60°在AADC和ACEB中'AC=CB（已證）<ZA=ZECB（已證）AD=CE（已知）AADC今ACEB（SAS）???Z1=Z2（全等三角形對應角相等）ZDPB=Z2+Z3（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和）.??ZDPB=Z1+Z3=ZACB.\ZDPB=60°.【總結升華】這道題利用等邊三角形每個角都是60°的性質，并借助全等三角形，和三角形的外角性質使問題得以解決.舉一反三：【變式】（2014秋?黔西南州期末）AABC為正三角形，點M是射線BC上任意一點，點N是射線CA上任意一點，且BM=CN,BN與AM相交于Q點，ZAQN等于多少度？【答案】解：證法一．???△ABC為正三角形.\ZABC=ZC=ZBAC=60°,AB=BC在AAMB和ABNC中'AB二EC<ZABC=ZC,△AMB^ABNC（SAS）,VZANB=ZC+ZNBC=60°+ZNBC,ZMAN=ZBAC-ZMAB=60°-ZMAB,又VZNBC=ZMAB(全等三角形對應角相等)，.??ZANB+ZMAN=120°,又VZANQ+ZMAN+ZAQN=180°,.\ZAQN=180°-ZANB-ZMAN,ZAQN=180°-(ZANB+ZMAN),=180°-120°=60°,ZBOM=ZAQN=60°(全等三角形對應角相等).證法二．?/△ABC為正三角形.\ZABC=ZC=ZBAC=60°,AB=BC在AAMB和ABNC中'AB二EC〈ZABM=ZBCN、BM=CN/.△AMB^ABNC(SAS)VZANB=ZC+ZNBC=60°+ZNBCZMAN=ZBAC-ZMAB又VZNBC=ZMAB(全等三角形對應角相等).\ZANB+ZMAN=120°又VZANQ+ZMAN+ZAQN=180°.\ZAQN=180°-ZANB-ZMABZAQN=180°-(ZANB+ZMAN)=180°-120°=60°3、(1)如圖，點0是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形0CD，連接AC和BD，相交于點E,連接BC,求ZAEB的大小；(2)如圖，△OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點0旋轉(厶OAB和厶OCD不能重疊)，求ZAEB的大小.【思路點撥（1）由于AOCD和AOAB都是等邊三角形，可得OD=OC=OB=OA,進而求出ZBDA與ZCAD的大小及關系，則可求解ZAEB.C2）旋轉后，ABOD與厶AOC仍然保持全等，ZACO=ZBDO,ZAED=ZACO+ZDCO+ZCDB=ZBDO+60°+ZCDB=60°+ZCDO=120°,從而得到ZAEB的值.【答案與解析】證明：（1）TO是AD的中點，.??AO=DO又?.?等邊AAOB和等邊△COD.\AO=DO=CO=BO，ZDOC=ZBOC=ZAOB=60°AZCAO=ZACO=ZBDO=ZDBO=30°.\ZAEB=ZBDO+ZCAO=60°（2）VZBOD=ZDOC+ZBOC，ZAOC=ZAOB+ZBOC.\ZBOD=ZAOC在厶BOD與厶AOC中，'BO=AO<ZBOD=ZAOC、DO=CO.?.△BOD^AAOC（SAS）AZACO=ZBDOVZAED=ZACO+ZDCO+ZCDB=ZBDO+6O°+ZCDB=6O°+ZCDO=6O°+6O°=12O°.\ZAEB=180°-ZAED=60°.【總結升華】這道題利用等邊三角形每個角都是6O。的性質，并借助全等三角形，和三角形的外角性質使問題加以解決.舉一反三：【變式】如圖，已知△ABC和厶CDE都是等邊三角形，AD、BE交于點F,求ZAFB的度數.【答案】解：?△ABC和厶CDE都是等邊三角形,.??AC=BC,CE=CD,又VZACB+ZBCD=ZECD+ZBCD，即ZACD=ZBCE,.?.△ACD9ABCE,.\ZCAD=ZCBE,設AD與BC相交于P點，在△ACP和厶BFP中，有一對對頂角，AZAFB=ZACB=60°.類型二、含30。的直角三角形4、(2016春?龍口市期末)如圖，E是ZAOB的平分線上一點，EC丄OB,EDI0A,C、D是垂足，連接CD交OE于點F,若ZA0B=60°.求證：△OCD是等邊三角形；若EF=5，求線段OE的長.【答案與解析】解：(1)T點E是ZAOB的平分線上一點，EC丄OB,EDIOA,C、D是垂足，.DE=CE，在RtAODE和RtAOCE中，DE二CEOE二OE.??RtA0DE9R也OCE(LH).OD=OC，VZAOB=60°,/.△OCD是等邊三角形；(2)V^OCD是等邊三角形，OF是角平分線，/.OE丄DC,VZAOB=60°,.\ZAOE=ZBOE=30°,VZODF=60°,ED丄OA,.\ZEDF=30°,.DE=2EF=10，.OE=2DE=20.【總結升華】本題考查等邊三角形的判定和性質,角平分線的性質,三角形全等的判定和性質,30°的直角三角形的性質等,熟練掌握性質和定理是解題的關鍵。舉一反三：【高清課堂：389303等邊三角形：例5】【變式】如圖，AABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,AB的中垂線交BC的延長線于D,交AC于E,已知DE=2.則AC的長為.答案】3；提示：連接人。，證4ABD為等邊三角形，則DE=AE=2,CE=1,所以AC=3.【鞏固練習】選擇題(2016?陜西一模)已知：如圖，在ZABC中，D為BC的中點，AD丄BC,E為AD上一點,TOC\o"1-5"\h\zZABC=60°,ZECD=40°，則ZABE=()10°B.15°C.20°D.25°以下敘述中不正確的是().等邊三角形的每條高線都是角平分線和中線；有一個內角為60。的等腰三角形是等邊三角形；等腰三角形一定是銳角三角形；在一個三角形中，如果有兩條邊相等，那么它們所對的角也相等；反之，在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等.(2014秋?荔灣區期末)如圖，若△ABC是等邊三角形，AB=6,BD是ZABC的平分線，延長BC到E,使CE=CD，則BE=()A.7B.8C.9D.10△ABC中三邊為a、b、c,滿足關系式(a—b)(b—c)(c—a)=0,則這個三角形一定為()A.等邊三角形B.等腰三角形C.等腰鈍角三角形D.等腰直角三角形等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數是()A.105°B.120°C.135°D.150°

