第十三章軸對稱13．1軸對稱13．1.1軸對稱1．理解軸對稱圖形和兩個圖形關于某直線對稱的概念．2．了解軸對稱圖形的對稱軸，兩個圖形關于某直線對稱的對稱軸、對應點．3．掌握線段垂直平分線的概念．4．理解和掌握軸對稱的性質．重點軸對稱圖形和兩個圖形關于某直線對稱的概念．難點軸對稱圖形和兩個圖形關于某直線對稱的區別和聯系．一、作品展示1．讓部分學生展示課前的剪紙作品．2．小組活動：(1)在窗花的制作過程中，你是如何進行剪紙的？為什么要這樣？(2)這些窗花(圖案)有什么共同的特點？二、概念形成(一)軸對稱圖形1．在學生充分交流的基礎上，教師提出“軸對稱圖形”的概念，并讓學生嘗試給它下定義，通過逐步地修正形成“軸對稱圖形”的定義，同時給出“對稱軸”．2．結合教材圖13.1－1進一步分析軸對稱圖形的特點，以及對稱軸的位置．3．學生舉例，試舉幾個在現實生活中你所見到的軸對稱例子．4．概念應用：(1)教材第60頁練習第1題．(2)補充：判斷下面的圖形是不是軸對稱圖形？如果是軸對稱圖形，它們的對稱軸是什么？(二)兩個圖形關于某條直線對稱1．觀察教材中的圖13.1－3，思考：圖中的每對圖形有什么共同的特點？2．兩個圖形成軸對稱的定義．觀察右圖：把△A′B′C′沿直線l對折后能與△ABC重合，則稱△A′B′C′與△ABC關于直線l對稱，簡稱“軸對稱”，點A與點A′對應，點B與B′對應，點C與C′對應，稱為對稱點，直線l叫做對稱軸．3．舉例：你能舉出一些生活中兩個圖形成軸對稱的例子嗎？4．討論：軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區別．(三)軸對稱的性質觀察教材中圖13.1－4，線段AA′與直線MN有怎樣的位置關系？你能說明理由嗎？引導學生說出如下關系：PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.類似的，點B和點B′，點C和點C′是否有同樣的關系？你能用語言歸納上述發現的規律嗎？結合學生發表的觀點，教師總結并板書．對稱軸經過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段．在這個基礎上，教師給出線段的垂直平分線的概念，然而把上述規律概括成圖形軸對稱的性質．上述性質是對兩個成軸對稱的圖形來說的，如果是一個軸對稱圖形，那么它的對應點的連線與對稱軸之間是否也有同樣的關系？從而得出：類似的，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一個對應點所連線段的垂直平分線．三、歸納小結主要圍繞下列幾個問題：(1)概念：軸對稱圖形，兩個圖形關于某條直線對稱，對稱軸，對稱點；(2)找軸對稱圖形的對稱軸．四、布置作業教材習題13.1第1，2，3題．數學教學應該選在牽一發而動全身的關鍵之處進行，軸對稱圖形的認識的教學就是要抓住“對折”與“完全重合”兩個關鍵之處．不然就是隔靴搔癢.當“部分重合”與“完全重合”理解了，軸對稱圖形的概念也會在學生腦海中留下深刻的印象．13．1.2線段的垂直平分線的性質(2課時)第1課時線段的垂直平分線的性質與判定掌握線段的垂直平分線的性質和判定，能靈活運用線段的垂直平分線的性質和判定解題．重點線段的垂直平分線的性質和判定，能靈活運用線段的垂直平分線的性質和判定解題．難點靈活運用線段的垂直平分線的性質和判定解題．一、問題導入我們已經知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸．那么，線段的垂直平分線有什么性質呢？這節課我們就來研究它．二、探究新知(一)線段的垂直平分線的性質教師出示教材第61頁探究，讓學生測量，思考有什么發現？如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3…是l上的點，分別量一量點P1，P2，P3…到點A與點B的距離，你有什么發現？學生回答，教師小結：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．性質的證明：教師講解題意并在黑板上繪出圖形：上述問題用數學語言可以這樣表示：如圖，設直線MN是線段AB的垂直平分線，點C是垂足，點P是直線MN上任意一點，連接PA，PB，我們要證明的是PA＝PB.教師分析證明思路：圖中有兩個直角三角形，△APC和△BPC，只要證明這兩個三角形全等，便可證得PA＝PB.教師要求學生自己寫已知，求證，自己證明．學生證明完后教師板書證明過程供學生對照．已知：MN⊥AB，垂足為點C，AC＝BC，點P是直線MN上任意一點．求證：PA＝PB.