第八章

向量的數量積與三角恒等變換8.1.1向量的數量積的概念8.1.2向量的數量積的運算律第八章向量的數量積與三角恒等變換8.1.1向量的數量積的1學習目標1.掌握平面向量數量積的幾何意義.2.掌握平面向量數量積的性質及運算律.重點：平面向量數量積的定義及應用.難點：平面向量數量積運算律的理解及應用.學習目標1.掌握平面向量數量積的幾何意義.知識梳理一、兩個向量的夾角

知識梳理一、兩個向量的夾角

π

π

點撥：向量a，b的夾角〈a，b〉與a，b位置關系的對應〈a，b〉的大小a，b的位置關系〈a，b〉＝0°a與b同向0°<〈a，b〉<90°a與b的夾角為銳角〈a，b〉＝90°a與b垂直，記作a⊥b90°<〈a，b〉<180°a與b的夾角為鈍角〈a，b〉＝180°a與b反向點撥：向量a，b的夾角〈a，b〉與a，b位置關系的對應〈a，二、向量數量積的定義1.定義一般地，當a與b都是非零向量時，稱|a||b|cos〈a，b〉為向量a與b的數量積（也稱為內積），記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.由定義可知，兩個非零向量a與b的數量積是一個實數，這與向量的加法、減法以及數乘向量的結果仍是一個向量不同.

二、向量數量積的定義1.定義

觀察兩個非零向量a與b的數量積的定義可知，a·b的符號由cos〈a，b〉決定，從而也就是由〈a，b〉的大小決定.例如，右圖中，a·b>0，a·c＝0，a·d<0.這就是說，兩個非零向量的數量積既可以是正數，也可以是零，還可以是負數.觀察兩個非零向量a與b的數量積的定義可知，a·b的符號由co

三、向量的投影與向量數量積的幾何意義

三、向量的投影與向量數量積的幾何意義

圖（1）

圖（1）

圖（3）圖（2）

圖（3）圖（2）2.向量投影的數量一般地，如果a，b都是非零向量，則稱|a|cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影的數量.投影的數量與投影的長度有關，但是投影的數量既可能是非負數，也可能是負數.|a|cos〈a，b〉的符號由cos〈a，b〉確定，取決于〈a，b〉的取值范圍！2.向量投影的數量|a|cos〈a，b〉的符號由cos〈a，3.向量數量積的幾何意義因為a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝（|a|cos〈a，b〉）|b|，所以兩個非零向量a，b的數量積a·b，等于a在向量b上的投影的數量與b的模的乘積.特別地，當e為單位向量時，因為|e|＝1，所以a·e＝|a|cos〈a，e〉，即任意向量與單位向量的數量積，等于這個向量在單位向量e上的投影的數量.3.向量數量積的幾何意義特別地，當e為單位向量時，因為|e|

四、向量數量積的運算律

我們已經知道，很多運算都滿足一定的運算律.

例如，向量的加法滿足交換律，數乘向量對加法滿足分配律，即對任意向量a，b以及實數λ，有a+b＝b+a，λ（a+b）＝λa+λb.根據向量數量積的定義，探討向量數量積的運算滿足哪些運算律，并說明理由.四、向量數量積的運算律我們已經知道，很多運算都滿足

證明：當a，b是兩個非零向量時，

因為〈a，b〉＝〈b，a〉，

所以根據a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，

b·a＝|b||a|cos〈b，a〉

可知a·b＝b·a，

即向量的數量積滿足交換律.

證明：當a，b是兩個非零向量時，

證明：當a，b都是非零向量且λ≠0時，（1）如果λ>0，則|λa|＝λ|a|，且λa的方向與a的方向相同，從而〈λa，b〉＝〈a，b〉，

因此（λa）·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉

＝λ|a||b|cos〈a，b〉

＝λ（a·b）；

證明：當a，b都是非零向量且λ≠0時，（2）如果λ<0，則|λa|＝-λ|a|，且λa的方向與a的方向相反，從而〈λa，b〉＝π-〈a，b〉，

因此（λa）·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉

＝-λ|a||b|cos（π-〈a，b〉）

＝λ|a||b|cos〈a，b〉＝λ（a·b）.當a，b中至少有一個是零向量或λ＝0時，顯然也有（λa）·b＝λ（a·b）.當然，用同樣的方法可以得到a·（λb）＝λ（a·b）.（2）如果λ<0，則|λa|＝-λ|a|，且λa的方向與a的思考：向量的數量積滿足結合律（a·b）·c＝a·（b·c）嗎？提示：不滿足.因為（a·b）·c表示一個與c共線的向量，

a·（b·c）表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線，所以（a·b）·c＝

a·（b·c）不一定成立.思考：向量的數量積滿足結合律（a·b）·c＝a·（b·c）嗎

當a，b，c中至少有一個是零向量時，分配律顯然成立.

因此下面只要說明a，b，c都不是零向量的情形即可.

當a，b，c中至少有一個是零向量時，分配律顯然成立.