6.如圖，等邊三角形ABC中，D為BC的中點，BE平分ZABC交AD于E,若厶CDE的面積等二.填空題cm．下列命題是真命題的是.有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形.有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形．有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形．三個外角都相等的三角形是等邊三角形．△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且AE=CD=BF,則ADEF為三角形.如圖所示，AABC為等邊三角形，AQ=PQ,PR=PS,PR丄AB于R,PS丄AC于S,?則四個結論正確的是①P在ZA的平分線上；②AS=AR:③QP〃AR:④厶BRP^^QSP.

12.如圖，△ABC是等邊三角形，點D是BC邊上任意一點，DE丄AB于點E,DF丄AC13.已知：如圖，AABD為等邊三角形，AACB為等腰三角形且ZACB=90°,DE丄AC交AC延長線于E,求證：DE=CE.(2014秋?大英縣校級期末)已知：等邊AABC和點P，設點P到厶ABC的三邊AB、AC、BC的距離分別為h2、h3，AABC的高為h.圉i圖衛y圖？如圖1,若點P在邊BC上，證明:hi+h2=h.如圖2，當點卩在厶ABC內時，猜想h］、、h2、h3和h有什么關系？并證明你的結論.如圖3，當點卩在厶ABC外時，h「h2、丸和h有什么關系？(不需要證明)如圖，直角AACB中，ZABC=90°,ZBAC=30°，而△ACD和厶ABE都是等邊三角形,AC，DE交于F.求證：FD=FE且CF=3AF.【答案與解析】一.選擇題【答案】C；【解析】TD為BC的中點，AD丄BC,?：EB=EC,AB=AC；\ZEBD=ZECD,ZABC=ZACD.又VZABC=60°,ZECD=40°,???ZABE=60°-40°=20°.【答案】C；【解析】等腰三角形頂角還可能是直角或鈍角.【答案】C；【解析】證明：???△ABC是等邊三角形，.??ZABC=ZACB=60°,BD是ZABC的平分線，.?.ad=cd=2ac,zdbc=2zabc=30°,22CE=CD,/.CE^AC=3.BE=BC+CE=6+3=9．故選C．【答案】B；【解析】由題意a=b或b=c或a=c,這個三角形一定是等腰三角形.【答案】B；【解析】等邊△ABC的兩條高線相交于0,Z0AB=Z0BA=30°，故ZAOB=120°.【答案】C；【解析】AE=2DE,AABC的面積是厶CDE面積的6倍.填空題【答案】6；【解析】?DE是AB的垂直平分線,.AD=BD,?ZDAE=ZB=30°,

.??ZADC=60°,.??ZCAD=30°,.AD為ZBAC的角平分線,VZC=90°,DE丄AB,.DE=CD=3,VZB=30°,.BD=2DE=6.【答案】2；【解析】在直角三角形中,30°的直角邊等于斜邊的一半.【答案】①④【解析】②一般等腰三角形的兩個底角的外角都相等；③等腰三角形底邊上的高就是底邊的中線.【答案】等邊；【解析】利用SAS可以判定厶EAF9AFBD9ADCE，從而可得，EF=FD=DE,即ADEF為等邊三角形.【答案】①②③④；【答案】2；【解析】BE=BD；CF=DC,BE+CF=-(BD+DC)=2.222解答題【解析】證明：連接DC,?/△ABD為等邊三角形，.\ZDAB=ZDBA=60°又???△ACB為等腰三角形且ZACB=90°,.\ZCAB=ZCBA=45°,ZBDC=ZADC=30°.??ZCBD=15°,ZDCB=180°—30°—15°=135又VAC丄BC,???ZDCE=45°?DE丄AC/.ADEC為等腰直角三角形.??DE=CE【解析】解:(1)如圖1,連接AP,則S=S+S△ABC△ABP△APCBC?AM」AB?PD丄/r/