第八章幾第五 直線、平面垂直的判定與性題型 2013（ 19）ABC-A1B1C1AA1底面ABCAD上異于端點的點

DAPDAP 設（1）中的直線lAC于點QA-QCD （錐體體積公式：V

ShSh為高3（201319）PABCDABACABPAAB∥CDCE∥PADEFG3(2013重慶文19）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，PA 3FBCCD2，ACBACDπ F3求證：BD平面PAC PCFPF7FC，求三棱P-BDF的體積. B

2014 A．若m//,n//,則m/ B．若m，n，則mC．若m，mn，則n/ D．若m//，mn，則n2.（2014浙江文6）設m,n是兩條不同的直線，,是兩個不同的平面 Amnn//mCmnn，則m

B．若mmD．若mnn，則m 文9）若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4，滿足l1l2,l2//l3,l3l4，則下

B.l1

C.l1,l4既不垂直也不平

l1,l4 文17）（本小題滿分14分 ABBCAA1AC2BC1EFA1C1BC的中點ABEB1BCC1C1FABEEABC的體積

BFBF 的中點為OAOBB1C1CB1CABACAB1CBB160BC1ABCA1B1C1的高6.（2014遼寧文19），△ABC和△BCD所在平面互相垂直，，，ACDCAD的中點EFBCGDBCG的體積1

FG附：錐體的體積公式V

ShSh為高37.（2014文18）如圖1所示，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCDAB1,BCPC2,作如圖2所示的折疊：折痕EF//CD.其中點E,F分 PD,PC上，沿EF折疊后點P段AD上的點記為M，并且MFCFCFMDFMCDEADAMDADAMDEF 圖 圖8.（2014江蘇 ，在三棱錐PABC中，D，E，F分別為棱PC，ACABPAACPA6BC8DF5．（1）（2））9.（2014重慶文20，四棱錐PABCD中，底面是以O為中心的菱形，PO）ABCDAB2，BAD求證BC平面POM

，M為BC上一點，且BM 1 1PBM若MPAP，求四棱錐PABMO的體積PBM10（2014文20），在正方體ABCDA1B1C1D1中，E,F,P,Q,M,N分別ABADDD1，BB1A1B1A1D1的中點.AC1PQMN

20152015湖南文

E， ，FAEC的體積B（1）ABCA1B1C1AEBB1E是正三角形ABC的邊BC的中點，所以AEBC，因此AE平面B1BCC1AE平面AEFAEFB1BCC1.（2）ABDA1D,CD因為△ABCCDAB又三棱柱ABCA1B1C1由題設CAD45ADCD

3AB 3 AD21RtAD21

32 ，所以FC1AA 232 故三棱錐FAEC的體積V1 FC1 3 2 63△

DEDEF B7 文 75BC5

BB127EFBCA1C的中點

EF

平面A1B1BA F EC（3）NA1N，則A1B1N

.111由sinABNA1N1，得直線AB與平面BCB所成角.111 解析（1），聯結A1B，在△A1BC中，因為E和F分別是BC，A1C的EF//BA1EFA1B1BAEFA1B1BA.ABAC，EBCAEBC

AEBCB1NEBC，BCNE//BBNE1BB

NE//AA，NEAA11AN//AE1=

AEBCB1A1NBCB1，從而A1B1NA1B1與平面在△ABCAE2A1NAE2 .11AB4，在Rt△ANB中sinABNA1N1，因此ABN.111

. . NF EC3.（20151文18），四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BEABCD若ABC

636

EADG 解析（1）因為BE平面ABCD，所以BEAC又因為 BEB，BD，BE平面BED所以AC平面BED.AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（2）在菱形ABCD中，取ABBCCDAD2x又ABC