證明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共邊)，∠PCB＝∠PCA(垂直定義)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的對應邊相等)．因為點P是線段的垂直平分線上一點，于是就有：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．(二)線段的垂直平分線的判定你能寫出上面這個命題的逆命題嗎？它是真命題嗎？這個命題不是“如果…那么…”的形狀，要寫出它的逆命題，需分析命題的條件和結論，將原命題寫成“如果…那么…”的形式，逆命題就容易寫出．鼓勵學生找出原命題的條件和結論．原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”，結論是“這個點與這條線段兩個端點的距離相等”．此時，逆命題就很容易寫出來．“如果有一個點與線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上．”寫出逆命題后，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．請同學們自行在練習冊上完成．學生給出了如下的四種證法．已知：線段AB，點P是平面內一點，且PA＝PB.求證：P點在AB的垂直平分線上．證法一過點P作已知線段AB的垂線PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P點在AB的垂直平分線上．證法二取AB的中點C，過P，C作直線．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P點在AB的垂直平分線上．證法三過P點作∠APB的平分線．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應邊相等，對應角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P點在AB的垂直平分線上．證法四過P作線段AB的垂直平分線PC.∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分線上．四種證法由學生表述后，有學生提問：“前三個同學的證明是正確的，而第四個同學的證明我有點弄不懂．”師生共析：如圖(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如圖(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.這說明一般情況下，“過P作AB的垂直平分線”是不可能實現的，所以第四個同學的證法是錯誤的．從同學們的推理證明過程可知線段的垂直平分線的性質的逆命題是真命題，我們把它稱為線段的垂直平分線的判定．要作出線段的垂直平分線，根據垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個與線段兩個端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線．下面我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據．例1尺規作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線．已知：直線AB和AB外一點C.(如下圖)求作：AB的垂線，使它經過點C.作法：(1)任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁．(2)以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和點E.(3)分別以點D和點E為圓心，大于eq\f(1,2)DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.(4)作直線CF.直線CF就是所求作的垂線．師：根據上面作法中的步驟，想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？請與同伴進行交流．生：從作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF，∴C，F都在AB的垂直平分線上(線段的垂直平分線的判定)．∴CF就是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線)．