13上海市浦東新區2019屆高三一模數學試卷2018.12一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)已知全集U二R，集合A=(—g,l]U[2,+8)，則/=拋物線y2=4x的焦點坐標為logx1不等式f2〉0的解為21已知復數z滿足(1+i)?z=4i(i為虛數單位)，則z的模為5.若函數y=f(x)的圖像恒過點(0,1)，貝9函數y=f-1(x)+3的圖像一定經過定點已知數列｛a｝為等差數列，其前n項和為S.若S=36，則a+a+a=nn9348在△ABC中，角A、B、C對邊是a、b、c.若a2=(2+73)?b2，b=c,則A=已知圓錐的體積為當兀，母線與底面所成角為-，則該圓錐的表面積為33已知二項式(\.匚+丄)n的展開式中，前三項的二項式系數之和為37,則展開式中的第2詁x五項為10.已知函數f(x)=2xIx+aI—1有三個不同的零點，則實數a的取值范圍為a=2，211.已知數列｛a｝滿足：na=1007(n一1)a+2018(n+1)a(neN*)，a=2，2nn+2n+1n1若lim=A，則A=nT8anxx>212.已知函數f(x)=<節+16，若對任意的x112.已知函數f(x)=<()|x—a|x<2xe(—8,2)，滿足f(x)=f(x)，則實數a的取值范圍為.212二.選擇題(本大題共4題，每題5分，共20分)1“a<”是“一兀二次方程x2—x+a=0有實數解”的()4充分不必要條件B.充分必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件下列命題正確的是()A.如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行將4位志愿者分配到進博會的3個不同場館服務，每個場館至少1人，不同的分配方案有（）種A.72B.36C.64D.81/3uuuruuur16.已知點A（l,—2）,B（2,0）,P為曲線y=（；3-4x2上任意一點，則AP?AB的取值范圍為（）A.[1,7]B.[—1,7]C.[1,3+D.[—1,3+2品]三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）已知直三棱柱ABC—ABC中，AB=AC=AA=1,ABAC=90。.1111已知函數f（x）=2U3sinxcosx一2sin2x.34（1）若角?的終邊與單位圓交于點p（5,5），求f@）的值;兀兀（2）當xe[--，丁]時，求f（x）的單調遞增區間和值域.6311)19.某游戲廠商對新出品的一款游戲設定了“防沉迷系統”，規則如下：3小時以內（含3小時）為健康時間，玩家在這段時間內獲得的累積經驗值E（單位：exp）與游玩時間t（小時）滿足關系式：E=12+20t+16a；3到5小時（含5小時）為疲勞時間，玩家在這段時間內獲得的經驗值為0（即累．積．經．驗．值．不變）；超過5小時為不健康時間，累．積．經．驗．值．開始損失，損失的經驗值與不健康時間成正比例關系，比例系數為50.（1）當a=1時，寫出累積經驗值E與游玩時間t的函數關系式E二f（t），并求出游玩6小時的累．積．經．驗．值．；（2）該游戲廠商把累積經驗值E與游玩時間t的比值稱為“玩家愉悅指數”記作H（t）；若a>0，且該游戲廠商希望在健康時間內，這款游戲的“玩家愉悅指數”不低于24,求實數a的取值范圍.x2y220.已知雙曲線r:—=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別是F、F，左、右兩頂點a2b212分別是A、A，弦AB和CD所在直線分別平行于x軸與y軸，線段BA的延長線與線段12CD相交于點P（如圖）.若d=（2八廳）是r的一條漸近線的一個方向向量，試求廠的兩漸近線的夾角o；(2)若IPAI=1，IPBI=5，IPCI=2，IPDI=4，試求雙曲線r的方程;（3）在（1）的條件下，且IAAI=4，點C與雙曲線的頂點不重合，直線CA和直線CA1212與直線l:x二1分別相交于點M和N，試問：以線段MN為直徑的圓是否恒經過定點？若是，請求出定點的坐標；若不是，試說明理由21.已知平面直角坐標系xOy,在x軸的正半軸上，依次取點A,A,A丄，A(neN*),123n3并在第一象限內的拋物線y2二三x上依次取點B,B,B丄,B(neN*)，使得AABA2123nk-1kk(keN*)都為等邊三角形，其中A0為坐標原點，設第n個三角形的邊長為f(n).(1)求f(1)，f(2)，并猜想f(n)；(不要求證明)(2)令a=9f(n)-8，記t為數列｛a｝中落在區間(9m,92m)內的項的個數，設數列｛t｝nmnm的前m項和為S，試問是否存在實數九，使得2X<S對任意meN*恒成立？若存在，mm求出九的取值范圍；若不存在，說明理由；J2⑶已知數列｛bn｝滿足：匕七,J2⑶已知數列｛bn｝滿足：匕七,-1—b2，數列｛c｝滿足:nnbn+1c11，v'1+C2—1c=nn+1c兀求證：b<f()<c.n2n+1n參考答案12.