向量數量積的常用結論:

向量數量積的常用結論:

一平面向量數量積的計算常考題型例1

已知|a|＝6，|b|＝5，當：（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a與b的夾角為60°時，分別求a與b的數量積.1.向量數量積的基本計算一平面向量數量積的計算常考題型例1已知|a|＝6，|b

C

C

2020高中數學新教材人教b版必修第三冊課件：第八章811向量數量積的概念812向量數量積的運算律2020高中數學新教材人教b版必修第三冊課件：第八章811向量數量積的概念812向量數量積的運算律

C

C

二、向量的夾角問題

二、向量的夾角問題

B

B

2.已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，求k為何值時，向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角.【解】因為e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角，所以（e1+ke2）·（ke1+e2）＝ke21+ke22+（k2+1）e1·e2＝2k>0，所以k>0.但當k＝1時，e1+ke2＝ke1+e2，它們的夾角為0°，不符合題意，舍去.綜上，k的取值范圍為k>0且k≠1.

2.已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，求k為何值時，向三、向量的模的問題

1.模的計算三、向量的模的問題

1.模的計算

C

D

C

D

2.模的最值

2.模的最值

◆模的最值的轉化方法求向量模的最值時，一般需要將模平方，轉化為基向量的數量積，研究數量積在共線同向或共線反向時的取值.亦可結合圖形，直觀分析取得最值的位置.◆模的最值的轉化方法

四、向量的投影例7［2019·福建龍巖高一檢測］已知向量a，b，其中|a|＝1，|a-2b|＝4，|a+2b|＝2，則a在b上的投影的數量為（）A.-1

B.1

C.-2

D.2【答案】

A

四、向量的投影例7［2019·福建龍巖高一檢測］已知向量

B

B

B

D

B

D

六、數量積與平面幾何問題六、數量積與平面幾何問題2020高中數學新教材人教b版必修第三冊課件：第八章811向量數量積的概念812向量數量積的運算律

◆利用向量判斷三角形、四邊形的形狀的思路判斷三角形或四邊形的形狀時，一般是由邊長和角的關系來進行判斷，充分利用向量的數量積公式尋求圖形的邊角關系，向量數量積為零意味著垂直關系成立，向量相等意味著線段平行且向量的模相等.

DD

2.利用數量積證明或求范圍例10如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝CD，但不平行，點M，N分別是AD，BC的中點，MN與BA，CD的延長線分別交于點P，Q，求證：∠APM＝∠DQM.

2.利用數量積證明或求范圍2020高中數學新教材人教b版必修第三冊課件：第八章811向量數量積的概念812向量數量積的運算律2020高中數學新教材人教b版必修第三冊課件：第八章811向量數量積的概念812向量數量積的運算律◆利用向量數量積解決平面幾何問題的步驟（1）用向量表示幾何關系；（2）進行向量運算；（3）還原為幾何結論.◆利用向量數量積解決平面幾何問題的步驟

DA

DA◆解決與數量積最值（范圍）有關問題的基本方法先進行數量積的有關運算，將數量積的最值（范圍）轉化為函數的最值（范圍）問題，利用求函數最值（范圍）的基本方法求出相關的最大值或最小值（或范圍）.◆解決與數量積最值（范圍）有關問題的基本方法小結1.兩個向量的夾角

小結1.兩個向量的夾角

2.向量的數量積

2.向量的數量積

3.向量的投影

（2）向量投影的數量：一般地，如果a，b都是非零向量，則稱|a|cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影的數量.注意：投影的數量與投影的長度有關，但是投影的數量既可能是非負數，也可能是負數.3.向量的投影

（2）向量投影的數量：一般地，如果a，b都是第八章

向量的數量積與三角恒等變換8.1.1向量的數量積的概念8.1.2向量的數量積的運算律第八章向量的數量積與三角恒等變換8.1.1向量的數量積的75學習目標1.掌握平面向量數量積的幾何意義.2.掌握平面向量數量積的性質及運算律.重點：平面向量數量積的定義及應用.難點：平面向量數量積運算律的理解及應用.學習目標1.掌握平面向量數量積的幾何意義.知識梳理一、兩個向量的夾角

知識梳理一、兩個向量的夾角

π

π

點撥：向量a，b的夾角〈a，b〉與a，b位置關系的對應〈a，b〉的大小a，b的位置關系〈a，b〉＝0°a與b同向0°<〈a，b〉<90°a與b的夾角為銳角〈a，b〉＝90°a與b垂直，記作a⊥b90°<〈a，b〉<180°a與b的夾角為鈍角〈a，b〉＝180°a與b反向點撥：向量a，b的夾角〈a，b〉與a，b位置關系的對應〈a，二、向量數量積的定義1.定義一般地，當a與b都是非零向量時，稱|a||b|cos〈a，b〉為向量a與b的數量積（也稱為內積），記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.由定義可知，兩個非零向量a與b的數量積是一個實數，這與向量的加法、減法以及數乘向量的結果仍是一個向量不同.

