4.3.2角的比較與運算第四章圖形初步認(rèn)識導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)4.3角4.3.2角的比較與運算第四章圖形初步認(rèn)識導(dǎo)入新課講授新學(xué)習(xí)目標(biāo)1.

掌握角的大小的比較方法.(重點)2.

理解角平分線和角的和、差、倍、分的意義及數(shù)量關(guān)系，能夠用幾何語言進(jìn)行相關(guān)表述，并能解答相關(guān)問題.(重點、難點)3.

會進(jìn)行涉及度、分、秒的角度的計算.(重點、難點)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握角的大小的比較方法.(重點)有一天學(xué)生張亮和王帥各帶了一把折扇(如圖所示),下面是他們的一段對話:張:我的折扇張開大一些,所以我的折扇的角也大一些.王:我的折扇長一些,所以我的折扇的角也大一些.導(dǎo)入新課情境引入有一天學(xué)生張亮和王帥各帶了一把折扇(如圖所示),下面是他們的同學(xué)們,你們有辦法幫他們進(jìn)行判斷嗎?ABCDEF怎樣比較∠ABC和∠DEF的大小?同學(xué)們,你們有辦法幫他們進(jìn)行判斷嗎?ABCDEF怎樣比較∠A線段長短的比較AB>CDAB<CDAB=CD溫故知新線段長短的比較AB>CDAB<CDAB=CD溫故知新AB=BC+ACBC=AB－ACAC=AB－BC線段的和、差線段中點若點C是線段AB的中點，則AC=BCAC=BC=ABAB=2AC=2BCAB=BC+AC線段的和、差線段中點若點C是線段AB講授新課角的比較與計算一

類比線段長短的比較，你認(rèn)為該如何比較兩個角的大小？1.

度量法類比探究講授新課角的比較與計算一類比線段長短的比較，你認(rèn)為該2.

疊合法ABO(O')B'(A')ABOABO想一想：你能用圖形和幾何語言說明兩個角的大小關(guān)系嗎？(兩個角分別記作∠AOB，∠A'O'B')(O')B'(A')∠AOB＜∠A'O'B'∠AOB=∠A'O'B'∠AOB＞∠A'O'B'(O')(B')(A')2.疊合法ABO(O')B'(A')ABOABO想一想圖中有幾個角？它們之間有什么關(guān)系？圖中有3個角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC；它們的關(guān)系：∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC－∠BOC；類似地，∠AOC－∠AOB=

.觀察與思考∠BOCABOC圖中有幾個角？它們之間有什么關(guān)系？圖中有3個角：∠AOC，∠練一練如圖所示：(1)∠AOC是哪兩個角的和？(2)∠AOB是哪兩個角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，則∠AOC與∠BOD

的大小關(guān)系如何？BAOCD∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB=∠AOC－∠BOC=∠AOD－∠BOD.∠AOC=∠BOD.練一練如圖所示：BAOCD∠AOC=∠AOB+∠BOC.例1

如圖，O是直線AB上一點，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度數(shù).解：∵∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC.∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC

＝180°－53°17′

＝179°60′－53°17′

＝126°43′.OCBA典例精析如何計算？可以向180o借1o，化為60′.例1如圖，O是直線AB上一點，∠AOC＝53°17′(2)如圖②，若∠AOB=60°，∠BOC＝40°，則∠AOC＝

°．(1)如圖①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，則∠AOB＝

°．

7520ABOCABOC圖①圖②變式訓(xùn)練(2)如圖②，若∠AOB=60°，∠BOC＝40°，則((3)若∠AOB

＝60°，∠AOC

＝30°，則∠BOC

＝

°．90或30OB

ACC提示：無圖條件下要分情況討論.(3)若∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，則∠BOC

如圖，借助一副三角尺可以畫出15°和75°的角，你還能畫出哪些度數(shù)的角？試一試：75°15°如圖，借助一副三角尺可以畫出1例2

把一個周角7等分，每一份是多少度的角(精確到分)？解：360°÷7=51°+3°÷7=51°+180′÷7≈51°26′.答：每份是51°26′的角.有余數(shù)，可以把度的余數(shù)化成分后再除例2把一個周角7等分，每一份是多少度的角(精確到分)（1）120°－38°41′；

