高中理科數學概率統計、各類分布列解答題類型以隨機事件概率為背景離散型隨機變量的分布列、均值【背一背重點知識】1隨機變量？SkipRecordIf...?所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，各事件概率之XiPi,s.求隨機事件概率為背景的離散型隨機變量的均值與方差公式?SkipRecordIf...?.注意事件中所包含關鍵詞，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含義.【講一講提高技能】1、必備技能：分類討論要保證不重不漏，且相互互斥.靈活運用排列組合相應方法進行計數.等可能性是正確解題的關鍵，在計數及求概率過程中嚴格保證事件的等可能性.【練一練提升能力】1.某中學高一年級共8個班，現從高一年級選10名同學組成社區服務小組， 其中高一（1）班選取3名同學，其它各班各選取1名同學.現從這10名同學中隨機選取3名同學，到社區老年中心參加“尊老愛老”活動（每位同學被選到的可能性相同）（1）求選出的3名同學來自不同班級的概率；（2）設X為選出同學中高一（1）班同學的人數，求隨機變量 X的分布列和數學期望.1分，反面向上得21分，反面向上得2分.(1)設拋擲5次的得分為？$即RecordIf...?，求?SkipRecordIf...?的分布列和數學期望？SkipRecordIf...? ；⑵求恰好得到?skipRecordIf...?分的概率.3、某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現 1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需|l名工人進行維修.每臺機器出現故障需要維修的概率為(1)問該廠至少有多少名工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不少于-1(2)已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人 1萬元的工資.每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修， 就使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤.若該廠現有2名工人.求該廠每月獲利的均值.以二項分布為背景離散型隨機變量的分布列、均值【背一背重點知識】?對應的事1若隨機變量？SkipRecordIf... ?服從二項分布，則？SkipRecordIf...?對應的事件是兩兩獨立重復的，概率SkipRecordIf...?為事件成功的概率.2求二項分布為背景的離散型隨機變量的均值與方差公式：若？SkipRecordIf... ?,則SkipRecordIf...【講一講提高技能】1.必備技能：利用離散型隨機變量的均值與方差的定義，也可求出二項分布為背景的離散型隨機變量的均值與方差，但計算較繁.因此判斷隨機變量是否服從二項分布是解決問題的關鍵.判斷方法有兩個，一是從字面上理解是否符合獨立重復條件，二是通過計算，歸納其概率規律是否滿足二項分布.【練一練提升能力】1.為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進行，每位選手最多有5次選答題的機會，選手累計答對 3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答又3題者直接進入決賽，答錯 3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為 2.3(1)求選手甲答題次數不超過4次可進入決賽的概率；(2)設選手甲在初賽中答題的個數己，試寫出己的分布列，并求己的數學期望.的次數為隨機變量X,的次數為隨機變量X,求X的分布列和數學期望TOC\o"1-5"\h\z2.近年來，我國電子商務蓬勃發展. 2016年“618”期間，某網購平臺的銷售業績高達 516億元人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對該網購平臺的商品和服務的評價系統. 從該評價系統中選出200次成功交易，并對其評價進行統計， 網購者對商品的滿意率為 0.6,對服務的滿意率為0.75,其中對商品和服務都滿意的交易為80次.(I)根據已知條件完成下面的2X2列聯表，并回答能否有99%勺把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”(n)若將頻率視為概率，某人在該網購平臺對服務滿意對服務不滿意合對服務滿意對服務不滿意合計對商品淞1息80對商品不滿意合計200附：K，=……（其中'=31b1c+d為樣本容量）P（好笠k）l0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635幸福度30666677889976553.（12幸福度3066667788997655現從調查人群中隨機抽取 16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分數（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉 ）:（1）指出這組數據的眾數和中位數；（2）若幸福度不低于9,則稱該人的幸福度為“極幸?！?求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕?；（3）以這16人的樣本數據來估計整個社區的總體數據，若從該社區 （人數很多）任選3人，記士表示抽到“極幸福”的人數，求己的分布列及數學期望.以正態分布為背景離散型隨機變量的分布列、均值1、正態分布概念：若連續型隨機變量1、正態分布概念：若連續型隨機變量的概率密度函數為f(x)^Ue2,x(,)，2其中，為常數，且0,則稱 服從正態分布，簡記為 ?N標準正態分布曲線fx的圖象稱為正態曲線。標準正態分布曲線2、正態分布的期望與方差2若?N,，則E,D3、3、(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交.(2)曲線關于直線x=^對稱.(3)曲線在x=(i時位于最高點.(4)曲線與x軸之間的面積為1(5)當一定時，曲線的位置由科確定，曲線隨科的變化而沿 x軸平移(6)當科一定時，曲線的形狀由b確定.b越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；b越小,曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.4、正態分布在三個特殊區間內取值的概率值