AGGC

3x，BGGDx在△AECAEC90EG1AC2

3xEG2所以在Rt△EBG中，BE EG2所以

11

，解得x1E

在Rt△EBA,Rt△EBC,Rt△EBD中可得AEECED 65所以 212 15

66 3256 4（2015山東文18），在三棱臺DEFABC中，AB2DE，GH分別DEDEGHBCBDFGHC若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH B解析（1）證法一：聯結D.設 GFM，聯結MH，DEFABCAB2DEGACDFGC=DFCGM為CD的中點.HBCHM//BD.HMFGHBDFGHBDFGHEMGHEMGH B證法二DEFABCBC2EFHBCBHEF=HF在△ABC中，G,H分別為AC，BC的中點，所以GH//AB.又GH 所以平面FGH//平面ABED，因為BD平面ABED，所以BD//HF（2）證明：聯結GE，因為GHACBC的中點，所以GH//ABABBC，得GHBCHBCBC2EFEFHCEFCH=以CF//HE又CFBCHEBC又HE,GH平面EGH， GHH，所以BC平面EGHBCBCDBCDEGHEGHEGH B(2015浙江文18)，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BAC90，ABAC2DCBDCB求直線AB和平面BBCC所成的角的正弦值 A)（202DEFBEF//BCDEFBABPFE 26.解析（1）DEECPDPCE為等腰△PDCDC的中點，PEAC． ABCPEAB因為ABCEF//BCABEF2AC236（2）設BCx，則在Rt△AC236S

1ABBC1 3636

2 由EF//BC， ，得△AFE∽△ABC，故

，即 4

S△

3 36△ 36AD1AE

1

14

2 1 36363636

2△

29△

9△

1

1 36736

△

△ 4242PC2PC2

23體積

1 PE1237

7x436x224303636

3

x29x2273x0x3x3

BC3BC3320161.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足m//，n，

n

m 解析對于選項A，因為 ，所以l.又因為m//，所以m與面.故選項A不正確；對于選項B和D，因為 ，n，所以n或n//.又因m//mn.BD因為 l,所以l,因為n,所以n

C2.（2016甲文19），菱形ABCD的對角線AC與BD交于 OEF分別ADCD上，AECFEFBDH.△DEFEF折到△DEF的位置ACHD

AB5，AC6，AE5，OD22D

OH 解析（1）ABCDACBDEFBDEFDHEFDHAECFAECFEF∥AC.AC （2）EF//AC

AE1 AB2AB5，AC6DOAB2

于是OD2OH222)2129DH2OD由（1）ACHDACAC

ACBHD又由ODOH，ACIOHO，所以ODABCD

DHEF9 ABCFES16819369 OD169 D 3 DC,DCACCPCDCPACPABPACEABPBFD 平面CEF?說明理由解析（1）因為PC平面ABCD，所以PCDC又因為DCAC， PCC.所以DC平面PAC由（1）DCPACAB//DCABPACABPABPABPC棱PB上存在點F，使得 平面CEF.證明如下CPBFEFCECF又因為EAB的中點，所以

D又因為PA平面CEF，所以 平面CEFEGD4.（2016山東文18）在的幾何體中，D是AC的中點EGD DB已知ABBC，AEEC.求證：ACFB 已知

ECFB的中點.

平面ABC ，所以EF與BD確定一個平面BDEF，連接DE，1所示.AEECDACDEACBDAC.BDDEDACBDEFFBBDEFACFB（2）FCI，連接GIHI2所示.在△CEFG是CE以

.

，所以 DB；在△CFB中，H是FB的中點

.又GI

I BCB，所以平面

平面ABC因為GH平面GHI，所以 平面ABCFEHGDFEHGFEHGDFEHGID 5（2016江蘇

CE CEABBCF

B1D

F（1）

解析（1）DE//AC

ABBCDE為△ABC又因為三棱柱ABCA1B1C1為直棱柱，故AC// ，所以DE// AA1A1B1AA1B1BA1C1AA1B1B.

又因為A1FB1D， ）6.（2016乙文18已知正三棱錐PABC的側面是直角三角形，PA6）PABCD，DPABE.PE交AB于點G GABEPACF（， GB解析（1）由題意可得△ABC為正三角形，故PAPBPC6PABCDPDABCDPABEDEPABABPABABDEDEDEPDG.PG平面PDG，所以ABPGPAPB，所以GAB的中點

PDDE平面PDG，所以AB平（2），過E作EF∥BP交PA于F，則F即為所要尋找的正投影.理由如下，因為PBPAPB∥EF，故EFPA.同理EFPC，又PA 故F即為點E在平面PAC內的正投影.所以

1 DE1PFEFDE

3 6 ，PD23，故由等面積法知DE2.由勾股6理知PE22，由△PEF為等腰直角三角形知PFEF2，故

43PF GBBB

ADCPAB90o，BCCD1AD PAD內找一點M，使得直線CM∥PABPAB解析（1）ADM(MPADM即為所求的一個點.AD∥BC，BC1ADBC∥AMBCAM2行四邊形，從而ABPABCMPABCM∥(PDN，則所找的點可以是直線MN上任意一點