師：我們曾用刻度尺找線段的中點，當我們學習了線段的垂直平分線的作法時，一旦垂直平分線作出，線段與線段的垂直平分線的交點就是線段AB的中點，所以我們也用這種方法找線段的中點．三、課堂練習教材第62頁練習第1，2題．四、課堂小結本節課我們學習了線段的垂直平分線的性質和判定，并學會了用尺規作線段的垂直平分線．五、布置作業1．教材習題13.1第6題．2．補充題：(1)下圖是某跨河大橋的斜拉索，圖中PA＝PB，PO⊥AB，則必有AO＝BO，為什么？(2)如左下圖，△ABC中，AC＝16cm，DE為AB的垂直平分線，△BCE的周長為26cm.求BC的長．(3)有A，B，C三個村莊(如右上圖)，現準備建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，請你確定學校的位置．本節證明了線段的中垂線的性質定理及判定定理、用尺規作線段的中垂線．在課堂中，學生證明過程、作圖方法原理的理解及掌握都比較好，但要強調作業中不用三角板等工具而要用尺規來作圖，解決實際問題時可以直接用定理而不是借助于全等．第2課時畫對稱軸會畫軸對稱圖形的對稱軸．重點軸對稱圖形的對稱軸的畫法．難點軸對稱圖形的對稱軸的畫法．一、提出問題如果兩個平面圖形成軸對稱，你能用什么辦法驗證？不經過折疊，你能用什么方法畫出它的對稱軸？二、探究新知我們已經學過，如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線，所以我們只要找到兩個圖形的一對對應點，然后畫出以對應點為端點的線段的垂直平分線即可，如何作線段的垂直平分線呢？例1如圖(1)，已知點A和點B關于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？分析：我們只要連接點A和點B，作出線段AB的垂直平分線，就可以得到點A和點B的對稱軸，為此作出到點A，B距離相等的兩點，即線段AB的垂直平分線上的兩點，從而作出線段AB的垂直平分線．教師具體分析畫法、寫出畫法，根據畫法作出圖形．學生模仿教師的畫法，邊寫畫法，邊畫圖．作法：如圖(2)．(1)分別以點A，B為圓心，以大于eq\f(1,2)AB的長為半徑作弧(想一想，為什么)，兩弧相交于C，D兩點；(2)作直線CD.CD就是所求作的直線．這個作法實際上就是線段的垂直平分線的尺規作圖．教師引導學生思考：(1)在作法中為什么有CA＝CB，DA＝DB?(2)可以用這種方法找線段的中點嗎？四等分點呢？三、舉例分析例2如圖(1)，△ABC和△A′B′C′是兩個成軸對稱的圖形，請畫出它的對稱軸．教學方法：啟發學生把問題轉化為已解決問題，只要畫出點A、點A′連線的垂直平分線即可，如圖(2)．例3圖(1)是一個五角星，請畫出它的對稱軸．教學方法：引導學生思考五角星有幾條對稱軸，點A可以和哪些點成對應點？最后化歸到例2，由學生自己完成．四、鞏固練習教材第64頁練習第1，2，3題．五、課堂小結本節課你有什么收獲？還有哪些不懂的地方嗎？六、布置作業教材習題13.1第7，8題．通過前兩節的學習，這節畫對稱軸的習題課就可以全部交由學生自己完成．畫軸對稱圖形的對稱軸就是利用兩個對稱點找到對稱軸，即畫出這對對應點連線的垂直平分線，讓學生用尺規作圖，獨立完成．13．2畫軸對稱圖形(2課時)第1課時作軸對稱圖形通過實際操作，掌握作軸對稱圖形的方法．重點能夠按要求作出簡單平面圖形經過一次對稱后的圖形．難點較復雜圖形的軸對稱圖形的畫法．一、問題導入我們前面學習了軸對稱圖形以及軸對稱圖形的一些相關的性質．如果有一個圖形和一條直線，如何畫出這個圖形關于這條直線對稱的圖形呢？這節課我們一起來學習作軸對稱圖形的方法．二、探究新知[活動]在一張半透明紙的左邊部分，畫一只左腳印，把這張紙對折后描圖，打開對折的紙，就能得到相應的右腳印．這時，右腳印和左腳印成軸對稱，折痕所在的直線就是它們的對稱軸，并且連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分．類似地，請你再將一個圖形做一做，看看能否得到同樣的結論．認真觀察，左腳印和右腳印有什么關系？(成軸對稱)對稱軸是折痕所在的直線，即直線l，它與圖中的線段PP′是什么關系？(直線l垂直平分線段PP′)[思考1]如何畫一個點的對稱圖形？例1畫出點A關于直線l的對稱點A′.畫法：(1)過點A作對稱軸l的垂線，垂足為B；(2)延長AB到A′，使得BA′＝AB.點A′就是點A關于直線l的對稱點．[思考2]如何畫一條直線的對稱圖形？例2已知線段AB，畫出AB關于直線l的對稱線段．畫法：(1)畫出點A關于直線l的對稱點A′.(2)畫出點B關于直線l的對稱點B′.