用向量法求空間角2020年高考數學專題復習之

立體幾何中的向量方法高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角ppt課件高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角ppt課件用向量法求空間角2020年高考數學專題復習之高考數學專題復習一、復習引入用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（回到圖形）一、復習引入用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立向量的有關知識：3、平面的法向量：__________________1、兩向量數量積的定義：a·b=______________2、兩向量夾角公式：cos〈a,b〉

=___________|a|·|b|·cos〈a,b〉與平面垂直的向量向量的有關知識：3、平面的法向量：_____________

例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，現將△AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1

、A1O1的中點D1、F1，求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值。ABOF1B1O1A1D1二、知識講解與典例分析例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，現將△AABOF1B1O1A1D1

解：以點O為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示，并設OA=1,則：A(1,0,0)B(0,1,0)F1(,0,1)D1(,,1)所以，異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值為

例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，現將△AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1

、A1O1的中點D1、F1，求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值。xyz1030ABOF1B1O1A1D1解：以點O為坐標原點點評：向量法求異面直線所成角的余弦值的一般步驟建系求兩異面直線的方向向量求兩方向向量的夾角的余弦值得兩異面直線所成角的余弦值點評：向量法求異面直線所成角的余弦值的一般步驟建系求兩異面直

例2:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點E、F分別為CD、DD1的中點，

(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;(2)求二面角F-AE-D的余弦值。AA1C1B1DCBD1EF例2:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1

解：(1)以點A為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示，則：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)設平面AB1C的法向量為n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)C故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;x點評：向量法求直線與平面所成角的正弦值的一般步驟建系求直線的方向向量求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值得直線與平面所成角的正弦值求平面的法向量點評：向量法求直線與平面所成角的正弦值的一般步驟建系求直線的xyzADCA1D1C1B1BFE

例2(2)點E、F分別為CD、DD1的中點，求二面角F-AE-D的余弦值。取y2=1,得x2=z2=-2(2)由題意知設平面AEF的法向量為m=(x2,y2,z2),所以故m=(-2,1,-2)又平面AED的法向量為AA1=(0,0,1)

觀察圖形知，二面角F-AE-D為銳角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值為xyzADCA1D1C1B1BFE例2(2)點E、點評：法向量法求二面角的余弦值的一般步驟建系求兩平面的法向量求兩法向量的夾角的余弦值得二面角的余弦值點評：法向量法求二面角的余弦值的一般步驟建系求兩平面的法向量a′b′?o過空間任意一點o分別作異面直線a與b的平行線a′與b′，那么直線a′與b′

所成的不大于90°的角，叫做異面直線a與b

所成的角。異面直線所成的角（范圍：）aba′b′?o過空間任意一點o分別作異面直線a與b的平行線a′（1）當與的夾角不大于90°時，異面直線a、b所成的角與和的夾角mnmn用向量法求異面直線所成角設兩異面直線a、b的方向向量分別為和，mnaba′b′?on相等m互補aba′b′onm?（2）當與的夾角大于90°時，異面直線a、b所成的角與和的夾角mnnm（1）當與的夾角不大于90°時，異面直線a、b所所以，異面直線a、b所成的角的余弦值為用向量法求異面直線所成角設兩異面直線a、b的方向向量分別為和，mn==nm,coscosq所以，異面直線a、b所成的角的余弦值為用向量法求異面直線所成直線與平面所成的角（范圍：）=BAOnBAOn相等==互補所以，直線與平面所成的角的正弦值為

的余角與<AB,n>的關系？問題1

的余角與<AB,n>的關系？問題22020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）直線與平面所成的角（范圍：）=B二面角（范圍：）n1n2n1n22020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）二面角（范圍：）n1n2n1n2

例3如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處.從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長為,AB的長為.求庫底與水壩所成二面角的余弦值.

ABCD解：如圖，化為向量問題根據向量的加法法則進行向量運算于是，得設向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角.因此所以回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）例3如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面

如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，直線SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：

⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值；

⑵直線OS與平面SAB所成角α的正弦值；

⑶二面角B－AS－O的余弦值.OABCS三、鞏固練習2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=

如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值；

⑵OS與平面SAB所成角α的正弦值；

⑶二面角B－AS－O的余弦值.A（2，0，0）；于是我們有OABCS=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），則O（0，0，0）；解：以o為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示xyzC（0，1，0）；所以異面直線SA與OB所成的角的余弦值為2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=（3）由（2）知面SAB的法向量

=（1，1，2）

又∵OC⊥平面AOS，∴是平面AOS的法向量，令則有∴二面角B－AS－O的余弦值為取x=1，則y=1，z=2；故（2）設平面SAB的法向量顯然有2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）（3）由（2）知面SAB的法向量=（1，1，2）又aba′b′?onmaba′b′onm?mnnm四、課堂小結1.異面直線所成角：