（2）67°31′+48°49′.解：原式=119°60′－38°41′=81°19′.解：原式=(67+48)°+(31+49)′=115°97′=116°37′.變式訓(xùn)練計算（1）120°－38°41′；（2）67°31′+48°方法總結(jié)：涉及到度、分、秒的角度的加與減，要將度與度、分與分、秒與秒分別相加、減，分秒相加時逢60要進(jìn)位，相減時要借1作60.方法總結(jié)：涉及到度、分、秒的角度的加與減，要將度與度、分與分練一練1.20°30′×8；

2.106°6′÷5.解：原式=(106÷5)°+(6÷5)′=21°+1°÷5+(6÷5)′=21°+(66÷5)′=21°+13′+1′÷5=21°+13′+60″÷5=21°13′12″解：原式=20°×8+30′×8=160°240′=164°練一練1.20°30′×8；2.106°6′÷5.解角的平分線二互動探究BAOC

動手做一做：在紙上畫∠AOB，然后將其剪下來，將其沿經(jīng)過頂點的線對折，使邊OA與OB重合.將角展開，折痕上任取一點記作點C.類比線段中點的定義，填空：∠AOC_____∠COB;∠AOB=_____∠AOC.=2角的平分線二互動探究BAOC動手做一做：

一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.

應(yīng)用格式：OBAC∵OC是∠AOB的角平分線，∴∠AOC

＝∠BOC

＝∠AOB，∠AOB

＝2∠BOC

＝2∠AOC.一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的例3

如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線.(1)如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？解：因為OB平分∠AOC，∠AOC=80°，OABCDE所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.例3如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平(2)如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD

是多少度？

解：因為OB平分∠AOC，所以∠BOC=∠AOB=40°.因為OD平分∠COE，所以∠COD=∠DOE=30°，所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.OABCDE(2)如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD(3)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB

是多少度？解：因為∠COD=30°，

OD平分∠COE，所以∠COE=2∠COD=60°，所以∠AOC=∠AOE－∠COE=140°－60°=80°.又因為OB平分∠AOC，OABCDE所以∠AOB=∠AOC=×80°=40°.(3)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠A例4

如圖，已知∠AOB=40°，自O(shè)點引射線OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC與∠AOB的平分線所成的角的度數(shù)．OAB解：分以下兩種情況：設(shè)∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．CD如圖，OC在∠AOB內(nèi)部，OD平分∠AOB，例4如圖，已知∠AOB=40°，自O(shè)點引射線OC，若∠A∴設(shè)∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x-2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．OABCD如圖，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，∴OC與∠AOB的平分線所成的角的度數(shù)為4°或100°．∴設(shè)∠AOC=2x，∠COB=3x，OABCD如圖，OC在方法總結(jié)：涉及到角度的計算時，除常規(guī)的和差倍分計算外，通常還需運用方程思想和分類討論思想解決問題.方法總結(jié)：涉及到角度的計算時，除常規(guī)的和差倍分計算外，通常還1.

如圖：OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是()A做一做OABCD1.如圖：OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平A做一2.

如圖，OC是平角∠AOB的角平分線，∠COD=32°，求∠AOD的度數(shù).答案：∠AOD=122°.OABCD2.如圖，OC是平角∠AOB的角平分線，∠COD=32°，當(dāng)堂練習(xí)1.

如圖，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，則∠BOC=____.2.已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC

的度數(shù)是

.34°13°或63°OABCD當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=143.

如圖，∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD的度數(shù)答案：∠COD=10°.OABCD3.如圖，∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°(1)12°36′56″+45°24′35″；(2)79°45′+61°48′49″；(3)62°24′17″×4；(4)102°43′÷3.4.