(3)連接點A′和點B′成線段A′B′.線段A′B′即為所求．[思考3]如果有一個圖形和一條直線，如何畫出與這個圖形關于這條直線對稱的圖形呢？例3如圖，已知△ABC和直線l，畫出與△ABC關于直線l對稱的圖形．畫法：(1)過點A畫直線l的垂線，垂足為O，在垂線上截取OA′＝OA，A′就是點A關于直線l的對稱點．(2)同理，分別畫出點B，C關于直線l的對稱點B′，C′.(3)連接A′B′，B′C′，C′A′，則△A′B′C′即為所求．三、課堂練習1．教材第68頁練習第1，2題2．下列圖形中，點P與P′關于直線MN對稱的圖形是()四、小結與作業1．歸納：幾何圖形都可以看成由點組成，對于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點(如線段的端點)，連接這些對稱點，就可以得到圖形的對稱圖形．2．作業：教材習題13.2第1題．幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些對應點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(如線段端點)的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形．第2課時用坐標表示軸對稱1．能在直角坐標系中畫點關于坐標軸的對稱點．2．能表示點關于坐標軸對稱的點的坐標，表示關于平行于坐標軸的直線的對稱點的坐標．重點用坐標表示點關于坐標軸對稱的點的坐標．難點找對稱點的坐標之間的關系．一、問題導入教材圖13.2－3是一張老北京城的示意圖，其中西直門和東直門是關于中軸線對稱的，如果以天安門為原點，分別以長安街和中軸線為x軸和y軸建立平面直角坐標系，根據如圖所示的東直門的坐標，你能說出西直門的坐標嗎？二、探究新知【探究1】(1)在直角坐標系中畫出下列已知點A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，－3)；(2)畫出這些點分別關于x軸、y軸對稱的點，并填寫表格；(3)請你仔細觀察點的坐標，你能發現關于坐標軸對稱的點的坐標有什么規律嗎？(4)請你想辦法檢驗你所發現的規律的正確性，說說你是如何檢驗的．已知點A(2，－3)B(－1，2)C(－6，－5)D(3，5)E(4，0)F(0，－3)關于x軸的對稱點關于y軸的對稱點【歸納】關于x軸對稱的點的坐標規律是：橫坐標相同，縱坐標互為相反數．【探究2】在同一平面直角坐標系內描出以上各點關于y軸的對稱點并寫出坐標，觀察關于y軸對稱的兩個點的坐標有什么規律？【歸納】關于y軸對稱的點的坐標規律是：縱坐標相同，橫坐標互為相反數．【探究3】按以上規律，說出點P(x，y)關于x軸的對稱點P1的坐標，再說出P1關于y軸的對稱點P2坐標．觀察點P經過兩次軸對稱所得點P2的坐標有什么規律？【歸納】一個點經歷關于x軸、y軸兩次軸對稱得到的對稱點坐標規律是：橫坐標互為相反數，縱坐標也互為相反數．在以后學了“中心對稱”后，兩點被稱為關于原點對稱．三、舉例分析【例1】已知A(2，a)，B(－b，4)，分別根據下列條件求a，b的值．(1)A，B關于y軸對稱；(2)A，B關于x軸對稱；(3)A，C關于x軸對稱，B，C關于y軸對稱．【解析】(1)A，B關于y軸對稱，說明縱坐標相同，橫坐標相反，a＝4，b＝2；(2)A，B關于x軸對稱，說明橫坐標相同，縱坐標相反，a＝－4，b＝－2；(3)A，C關于x軸對稱，B，C關于y軸對稱，說明A，B經過x軸、y軸兩次對稱變換，即關于原點對稱，橫、縱坐標各互為相反數，a＝－4，b＝2.【例2】如下圖，四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分別畫出與四邊形ABCD關于y軸和x軸對稱的圖形．學生獨立完成，教師用多媒體出示出正確答案并講評．四、課堂鞏固1．平面直角坐標系中，點P(4，－5)關于x軸的對稱點在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知點P(－2，3)關于y軸對稱點為Q(a，b)，則a＋b的值為()A．1B．－1C．5D．－53．點P(a，b)關于x軸對稱的點為P1，點P1關于y軸的對稱點為P2，則P2的坐標為()A．(a，b)B．(a，－b)C．(－a，b)D．(－a，－b)4．若點(a，b)與點(m，n)滿足a＋m＝0，b－n＝0，則這兩點關于()對稱．A．x軸B．y軸C．x軸或y軸D．不確定五、拓展思維如圖，點A(1，4)，B(4，1)，l為第一、三象限角∠xOy的平分線．(1)求證：l垂直平分AB；(2)A，B關于l成軸對稱嗎？