P(XP( 2 XP(XP( 2 XP( 3 X)0.68262)0.95443)0.99741、語文成績服從正態分布 N(100,17.3),數學成績的頻率分布直方圖如下:(I)如果成績大于135的為特別優秀，這500名學生中本次考試語文、數學特別優秀的大約各多少人(假設數學成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的)(II)如果語文和數學兩科都特別優秀的共有 6人，從(I)中的這些同學中隨機抽取3人，設三人中兩科都特別優秀的有X人，求X的分布列和數學期 望^ XN(,2) ,則P(X)0.68P( 2X 2)0.96.00016000fl400016000fl42、.為評估設備？SkipRecordIf... ?生產某種零件的性能，從設備？SkipRecordIf... ?生產零件的流水線上隨機抽取 100件零件最為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直性小im5859616263646566676869707173合計件數I13561933IK442121 100經計算，樣本的平均值。0「口dlf o ,標準差?SkiD Rec0rd If ?，以頻率? SkipRecordIf... ? ■SkiP Record 1f… ■值作為概率的估計值.(1)為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零點中任意抽取一件，記其直徑為 ？SkipRecordIf... ?,并根據以下不等式進行評判(？SkipRecordIf... ?表示相應事件的頻率)；?SkipRecordIf... ? ?SkipRecordIf... ?③。D"Ifo.評判規則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲;?SkipRecordIf... ?僅滿足其中兩個，則等級為乙，若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備？SkipRecordIf... ?的性能等級?⑵將直徑小于等于？SkipRecordIf... ?或直徑大于?SkipRecordIf... ?的奪件認為是次品(i)從設備？SkipRecordIf... ?的生產流水線上隨意抽取 2件零件，計算其中次品個?Sk5Rec0rdIf... ?的數學期望?SkipRecordIf...(ii)從樣本中隨意抽取 2件零件，計算其中次品個數 ？SkipRecordIf... ?的數學期望?SkipRecordIf...3.從某企業生產的某種產品中抽取 500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下圖頻率分布直方圖：(I)求這500件廠品質量指標值的樣本平均值 ？SkipRecordIf?和樣本方差？Skip

RecordIf...（同一組的數據用該組區間的中點值作代表）RecordIf...（同一組的數據用該組區間的中點值作代表）(II)由直方圖可以認為，這種產品的質量指標 ?SkipRecordIf?服從正態分布-H - ?SkipTOC\o"1-5"\h\zRecord1f... ?’其中？SkipRecordIf... ?近似為樣本平均數？SkipRecordIf... ?’?SkipRecordIf... ?近似為樣本方差？SkipRecordIf... ??(i)利用該正態分布，求 ；?SkipRecordIf... ?（ii）某用戶從該企業購買了 100件這種產品，記?SkipRecordIf... ?表布這100件產品中質量指標值位于區間 ？SkipRec0rd1f?的產品件數.利用（i）的結果，求？SkipRecordIf...附：？SkipRecordIf...若?SkipRecordIf若?SkipRecordIf...則?SkipRecordIf...?SkipRecordIf...與莖葉圖，頻率分布直方圖有關的概率，分布列與均值1.某校高一(I)班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如下圖.(I)求分數在SkipRecordIf...?的頻率及全班人數;(I)求分數在SkipRecordIf...?的頻率及全班人數;?SkipRecord)求分數在？SkipRecordIf... ??SkipRecord1f?間矩形的高;II...(“)若要從分數在?SkipRecordIf... ?之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，求在抽取的試卷中，至少有一份分數在?SkipRecordIf... ?之間的概率.2、2016年，某省環保部門制定了 《省工業企業環境保護標準化建設基本要求及考核評分標準》，為了解本省各家企業對環保的重視情況，從中抽取了 40家企業進行考核評分，考核評分均在⑸,1刈內，按照［50,60）|,［dO,7。），［70,8。），⑻，憾，［犯100〕的分組作出頻率分布直方圖如圖（滿分為100分）.（I）已知該省對本省每家企業每年的環保獎勵 y（單位：萬元）與考核評分|乂的關系式為-7,50Wx<60,L13；TOIx<80；（負值為企業上繳的罰金）.試估計該省在2016年對這40家6,00x<100企業投放環保獎勵的平均值；（n）在這40家企業中，從考核評分在80分以上（含80分）的企業中隨機抽取3家企業座談環保經驗，設X為所抽取的3家企業中考核評分在［的，1?。）內的企業數，求隨機變量K的分布列和數學期望.4附ug"iid.'sj.(1啊+*■rix隰3、某校舉行運動會，其中三級跳遠的成績在8.0米（四舍五入，精確到0.1米）以上的進入決賽，把所得數據進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小組的頻數是7.

