12022年全國碩士研究生招生考試數學二是最符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1.當x)0時，a(x)，b(x)是非零無窮小量，給出以下四個命題：③若a(x)b(x)，則a(x)-b(x)o(a(x))；④若a(x)-b(x)o(a(x))，則a(x)b(x)，其中所有真命題的序號是().A.①②B.①④C.①③④D.②③④【解析】取a(x)=1-cosx，b(x)=x2，排除①，故選D.22.j2dyj2ydx=()AA.261B.3CC.23D.可得=j2x2dx2=.33.設函數f(x)在x=x處有2階導數,則0A.當f(x)在x的某鄰域內單調增加時,f,(x)>00B.當f,(x)>0時,f(x)在x的某鄰域內單調增加002C.當f(x)在x的某鄰域內是凹函數時,f,(x)>000D.當f,(x)>0,f(x)在x的某鄰域內是凹函數00【解析】因f(x)在x=x處有2階導數，則0f,(x)=limf,(x)_f,(x0)存在亭limf,(x)=f,(x)，0x)x0x_x0x)x0000004.設函數f(t)連續，令F(x,y)=jx_y(x_y_t)f(t)dt，則().0?F?F?2F?2F?F?F?2F?2FA.?x=?y，?x2=?y2B.?x=?y，?x2=_?y2?F?F?x?yC.?x?y==D.D?F?F?x??x?y，?2F?2F=_?x2=_【解析】由于F(x,y)=jx_y(x_y_t)f(t)dt=(x_y)jx_yf(t)dt_jx_ytf(t)dt，000故00?F=_jx_yf(t)dt_(x_y)f(x_y)+(x_y)f(x_y)=_jx_yf(t)00?F=_jx_yf(t)dt_(x_y)f(x_y)+(x_y)f(x_y)=_jx_yf(t)dt，?x2?y2?x2?y25.設p為常數,若反常積分j1lnxdx收斂,則p的取值范圍是()0xp(1_x)1_pA.(_1,1)B.(_1,2)C.(_w,1)D.(_w,2)3pjlnxdx=j1lnxdx發散,排除B和D;當p=–1時,0xp(1–x)1–p0x0xp(1–x)1–p0(1–x)20t2t)0+t2幾幾2n2A．若limcos(sinx)存在，則limx存在.n)wnn)wnB．若limsin(cosx)存在，則limx存在.n)wnn)wnC．若limcos(sinx)存在且limsinx存在，則limx不一定存在.n)wnn)wnn)wnD．若limsin(cosx)存在且limcosx存在，則limx不一定存在.n)wnn)wnn)wnn)wnn)wn但limx不存在，故排除A，B,.n)wnlimx一定存在，選項C錯誤，故選D.n)wn7.I=j1xA.I1<I2<I3.B.I3<I1<I2.C.I2<I1<I3.D.I2<I1<I3.41112 xln(1x)x2x2x，III8.設A為三階矩陣，010，則A的特征值為1,1,0的充分必要條件是().APQAPQB.存在可逆矩陣P，使得APP1CQAQQD.存在可逆矩陣P，使得APPT若A的特征值為1,1,0，由于A為三階矩陣，因此A可以相似對角化為，A與相似.9.設矩陣A1aa2，b2，則線性方程組Axb解的情況為().A.無解B.有解C.有無窮多解或無解D.有唯一解或無解【解析】考慮增廣陣1aa220a1a211.11110.設1,,1,，若,,與,,等價，則1234123124A.{|}B.{|,1}5【解析】由于123124當入=一2時，2=r(a,a,a)<r(a,a,a)=3,a,a,a與a,a,a不等價.當123124123124123124123124123124.(1+ex)cotx11．極限lim||=________.x)0(2)146331432x83【答案】幾9433083=幾.9232,3123幾【答案】.2060303221216.設A為3階矩陣，交換A的第二行和第三行，再將第二列的一1倍加到第一列，得到矩A7|| (0|| (0【解析】設B=(-21 1 (-1|||1-10-1)0000)|按照上述初等變換的逆變換將B的第二列的1倍加到第一(-1-1(0 (-1-1(0 (-1-1)00)10-1||列，然后交換B的二,三行位置，得到A=0-11||列，然后交換B的二,三行位置，得到A=0-11-1)||此tr(A-1)=-1.x)0x2【解】由lim=2可得x)0x2【解】由lim=2可得x)0x2x)x)=lim-lim=lim.-3lim.x)0ex2-1x2x)0sin=lim.-3lim.x)0ex2-1x2x)0sin2xx2118.設y(x)是微分方程2xy,-4y=2lnx-1滿足y(1)=的解.求曲線421其中C為任意常數.又由y(1)=，代入上式有4242112D1和D-D，其中D-D關于y軸對稱，于是1Dxyx2+y2x2+y2xyx2+y2x2+y2DDDD-DD00890?g (1)記g(x,y)=f(x,y一x).求(2)求f(u,v)的表達式和極值.?f?f(u=0(u=1,〈lvlv=1又因為a2aF(x)fax1(xa)faxf(x)222222222xafaxf)222調遞減.0002baa2h2baa2hh)02h3h)06h2f,(x+h)-f,(x-h)=lim00h)012hf,(x+h)+f,(x-h)=lim00h)0121=f,(x)，