(3)如果點A，B的坐標分別為(6，8)和(8，6)，它們還關于l對稱嗎？(4)如果你發現了對稱點的坐標規律，寫出點P(m，n)關于第一、三象限角平分線的對稱點Q的坐標．六、小結與作業小結：(1)點關于某條直線對稱的點的坐標可以通過尋找線段之間的關系來求．(2)點(x，y)關于x軸對稱的點的坐標為(x，－y)，即橫坐標相等，縱坐標互為相反數；點(x，y)關于y軸對稱的點的坐標為(－x，y)即橫坐標互為相反數，縱坐標相等．作業：教材習題13.2第3，4題．本節課通過學生熟悉、向往的北京城內天安門、長安街、東直門等的方位引入新課，能強烈地吸引學生的注意力，較好地激發學生的學習興趣．其中歸納規律后檢驗其正確性是科學研究問題的一個必不可少的步驟，并通過一系列的練習培養學生思維的流暢性，也使學生特別是學有困難的學生都能達到基本的學習目標．13．3等腰三角形13．3.1等腰三角形(2課時)第1課時等腰三角形的性質和應用1．理解并掌握等腰三角形的性質．2．運用等腰三角形的性質進行證明和計算．3．觀察等腰三角形的對稱性、發展形象思維．重點等腰三角形的性質及應用．難點等腰三角形的性質的證明．一、情境導入【活動1】教師預先做出各種幾何圖形，包括圓、長方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等邊三角形等．讓同學們搶答哪些是軸對稱圖形，提問什么是軸對稱圖形，什么樣的三角形才是軸對稱圖形．引入今天所要講的課題——等腰三角形．我們知道，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，下面我們利用軸對稱的知識來研究等腰三角形．二、探究新知如圖，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC有什么特點？學生活動：學生動手操作，從剪出的圖形觀察△ABC的特點，可以發現AB＝AC.教師活動：讓學生回顧等腰三角形的概念：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．如下圖．在△ABC中，若AB＝AC，則△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底邊，∠A是頂角，∠B和∠C是底角．【活動2】把活動1中剪出的△ABC沿折痕AD對折，找出其中重合的線段，填入下表：重合的線段重合的角從上表中你能發現等腰三角形具有什么性質嗎？學生活動：學生經過觀察，獨立完成上表，然后小組討論交流，從表中總結等腰三角形的性質．教師活動：引導學生歸納．性質1等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)；性質2等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)．【活動3】你能用所學知識驗證上述性質嗎？如圖，在△ABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C.學生活動：學生在獨立思考的基礎上進行討論，尋找解決問題的辦法，若證∠B＝∠C，根據全等三角形的知識可以知道，只需要證明這兩個角所在的三角形全等即可．于是可以作輔助線構造兩個三角形，作BC邊上的中線AD，證明△ABD和△ACD全等即可，根據條件利用“邊邊邊”可以證明．教師活動：讓學生充分討論，根據所學的數學知識利用邏輯推理的方式進行證明，證明過程中注意學生表述的準確性和嚴謹性．證明：作BC邊上的中線AD，如圖．在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AD，,BD＝CD，))所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠B＝∠C.這樣，就證明了性質1.類比性質1的證明你能證明性質2嗎？由△ABD≌△ACD，還可得出∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°.從而AD⊥BC，這也就證明了等腰△ABC底邊上的中線平分頂角∠A并垂直于底邊BC.添加輔助線的方法多樣，讓學生再去討論、交流，即用類似的方法可以證明性質2.三、應用提高例1如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數．學生活動：小組合作，分組討論、交流．教師活動：引導學生分析圖形中關于角的數量關系．