(I)求進入決賽的人數；(n)若從該校學生(人數很多)中隨機抽取兩名，記*表示兩人中進入決賽的人數，求丫的分布列及數學期望；(m)經過多次測試后發現，甲成績均勻分布在 8?10米之間，乙成績均勻分布在9.5?10.5米之間，現甲，乙各跳一次，求甲比乙遠的概率.4、未來制造業對零件的精度要求越來越高. 3D打印通常是采用數字技術材料打印機來實現的，常在模具制造、工業設計等領域被用于制造模型，后逐漸用于一些產品的直接制造，已經有使用這種技術打印而成的零部件.該技術應用十分廣泛，可以預計在未來會有廣闊的發展空間.某制造企業向 A高校3D打印實驗團隊租用一臺3D打印設備，用于打印一批對內徑有較高精度要求的零件.該團隊在實驗室打印出了一批這樣的零件，從中隨機抽取10件零件，度量其內徑的莖葉圖如圖所示(單位：科城.977?M?A4(I)計算平均值科與標準差b(n)假設這臺3D打印設備打印出品的零件內徑Z服從正態分布N(w,b);該團隊到工廠安裝調試后，試打了5個零件.度量其內徑分別為(單位：科成：86、95、103、109、118,試問此打印設備是否需要進一步調試，為什么參考數據：P(^-2(t<Z<^+2(t)=0.9544,P(^-3(r<Z<^+3(r)=0.9974,0.95443=0.87,0.99744=0.99,0.04562=0.002.以隨機事件為背景（答案）1、試題分析；求得所有基本事件的種數以及符合題意的基本事件種數，利用古典概型從而求解，⑵求得豕二以1,3時的概率，得到分布夕usm可求解期望.試題解析：（D設”選出的3名同學來自不同班期”為事件d,則打冷=更單近二黑？，選出的謂6049了名同學來自班級的擷率為含5⑵隨機變量￡的所有可能值為Oj1,2,3,則r*°cJ7 rr221 C^C17/￥=0）=亨%V=D=當■二為 WV=2）=W^=，

???隨機變量？SkipRecordIf... ?的分布列是SkipRecordIf...?Skip?Skip?Skip?Skip?SkipRecordRecordRecordRecordRecordIf...If...If...If...If...??????Skip?Skip?Skip?Skip?SkipRecordRecordRecordRecordRecordIf...If...If...If...If...?????隨機變量？SkipRecordIf... ?的數學期望SkipRecordIf...2、試題解析:⑴一臺機器運行是否出現故障可看作一次實轉,在一次試縫中？機器出現故障設為事件(師博件A的概率為3該廠有4臺機器就相當于4次獨立重復試驗,可設出現故障的機密臺數為處-3(4,/a=幻=加?■鏟=蕓，9=G嚀入：=器即乂的分布列為:X01234P32鼠網8pi]1si設該廠有卜名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修”為X近n|，即X:0,X=1,X=2,…，X=n,這?1個互斥事件的和事件，則In0123420(Wri)468?80同1???,延1m總，，.?.至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不少于90%.(2)設該廠獲利為|丫萬元，則卜的所有右能取值為：18,13,8,P(Y=⑻=P(X=0)||+PfX=1}+PCX=2)二隼PCY=13)=P(X=3)=，，P1￥=盼=P(X=4)=即中的分布列為：18二72 9 11dae| Mce則E(Y)=18、誦+13X琳+8X肝二胃.故該廠獲利的均值為丁.以二項分布為背景