AMCBBPBC （2）PAAB，PACDAD∥BC，BC1ADAB2CDPAABCDPAAD∥BC，BC1ADBC∥MDBC2

BCDM四邊形BMCD1ADBDABAB2BDPBDPAB

APABDBPBC 2017 A． D．解析因為BC1B1C，BC1A1B1，且 評注本題屬于線面關系定理的實際應用問題，有一定難度，需要學生有較強的空間想象能力和公式定理的實際應用能力，問題的重點與難點在于找到與包含A1E的平面垂直的2.（20171文18），在四棱錐PABCD中，AB//CD，.BAPCDP.PABPAD83，求該四棱錐的側面積

PDB且四棱錐PABCD DBA解析（1）因為BAP

因為CDP

，所以CDPDAB∥CDABPD又 因為AB平面PAB，所以平面PAB平面PADAD中點O.因為APD90PAPDPOAD又因為平面ABCD平面PAD，平面ABCD 所以PO平面ABCD．PDODO AB∥CDABCD得四邊形ABCD為平行四邊形ABPAD，得ABADABCD是矩形不妨PAa，則PDABDCa，所PO

a,PBBC2

2a，且ADBC PABCD的體積為

1

PO1

2aa2a8a2

P

所以S側 ABS△PCD122212212222sin

623 3文 ，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，ADCDACBD已知△ACDABBDEBDD不重合的點，解析（1）ACF，聯結FDFBADCDFDACABACFBAC又因為 FBF，所以AC平面DFB.又因為BD平面DFB，所以ACBD2(2)設ACABBC2，則ADCD 2ABBCADDCBDBD，得△ABD≌△CBDAECE2又因為AECE，所以AECE .所以△AED∽△BDA，所以DEAE，可2 DE1.EBDEABCDABC半，所以

1V

，所以體積比為1:1.本題第一問考查線線垂直的證明，屬于常規題型；第二問用相似或解三角形的方法求解直線長度，特別是用相似在高中階段比較少見，但16年卷選擇題的壓軸題也有類似）4.（2017文18在三棱錐P–ABC中，PAAB，PABC，ABBC）PAABBC2，D為線段AC的中點，E為線段PC上C 求證：平面BDE平面PAC PABDEEBCD解析（1）PAABPA

BCBPAABC.ABBCABBCDAC的中點，所以在等腰Rt△ABC中，BDAC.由（1）可知，PABD，PA ACA，所以BD平面PAC.由E為線段PC上一點，則DE平面PAC，所以BDED.又因為BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC. DAC邊的中點知，EPC邊的中點.ED1PA1，ED∥PAPA2ABCEDBDCABBC2ABBCDAC邊中點知，BDCD

2BDAC，有BDDC，即BDC90.

1

ED112211E

3

ABCDOACBDEADA1EABCD設M是ODA1EMB1CD1 ，取B1D1中點F，聯結CF,A1F，由于ABCDA1B1C1D1為四棱柱，（2）ABCDACBDEMAD和OD的中點，EMBD.又A1EABCDBDABCDA1EBD ，取B1D1中點F，聯結CF,A1F，由于ABCDA1B1C1D1為四棱柱，（2）ABCDACBDEMAD和OD的中點，EMBD.又A1EABCDBDABCDA1EBD 6.（2017浙江 E角三角形，BC//AD，CDAD，PCAD2DC2CB EEPD的中點證明CE//平面PAB 求直線CE與平面PBC所成角的正弦值解析（1），設PADE的中點為F，聯結EF，FB PH DN 2

AD2邊形，所以CE//BFBFPAB，所以CEPAB（2）BCAD的中點為MN.PNEF于點Q，聯結MQMQ//CE由△PADPNADDCADNADND1ADBCDN∥BC所以四邊形PNPNBCDNBN∥CDBNAD.PBN

,ADBC//ADBCPBNBCPBCPBCPBN過點QPBHMHMHMQPBC上的射影，所以QMH是直線CEPBC所成的角2設CD1.在△PCD中，由PC2，CD1，PD 2，由余弦定理得CE 2PB

QHPBQPN的中點，得QH1PC2PC232在Rt△MQH中，QH1，MQ ，所以sinQMH 22 2所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值 28

2017江蘇15在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABDBCDEF（EAD不重合）ADBDEFAD（1）EFEF C解 （1）在平面ABD內，因為ABAD，EFAD，且點E與點A不重合，所EF//AB又因為EF平面ABCAB平面ABC，所以EF//平面ABC ADABDBCAD又ABAD，BC ABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因為AC平面ABC，所以ADAC.題型 與垂直有關的開放性、探究性問20151.(2015文/r