(三角形的內角、外角，等腰三角形的底角)發現：(1)∠ABC＝∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；(2)∠A＝∠ABD；(3)∠A＋2∠C＝180°.若設∠A＝x，則有x＋4x＝180°，得到x＝36°，進一步得到兩個底角的度數．四、小結與作業請同學們回顧本節課所學的內容，有哪些收獲？師生活動：學生思考后，用自己的語言歸納，教師適時點評，并關注以下幾個問題：小結：(1)等邊對等角；(2)等腰三角形的三線合一；(3)等腰三角形常用輔助線作法(作底邊上的高、作底邊上的中線、作頂角的平分線)．作業：教材習題13.3第1，3，7題．本節課重點要讓學生通過動手翻折等腰三角形紙片得出等腰三角形“兩個底角相等”、“三線合一”的性質．設計理念是讓學生通過感官認識、折紙、猜想、驗證等腰三角形的性質，然后運用全等三角形的知識加以論證，使學生思維由形象直觀過渡到抽象的邏輯演繹，層層展開，步步深入，從而實現教學目的．第2課時等腰三角形的判定1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．2．運用等腰三角形的判定進行證明和計算．重點等腰三角形的判定方法．難點等腰三角形的判定方法的證明．一、提出問題出示教材第77頁“思考”．學生思考，回答后教師提問：在一般三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關系？學生猜想它們所對的邊相等．即如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．如何證明？二、解決問題教師引導提示，學生根據提示畫出圖形，并寫出已知、求證．已知：在△ABC中，∠B＝∠C.求證：AB＝AC.與學生一起回顧等腰三角形中常添加的輔助線：高、頂角平分線、底邊上的中線．讓學生逐一嘗試，發現可以作AD⊥BC，或AD平分∠BAC，但不能作BC邊上的中線．學生口頭證明后，選一種方法寫出證明過程．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，作△ABC的角平分線AD.在△BAD和△CAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠2，,∠B＝∠C，,AD＝AD，))∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC.歸納等腰三角形的判定方法：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，簡稱：“等角對等邊”．三、應用舉例1．出示教材例2.引導學生根據命題畫出圖形，利用角平分線的性質及“等邊對等角”來證明．學生討論后，自己完成證明過程．例2求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.(如圖所示)求證：AB＝AC.分析：要證明AB＝AC.可先證明∠B＝∠C.因為∠1＝∠2，所以可以設法找出∠B，∠C與∠1，∠2的關系．證明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(______________________)，∠2＝∠C(______________________)．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C.∴AB＝AC(______________)．2．出示教材例3.讓學生自學例3.例3已知等腰三角形底邊長為a，底邊上的高的長為h，求作這個等腰三角形．作法：(1)作線段AB＝a.(2)作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點D.(3)在MN上取一點C，使DC＝h.(4)連接AC，BC，則△ABC就是所求作的等腰三角形．四、課堂小結1．等腰三角形的判定方法是什么？2．等腰三角形的性質與判定既有區別又有聯系，你能總結一下嗎？五、布置作業教材習題13.3第2，8，10題．學生剛剛學過等腰三角形的性質，對等腰三角形已經有了一定的了解和認識．因此在課堂教學中先引出等腰三角形的判定定理及推論，并能夠靈活應用它進行有關論證和計算．發展學生的動手、歸納猜想能力；發展學生證明用文字表述的幾何命題的能力；使它們進一步掌握歸納思維方法，領會數學分類思想、轉化思想．13．3.2等邊三角形(2課時)第1課時等邊三角形的性質和判定1．掌握等邊三角形的定義．2．理解等邊三角形的性質與判定．重點等邊三角形的性質和判定．難點等邊三角形的性質的應用．一、問題引入在等腰三角形中，如果底邊與腰相等，會得到什么結論？二、自主探究1．