2a81、（i）選手甲答3道題進入決賽的概率為33=方，選手甲答4道題進入決賽的概率為C2-22?1?2=2,3 332（TOC\o"1-5"\h\z8 8 16???選手甲答題次數不超過4次可進入決賽的概率P=三+芯=方；23 13 1⑵依題意，七的可取取值為3、4、5,則有P（己=3）=§+3…，、々2 21 2 々1 22 1 10…_、o2p（E =4）=c3 ?3?3?3+ C3 .3 3 3=2（，p（E =5）=C4 ?32 2 22 2 2?§+C4?一,一=T-3 327'1 10=3X—+4X1 10=3X—+4X——+5X3 27345P1310278278 10727=W7,2、（I）2X2列聯表:對服務滿意對服務不滿意合計對商品淞i息8040120對商品不滿意701080合計15050200因為11.Ill>6,635,■) 200X[00X10-40X70)上- StII| [1]150X50M120X80 * “所以能有99%勺把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”.(II)每次購物時，對商品和服務都滿意的概率為目3的取值可以是h2,3二6二仁尸二6二仁尸二正：P3=1]■J* _L，匕)5+守二而」F?=2)=或&P逮=3卜紇?工X?。二X的分布列為:0123|27541368P125|125|1251253、【解】(1)眾數：8,6;中位數：(2)由莖葉圖可知，幸福度為“極幸福”的人有4人.設A表示所取3人中有i個人是“極幸?！?，至多有1人是“極幸?！盋32c4c22 121記為事件a,則P(A)=p(a)+p(a)=c^+-C3r=1454(3)從16人的樣本數據中任意選取1人，抽到極幸布的人的概率為—TOC\o"1-5"\h\z1 1=1,故依題意可知，從該社區中任選1人，抽到“極幸?！钡娜说母怕蔖=14 4七的可能取值為0,1,2,3c 33 27c 1132 27P（'。）=4=64；P（±=1）=G44=642123 9 13 1P㈠=2）=C344=64；P㈠=3）=4=64所以己的分布列為0123p2764276496416427 27 9 1“0x64+1x64+2x64+3X64=TOC\o"1-5"\h\z1 1另解由題可知”B3,4,所以E"3X4=.以正態分布為背景試題分析；⑴根據正態分布的矢瓦巴可分別求得語文特別優秀與數學特^優秀的概率，由此可求得特別優秀語文、數學的人幼：（ID首先求得X所有可能的取值，然后分別求得木腑概率，由此列出分布列,求出期望.TOC\o"1-5"\h\z試題解析；口）語文成績特另Kt秀的班率為風=尸（星=135）=（1—0一9a乂；=?！?, 1分數學成績特別優秀的概新內=0.0016x20x1=0.024, 3分4語文成績特別優秀人數為500求02=10A.數學成獲特別優秀人數為5。0乂“24=12人. 5分《II）語文數學兩科都優秀的6人,單科優秀的有10A,X所有可能的取值為o,1,2,3..尸途=1）二分布列為:10分尸途=1）二分布列為:10分X0123P3142756155612811分TOC\o"1-5"\h\z3 27 15 1 9數學期望 E(X)0 — 1 27 2 — 3 — 9.14 56 56 28 8試題分析：CD運用相關系數進行判別推理j(2)運用貝努力分布的幾何分布求解期望.試題解析：(1)尸(以一療c￡W以+=^62.8<X<67.2)=0.8>D6826P(//-2￡7<T</j+2仃)=P(50.6 69.4)=。94<0.9544PO-3o-<^^/j+3tx)=J?(58.4<^<71.6)=0.98<0,9974因為設備期的數據僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙jC2)易知樣本中次品共6件：可估計設備M生產零件的次品率為憶比.(i)由題意可知了?砥=OS&b于是衛(7)=八1106=。_1L(ii)由題意可知Z的分布列為Z0I2TOC\o"1-5"\h\z匕 eq c；c\ 豆 匚、故耳(2)=0父學+1父^^+2父*=±=。，12.3、試題分析：(I)由頻率分布直方圖可估計樣本特征數眾數、中位數、均值、方差.若同一組的數據用該組區間的中點值作代表，則眾數為最高矩形中點橫坐標.中位數為面積等分為 的點.