2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）aba′b′?onmaba′b′onm?mnnm四、課堂小結2.直線與平面所成角：

2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2.直線與平面所成角：2020年高考數學專題復習之立體幾何lDCBA3.二面角：ll2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）lDCBA3.二面角：ll2020年高考數學專題復習之立體幾

五、布置作業：2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）五、布置作業：2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向謝謝!GOOD-BYE!2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）謝謝!2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向用向量法求空間角2020年高考數學專題復習之

立體幾何中的向量方法高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角ppt課件高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角ppt課件用向量法求空間角2020年高考數學專題復習之高考數學專題復習一、復習引入用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（回到圖形）一、復習引入用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立向量的有關知識：3、平面的法向量：__________________1、兩向量數量積的定義：a·b=______________2、兩向量夾角公式：cos〈a,b〉

=___________|a|·|b|·cos〈a,b〉與平面垂直的向量向量的有關知識：3、平面的法向量：_____________

例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，現將△AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1

、A1O1的中點D1、F1，求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值。ABOF1B1O1A1D1二、知識講解與典例分析例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，現將△AABOF1B1O1A1D1

解：以點O為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示，并設OA=1,則：A(1,0,0)B(0,1,0)F1(,0,1)D1(,,1)所以，異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值為

例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，現將△AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1

、A1O1的中點D1、F1，求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值。xyz1030ABOF1B1O1A1D1解：以點O為坐標原點點評：向量法求異面直線所成角的余弦值的一般步驟建系求兩異面直線的方向向量求兩方向向量的夾角的余弦值得兩異面直線所成角的余弦值點評：向量法求異面直線所成角的余弦值的一般步驟建系求兩異面直

例2:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點E、F分別為CD、DD1的中點，

(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;(2)求二面角F-AE-D的余弦值。AA1C1B1DCBD1EF例2:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1

解：(1)以點A為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示，則：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)設平面AB1C的法向量為n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)C故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;x點評：向量法求直線與平面所成角的正弦值的一般步驟建系求直線的方向向量求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值得直線與平面所成角的正弦值求平面的法向量點評：向量法求直線與平面所成角的正弦值的一般步驟建系求直線的xyzADCA1D1C1B1BFE

例2(2)點E、F分別為CD、DD1的中點，求二面角F-AE-D的余弦值。取y2=1,得x2=z2=-2(2)由題意知設平面AEF的法向量為m=(x2,y2,z2),所以故m=(-2,1,-2)又平面AED的法向量為AA1=(0,0,1)

觀察圖形知，二面角F-AE-D為銳角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值為xyzADCA1D1C1B1BFE例2(2)點E、點評：法向量法求二面角的余弦值的一般步驟建系求兩平面的法向量求兩法向量的夾角的余弦值得二面角的余弦值點評：法向量法求二面角的余弦值的一般步驟建系求兩平面的法向量a′b′?o過空間任意一點o分別作異面直線a與b的平行線a′與b′，那么直線a′與b′

所成的不大于90°的角，叫做異面直線a與b

所成的角。異面直線所成的角（范圍：）aba′b′?o過空間任意一點o分別作異面直線a與b的平行線a′（1）當與的夾角不大于90°時，異面直線a、b所成的角與和的夾角mnmn用向量法求異面直線所成角設兩異面直線a、b的方向向量分別為和，mnaba′b′?on相等m互補aba′b′onm?（2）當與的夾角大于90°時，異面直線a、b所成的角與和的夾角mnnm（1）當與的夾角不大于90°時，異面直線a、b所所以，異面直線a、b所成的角的余弦值為用向量法求異面直線所成角設兩異面直線a、b的方向向量分別為和，mn==nm,coscosq所以，異面直線a、b所成的角的余弦值為用向量法求異面直線所成直線與平面所成的角（范圍：）=BAOnBAOn相等==互補所以，直線與平面所成的角的正弦值為

的余角與<AB,n>的關系？問題1

的余角與<AB,n>的關系？問題22020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）直線與平面所成的角（范圍：）=B二面角（范圍：）n1n2n1n22020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）二面角（范圍：）n1n2n1n2

例3如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處.從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長為,AB的長為.求庫底與水壩所成二面角的余弦值.

ABCD解：如圖，化為向量問題根據向量的加法法則進行向量運算于是，得設向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角.因此所以回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）例3如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面

如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，直線SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：

⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值；

⑵直線OS與平面SAB所成角α的正弦值；

⑶二面角B－AS－O的余弦值.OABCS三、鞏固練習2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=

如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值；

⑵OS與平面SAB所成角α的正弦值；

⑶二面角B－AS－O的余弦值.A（2，0，0）；于是我們有OABCS=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），則O（0，0，0）；解：以o為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示xyzC（0，1，0）；所以異面直線SA與OB所成的角的余弦值為2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間角（共25張PPT）2020年高考數學專題復習之立體幾何中的向量方法利用向量法求空間