等邊三角形的定義底邊和腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形．2．思考：把等腰三角形的性質用于等邊三角形，能得到什么結論？一個三角形的三個內角滿足什么條件才是等邊三角形？邊：三條邊都相等．角：三個角都相等，并且每一個角都等于60°.3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA嗎？為什么？你從中能得到什么結論？三個角都相等的三角形是等邊三角形．4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.(1)求證：△ABC是等邊三角形；(2)如果把∠A＝60°改為∠B＝60°或∠C＝60°，那么結論還成立嗎？(3)由上你可以得到什么結論？有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．三、應用舉例1．教材例4.例4如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠A＝∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等邊三角形．2．歸納：在判定三角形是等邊三角形時：(1)若三角形是一般三角形，只要找三個角相等或三條邊相等；(2)若三角形是等腰三角形，一般是找一個角等于60°.四、鞏固練習教材第80頁練習第1，2題．補充題：1．如圖，已知等邊△ABC，點D，E，F分別是各邊上的一點，且AD＝BE＝CF.求證：△DEF是等邊三角形．2．如圖，已知等邊△ABC，點D是AC的中點，且CE＝CD，DF⊥BE.求證：BF＝EF.eq\o(\s\up7(,第1題圖),第2題圖)教師提出要求，補充題1，2可以讓學生板書過程．五、總結提高小結：通過本節課的學習，你了解到了等邊三角形有哪些特點？怎樣判定一個三角形是等邊三角形？布置作業：教材習題13.3第12，14題．教學中設計了兩個問題：把等腰三角形的性質用于等邊三角形，你能得到什么結論？類似地，你又能得到哪些等邊三角形的判定方法？讓學生先自主探索再合作交流，小組內、小組間充分討論后概括所得結論．這既鞏固應用等腰三角形的知識，又類比探索等邊三角形性質定理和判定定理的方法，并使學生加深對等腰三角形與等邊三角形的聯系與區別的理解．第2課時含30°角的直角三角形的性質掌握含30°角的直角三角形的性質與應用．重點含30°角的直角三角形的性質．難點含30°角的直角三角形性質的推導．一、情境導入將兩個含30°的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找出Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的關系嗎？二、探究新知由題意可判定△ABD是等邊三角形，且AC為邊BD上的高，可得BC＝CD＝eq\f(1,2)AB.教師歸納：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．你能證明這一結論嗎？讓學生從以下兩個途徑探索：(1)△ABD是等邊三角形，AC⊥BD于點C，則∠BAD＝____度，BC＝____BD＝____AB.(2)在△ABC中，若AC⊥BC，∠A＝30°，則∠B＝____度，延長BC到點D，使BD＝AB，連接AD，則△ABD是等邊三角形，BC＝eq\f(1,2)____＝eq\f(1,2)____．以上結論是直角三角形的性質之一，在以后的證明和計算中經常用到．思考：逆命題：“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”是否成立？課堂練習①在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝4，則BC＝________，∠BCD＝________，BD＝________．②小明沿傾斜角為30°的山坡從山腳步行到山頂，共走了200m，求山的高度．三、舉例分析出示教材例5.例5如圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多長？解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB，DE＝eq\f(1,2)AD.∴BC＝eq\f(1,2)×7.4＝3.7(m)．又AD＝eq\f(1,2)AB，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×/r/