計算：答案：(1)58°；(2)141°33′49″；(3)249°37′8″；

(4)34°14′20″.(1)12°36′56″+45°24′35″；4.計算：5.如圖，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度數(shù)．OADCB解：設(shè)∠COD=x，∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°-x，∴∠AOB=90°+60°-x=150°-x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°-x=3x，解得x=37.5°，∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．5.如圖，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是6.如圖，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1)求∠EOD的度數(shù)；解：∵∠AOB＝120°，

OD平分∠BOC，

OE平分∠AOC，∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)

＝∠AOB＝×120°＝60°.6.如圖，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠A(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度數(shù)．解：∵∠AOB＝120°，

∠BOC＝90°，

∴∠AOC＝120°－90°

＝30°.

∵OE平分∠AOC，

∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度數(shù)．解：∵∠AOB課堂小結(jié)角的比較角的平分線度量法疊合法角的運算加與減乘與除角的和差倍分關(guān)系角的計算課堂小結(jié)角的比較角的平分線度量法疊合法角的運算加與減乘與除角4.3.2角的比較與運算第四章圖形初步認(rèn)識導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)4.3角4.3.2角的比較與運算第四章圖形初步認(rèn)識導(dǎo)入新課講授新學(xué)習(xí)目標(biāo)1.

掌握角的大小的比較方法.(重點)2.

理解角平分線和角的和、差、倍、分的意義及數(shù)量關(guān)系，能夠用幾何語言進(jìn)行相關(guān)表述，并能解答相關(guān)問題.(重點、難點)3.

會進(jìn)行涉及度、分、秒的角度的計算.(重點、難點)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握角的大小的比較方法.(重點)有一天學(xué)生張亮和王帥各帶了一把折扇(如圖所示),下面是他們的一段對話:張:我的折扇張開大一些,所以我的折扇的角也大一些.王:我的折扇長一些,所以我的折扇的角也大一些.導(dǎo)入新課情境引入有一天學(xué)生張亮和王帥各帶了一把折扇(如圖所示),下面是他們的同學(xué)們,你們有辦法幫他們進(jìn)行判斷嗎?ABCDEF怎樣比較∠ABC和∠DEF的大小?同學(xué)們,你們有辦法幫他們進(jìn)行判斷嗎?ABCDEF怎樣比較∠A線段長短的比較AB>CDAB<CDAB=CD溫故知新線段長短的比較AB>CDAB<CDAB=CD溫故知新AB=BC+ACBC=AB－ACAC=AB－BC線段的和、差線段中點若點C是線段AB的中點，則AC=BCAC=BC=ABAB=2AC=2BCAB=BC+AC線段的和、差線段中點若點C是線段AB講授新課角的比較與計算一

類比線段長短的比較，你認(rèn)為該如何比較兩個角的大小？1.

度量法類比探究講授新課角的比較與計算一類比線段長短的比較，你認(rèn)為該2.

疊合法ABO(O')B'(A')ABOABO想一想：你能用圖形和幾何語言說明兩個角的大小關(guān)系嗎？(兩個角分別記作∠AOB，∠A'O'B')(O')B'(A')∠AOB＜∠A'O'B'∠AOB=∠A'O'B'∠AOB＞∠A'O'B'(O')(B')(A')2.疊合法ABO(O')B'(A')ABOABO想一想圖中有幾個角？它們之間有什么關(guān)系？圖中有3個角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC；它們的關(guān)系：∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC－∠BOC；類似地，∠AOC－∠AOB=

.觀察與思考∠BOCABOC圖中有幾個角？它們之間有什么關(guān)系？圖中有3個角：∠AOC，∠練一練如圖所示：(1)∠AOC是哪兩個角的和？(2)∠AOB是哪兩個角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，則∠AOC與∠BOD

的大小關(guān)系如何？BAOCD∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB=∠AOC－∠BOC=∠AOD－∠BOD.∠AOC=∠BOD.練一練如圖所示：BAOCD∠AOC=∠AOB+∠BOC.例1

如圖，O是直線AB上一點，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度數(shù).解：∵∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC.∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC

＝180°－53°17′

＝179°60′－53°17′

＝126°43′.OCBA典例精析如何計算？可以向180o借1o，化為60′.例1如圖，O是直線AB上一點，∠AOC＝53°17′(2)如圖②，若∠AOB=60°，∠BOC＝40°，則∠AOC＝