解：當x1gb,+8)時,(1)若a>2，則f(x)12.解：當x1gb,+8)時,(1)若a>2，則f(x)=—x—4x2+161f11lx-af1、、2丿g|0,—I.當xI16丨當2g(-o),2)時,在(-8,2)上是單調遞增函數，所以f(X2)Gff11a-2I°，f2丿.若滿足題目要求，則(1]ff11a-210,I匸0,I丿I16J12J，所以a-21>=16a-2<4,a<6.又a>2，所以ag[2,6).(、f11X-al(2)若a<2，則f(x)=-f1112丿f1、12丿a-x,x<a,，f(x)在(-8,a)上是單調遞增x-a,a<x<2.函數，此時f(x)G(0,l)；f(x)在[a,2)上是單調遞減函數，此時f(x)gff11212丿-a一.填空題1.(1,2)2.(1,0)3.(4,+8)4.2邁5兀8.3兀5.(1,3)6.127.69.35X10.(-8，-再11.100912.[-2,6)2-2-aa>-2，又a<2，所以ag[-2,2).若滿足題目要求，則丄＜16綜上，ag[-2,6).選擇題13.A14.D15.B16.A解答題17.解：(1)在直三棱柱ABC-ABC中，AA丄AB，1111AA丄AC,AB=AC=AA=1,ZBAC=90。11所以，AB=AC=BC=v22分11因為，BC//BC，所以，ZABC為異面直線AB與BC所成的角或補角4分111111在AABC中，因為，AB=AC=BC=空2，111兀所以，異面直線A]B與Be所成角為7分(2)設點B到平面ABC的距離為h，11由(1)得S=—XJ2X\,；2-sinZ=上-,AA1BC23211=—x1x1=—，229分SAAPB因為，11分所以，V=V，…………B1-A1BCC-A1B1B，_1S-h=1S-CA解得h=上33AA1BC3AA1B1B，解得，312分所以，點B1到平面A1BC的距離為亍14分或者用空間向量：y9分1（1）設異面直線AB與BC所成角為9,如圖建系，則AB=6,0，—1）,則n丄BC,n丄Ab.又BC=(—1,1,0),AB=(1,0,-1),1所以，由In-BC=0I-u+v=0()\門，得n=口,1,1丿.n-AB=0Iu-w=0i1112分所以，點B1到平面A1BC的距離d=B1B—F--nn14分18.解：（1）T角a的終邊與單位圓交于點P（5,扌）,43sina=5,cosa=52分f(a)=^3sinacosa-2sin2a=2忑x—x-一2x(4)2=24^-—32...4分55525(2)f(x)=2\：3sinxcosx-2sin2x=\；3sin2x+cos2x一16分=2sin(2x+6)-1..…兀兀…兀，兀，兀由2k兀一<2x+<2k兀+得，k兀一<x<k兀+—26236兀兀KK又xg［一，丁］，所以f(x)的單調遞增區間是xg［一，7］；6366KKKK5K*.*xg［—,—］，.:一——<2x+<6361K一一<sin(2x+)<1，2666f(x)的值域是［—2,1］.8分10分12分14分19.解：(1)E二f(t)二12+20t+16,0<t<385,3<t<5335一50t,t>5寫對一段得1分，共3分）t=6時，E(6)二356分）(2)0<t<3時，H(t)=t+空+20tH(t)>24nt+16a>4t8分）0<4\；'a<3沐a>4nag［i,-9-］41610分）4\［a>316a3+>43nag(2,+s)1612分）(2)設P(x,y)，則由條件知：PPxp-2(|PB\-|pA|)+|pA|二1(|PB\+|pA|)二3,yp-2(1PC|+|PD|)-|PC|-2(1PD|-|PC|)-1，即P(3,1).6分所以A(2,1),C(3,3),7分所以A(2,1),C(3,3),7分丄=1代入雙曲線方程知：a2b29分b210分（3）因為|A]A?|_4，所以a_2，由（1）知，b_J3，所以r的方程為：——^3_1,令C（xe，ye），所以x2—e—4ca:y_y1(x+2),令x_1，所以M（1,斗）,eCA:y_—yo(x-2),2x一2

e令x_1，所以N(1,0x一2

e注)(y故以MN為直徑的圓的方程為：（x-1）2+（y-ye3yQy丄x+2x2—4ee亠y-4_e,y即(x—1)2+y2+(e—x—2x+2ee若以MN為直徑的圓恒經過定點(x,y)y_0于是＜x_1土32y_e51所以圓過x軸上兩個定點（2,0）和（-,e）0,12分-壬)_0,x—2e14分16分21.解：(1)f(1)_1，f(2)_2(2分)猜想f(n)_n(2分)(2)a=9n-8n5分）88由9m<9n—8<92m9m-1+<n<92m-1+99n=9m-1+1,9m-1+2,,92m—16分）t=92m-1—9m-1m7分）S=(9-1)+(93-9)+(95-92)+???+(9