二、向量數量積的定義1.定義

觀察兩個非零向量a與b的數量積的定義可知，a·b的符號由cos〈a，b〉決定，從而也就是由〈a，b〉的大小決定.例如，右圖中，a·b>0，a·c＝0，a·d<0.這就是說，兩個非零向量的數量積既可以是正數，也可以是零，還可以是負數.觀察兩個非零向量a與b的數量積的定義可知，a·b的符號由co

三、向量的投影與向量數量積的幾何意義

三、向量的投影與向量數量積的幾何意義

圖（1）

圖（1）

圖（3）圖（2）

圖（3）圖（2）2.向量投影的數量一般地，如果a，b都是非零向量，則稱|a|cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影的數量.投影的數量與投影的長度有關，但是投影的數量既可能是非負數，也可能是負數.|a|cos〈a，b〉的符號由cos〈a，b〉確定，取決于〈a，b〉的取值范圍！2.向量投影的數量|a|cos〈a，b〉的符號由cos〈a，3.向量數量積的幾何意義因為a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝（|a|cos〈a，b〉）|b|，所以兩個非零向量a，b的數量積a·b，等于a在向量b上的投影的數量與b的模的乘積.特別地，當e為單位向量時，因為|e|＝1，所以a·e＝|a|cos〈a，e〉，即任意向量與單位向量的數量積，等于這個向量在單位向量e上的投影的數量.3.向量數量積的幾何意義特別地，當e為單位向量時，因為|e|

四、向量數量積的運算律

我們已經知道，很多運算都滿足一定的運算律.

例如，向量的加法滿足交換律，數乘向量對加法滿足分配律，即對任意向量a，b以及實數λ，有a+b＝b+a，λ（a+b）＝λa+λb.根據向量數量積的定義，探討向量數量積的運算滿足哪些運算律，并說明理由.四、向量數量積的運算律我們已經知道，很多運算都滿足

證明：當a，b是兩個非零向量時，

因為〈a，b〉＝〈b，a〉，

所以根據a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，

b·a＝|b||a|cos〈b，a〉

可知a·b＝b·a，

即向量的數量積滿足交換律.

證明：當a，b是兩個非零向量時，

證明：當a，b都是非零向量且λ≠0時，（1）如果λ>0，則|λa|＝λ|a|，且λa的方向與a的方向相同，從而〈λa，b〉＝〈a，b〉，

因此（λa）·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉

＝λ|a||b|cos〈a，b〉

＝λ（a·b）；

證明：當a，b都是非零向量且λ≠0時，（2）如果λ<0，則|λa|＝-λ|a|，且λa的方向與a的方向相反，從而〈λa，b〉＝π-〈a，b〉，

因此（λa）·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉

＝-λ|a||b|cos（π-〈a，b〉）

＝λ|a||b|cos〈a，b〉＝λ（a·b）.當a，b中至少有一個是零向量或λ＝0時，顯然也有（λa）·b＝λ（a·b）.當然，用同樣的方法可以得到a·（λb）＝λ（a·b）.（2）如果λ<0，則|λa|＝-λ|a|，且λa的方向與a的思考：向量的數量積滿足結合律（a·b）·c＝a·（b·c）嗎？提示：不滿足.因為（a·b）·c表示一個與c共線的向量，

a·（b·c）表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線，所以（a·b）·c＝

a·（b·c）不一定成立.思考：向量的數量積滿足結合律（a·b）·c＝a·（b·c）嗎

當a，b，c中至少有一個是零向量時，分配律顯然成立.

因此下面只要說明a，b，c都不是零向量的情形即可.

當a，b，c中至少有一個是零向量時，分配律顯然成立.

向量數量積的常用結論:

向量數量積的常用結論:

一平面向量數量積的計算常考題型例1

已知|a|＝6，|b|＝5，當：（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a與b的夾角為60°時，分別求a與b的數量積.1.向量數量積的基本計算一平面向量數量積的計算常考題型例1已知|a|＝6，|b

C

C

2020高中數學新教材人教b版必修第三冊課件：第八章811向量數量積的概念812向量數量積的運算律2020高中數學新教材人教b版必修第三冊課件：第八章811向量數量積的概念812向量數量積的運算律

C

C

二、向量的夾角問題

二、向量的夾角問題

B

B

2.已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，求k為何值時，向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角.【解】因為e1+ke2與ke1+e2的夾角為銳角，所以（e1+ke2）·（ke1+e2）＝ke21+ke22+（k2+1）e1·e2＝2k>0，所以k>0.但當k＝1時，e1+ke2＝ke1+e2，它們的夾角為0°，不符合題意，舍去.綜上，k的取值范圍為k>0且k≠1.

2.已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，求k為何值時，向三、向量的模的問題

1.模的計算三、向量的模的問題

1.模的計算

C

D

C

D

2.模的最值

2.模的最值

◆模的最值的轉化方法求向量模的最值時，一般需要將模平方，轉化為基向量的數量積，研究數量積在共線同向或共線反向時的取值.亦可結合圖形，直觀分析取得最值的位置.◆模的最值的轉化方法

四、向量的投影例7［2019·福建龍巖高一檢測］已知向量a，b，其中|a|＝1，|a-2b|＝4，|a+2b|＝2，則a在b上的投影的數量為（）A.-1

B.1

C.-2