均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值. 方?SkipRecordIf... ?差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權平均值. (II)(i)由已知得，?SkipRec0rdif... ? 一一.故 一一一_ ..一 .一一_ .?SkipRecordIf... ? ?SkipRecordIf... ??SkipRecordIf... ??SkipRecordIf?;(ii)某用戶從該企業購買了 100件這種產品，相當于 100次獨立重復試驗，則■■■這100件產品中質量指標值位于區間 的產品件數c”?SkipRecordIf… ? ?SkipRecordIf… ?'故期望？SkipRecordIf... ?,試題分析：口)抽取產品的質量指標值的樣本平均值,和樣本方差一分另為1=170x0一02+180x0一09+190x0一22+200x0.33+210x0.24+220x0.08+230x0.02=200,=(-3Q)2xO.D2+(-20)3xD,D9+(-lQ:xQJ24-0><033-1-10:^Q,244-2020,08+30=0,02=15。.(IDG)由CD知,ZJ覬正態分布N0XU5CI),從而尸[187.8vZ<2122]+12.2)=0.6826.(ii)由(i)可知，一件產品的質量指標值位于區間 ？gypRecordIf?的概率為？SkipTOC\o"1-5"\h\zRecord,…?，依題意知？SkipRecordIf... ?'所以？SkipRecordIf... ??與莖葉圖，頻率分布直方圖有關的概率，分布列與均值(答案)1、【答案】⑴頻率為?SkipRecordIf... ?，全班人數為？SkipRecordIf... ?；(II)頻數為？SkipRecordIf... ?,矩形的圖為？SkipRecordIf... ?；(")?SkipRecordIf... ?【解析】試題分析；（1）分數在［50,6。）的頻率為第一組矩形的面積，全班人數為該組的頻數與頻率的比值j3用全班人數送去其余組的人數為世。尸。）之間的頻數，用該組的頻率與組距的組距的比值為為邸的高J<3>苜先用列舉法列舉出所有的基本事件，然后找出符合題意的基本事件個藪，從而加問古典概型概率公式計算即可.試題解析；（1）分數在I5&60）的頻率為0.008x10=092,由莖葉圖知；分數在［5660）之間的頻數為乙所以全班人數為相總=25.<2）分數在腳。尸。）之間的頻數為25—22=3）頻率分布直再圖中［8。尸Q）間的矩形的高為a-10=6Q1，(“)將？SkipRecordIf...?之間的3個分數編號為SkipRecordIf...(“)將？SkipRecordIf...?之間的3個分數編號為SkipRecordIf...'?SkipRecordIf...?之間的2個分數編號為SkipRecordIf...在?SkipRecordIf... ?之間的試卷中任取兩份的基本事件為:?SkipRecordIf... ?'?SkipRecordIf... ?'?SkipRecordIf... ?'?SkipRecordIf... ?'?SkipRecordIf... ?'?SkipRecordIf... ?'?SkipRecordIf...?SkipRecordIf.... 共10?SkipRecordIf...?'?SkipRecordIf... ?'?SkipRecordIf... ? '其中，至少有一個在?SkipRecordIf...其中，至少有一個在?SkipRecordIf...?之間的基本事件有7個,故至少有一份分數在?SkipRecordIf...故至少有一份分數在?SkipRecordIf...?之間的概率是?SkipRecordIf...2、【解析】（I）2、【解析】（I）由題意可知,1-(0.041g.025IC.02i工OT51XW■o所以考核評分與企業數的對應表如表:考核評分