°．(1)如圖①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，則∠AOB＝

°．

7520ABOCABOC圖①圖②變式訓(xùn)練(2)如圖②，若∠AOB=60°，∠BOC＝40°，則((3)若∠AOB

＝60°，∠AOC

＝30°，則∠BOC

＝

°．90或30OB

ACC提示：無圖條件下要分情況討論.(3)若∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，則∠BOC

如圖，借助一副三角尺可以畫出15°和75°的角，你還能畫出哪些度數(shù)的角？試一試：75°15°如圖，借助一副三角尺可以畫出1例2

把一個周角7等分，每一份是多少度的角(精確到分)？解：360°÷7=51°+3°÷7=51°+180′÷7≈51°26′.答：每份是51°26′的角.有余數(shù)，可以把度的余數(shù)化成分后再除例2把一個周角7等分，每一份是多少度的角(精確到分)（1）120°－38°41′；

（2）67°31′+48°49′.解：原式=119°60′－38°41′=81°19′.解：原式=(67+48)°+(31+49)′=115°97′=116°37′.變式訓(xùn)練計算（1）120°－38°41′；（2）67°31′+48°方法總結(jié)：涉及到度、分、秒的角度的加與減，要將度與度、分與分、秒與秒分別相加、減，分秒相加時逢60要進(jìn)位，相減時要借1作60.方法總結(jié)：涉及到度、分、秒的角度的加與減，要將度與度、分與分練一練1.20°30′×8；

2.106°6′÷5.解：原式=(106÷5)°+(6÷5)′=21°+1°÷5+(6÷5)′=21°+(66÷5)′=21°+13′+1′÷5=21°+13′+60″÷5=21°13′12″解：原式=20°×8+30′×8=160°240′=164°練一練1.20°30′×8；2.106°6′÷5.解角的平分線二互動探究BAOC

動手做一做：在紙上畫∠AOB，然后將其剪下來，將其沿經(jīng)過頂點的線對折，使邊OA與OB重合.將角展開，折痕上任取一點記作點C.類比線段中點的定義，填空：∠AOC_____∠COB;∠AOB=_____∠AOC.=2角的平分線二互動探究BAOC動手做一做：

一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.

應(yīng)用格式：OBAC∵OC是∠AOB的角平分線，∴∠AOC

＝∠BOC

＝∠AOB，∠AOB

＝2∠BOC

＝2∠AOC.一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的例3

如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線.(1)如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？解：因為OB平分∠AOC，∠AOC=80°，OABCDE所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.例3如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平(2)如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD

是多少度？

解：因為OB平分∠AOC，所以∠BOC=∠AOB=40°.因為OD平分∠COE，所以∠COD=∠DOE=30°，所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.OABCDE(2)如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD(3)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB

是多少度？解：因為∠COD=30°，

OD平分∠COE，所以∠COE=2∠COD=60°，所以∠AOC=∠AOE－∠COE=140°－60°=80°.又因為OB平分∠AOC，OABCDE所以∠AOB=∠AOC=×80°=40°.(3)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠A例4

如圖，已知∠AOB=40°，自O(shè)點引射線OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC與∠AOB的平分線所成的角的度數(shù)．OAB解：分以下兩種情況：設(shè)∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．CD如圖，OC在∠AOB內(nèi)部，OD平分∠AOB，例4如圖，已知∠AOB=40°，自O(shè)點引射線OC，若∠A∴設(shè)∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x-2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．OABCD如圖，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，∴OC與∠AOB的平分線所成的角的度數(shù)為4°或100°．∴設(shè)∠AOC=2x，∠COB=3x，OABCD如圖，OC在方法總結(jié)：涉及到角度的計算時，除常規(guī)的和差倍分計算外，通常還需運用方程思想和分類討論思想解決問題.方法總結(jié)：涉及到角度的計算時，除常規(guī)的和差倍分計算外，通常還1.

如圖：OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是()A做一做OABCD1.如圖：OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平A做一2.

如圖，OC是平角∠AOB的角平分線，∠COD=32°，求∠AOD的度數(shù).答案：∠AOD=122°.OABCD2.如圖，OC是平角∠AOB的角平分線，∠COD=32°，當(dāng)堂練習(xí)1.

如圖，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，則