第一章隨機事件的概率第三節條件概率與乘法公式一、條件概率的概念需要研究事件A發生的概率PA)是在一般的樣本空間的條件下考查事件A發生的概率PA)進一步獲取一定信息的基礎上再考查事件A發生的需要考查B下，事件A發生的概率。一般地說，這兩種概率未必相同。為了區別起記為PA|B)B下事件A的概率。條件概率是概率論中一個既重例1有兩個小孩的家庭其樣本空間為

其中b代表男孩g代表表示大的是男孩、小的是。其S4個樣本點等可能情況下，來如下一些事件的概；4顯然PA)；4若已知事件B“家中至少A發生的概率，；P(A|B)；3（3）P(B)

P(AB)，， ，，2434P(A|B)224343

P(P(B) 為了合理地給出條件概率的定15030是一級品，10件是二級50件產品中任意1（設B由于50件產品中有30一;P(A)30; P(A|B)30 可見P(A|B)P( 定義呢？從分析上面的例1著手，先計算P(BPAB。由于5040;P(B)40; AB表示“取得的產品是合50中只有30件既是合格品又是一級,P(AB)30, P(A|B)34

P(3545,3545,由上式的啟發，定義條件定義7AB為試驗E的兩個事件，且P(B)0,則稱P(A|B)

P(

BA發條件概率也具有一般概率的性質。當P(B)0時有：A； P(A|B)P(AB)；P(S|B)

P(SB)；；nn則P(

nn|B)P(

|B) P(Ai|B)P(Ai|B) AP(A|B)1P(A|B)事實上PA|B)

P(AB)

P(BP(B)P(AB)1P( 1P(A| 記PB(A)P(A|B（AF

也是定義在(SF

上的一個概率測度函數（B有關(SFPB2106設A2B1

P(A|B)

P(P(B)C4CC4而P(B)P(B0)1P(B0)1 6 C4 事件AB表示所取4ABB1B2,且

,故由概率的有限可加性及概率的古 2C , ,C4C1

C4C10P(A|B)

P(AB)

.若P(B)0,由PA|B)

P(P(B)P(AB)P(B)P(A|B),(P(B)0)若PA)0,由P(B|A)

P(PA)P(AB)P(A)P(B

A),(P(A)0)上述式(1.7)和式(1.8)均稱為乘法公式。它在概率的計算中有重要作乘法公式可推廣到任意有限多個事件的情P(A1A2An1)0P(An|A1A2An1),P(An|A1A2P(A)P(A1A2)P(A1A2A3)

P(A P(AA

P(AA

P(A1A2An（證畢3袋中有5白球和4球。從中作不放回抽取兩次，每次A“取到兩個白球”,B“取到兩種顏Ai“第i因為AA1A254 (或直接求PA)5459 由于B

且A1A2與A1A2互不相容，5445 C(或直接做P(B) 4 C 或P(B)

5445)9 )4已知PA)0.6P(B)0.8PA|B0.35,求P(BA和PA|解：由PA|B)0.35P(A|B)1P(A|B)0.65P(AB)P(B)P(A|B)0.80.650.52P(BA)P(BA)P(BA)1P(A1[P(A)P(B)P(1P(A)P(B)[1P(A|1P(A)P(B)P(A|10.60.80.350.40.280.12(或P(BAP(BAP(ABPAP(A)P(1P(A)P(B)P(A|10.60.80.350.40.280.12P(A|B)

P(AB)

P(A)P(AB)0.6

0.41

例設PA)aP(B)b,(b0)試證PA|B)

ab.b.1P(AB)P(A)P(B)P(AB)abP(AB)得P(AB)ab1 P(A|B)

P(AB)

ab1 第四節全概率公式與公定理一設事件組B1B2,

滿足：nn（1）BiS（3）P(Bi)0,i1,2,nA，恒有nnP(A)P(Bi)P(A|Bi),A

AS

nnA

nn(ABi)

互不相容知AB1AB2,ABn亦互不相容，故由概率 P(A)P(ABi)P(Bi)P(A|Bi 問題復雜化了，其實不然。在實際中事件A比較復雜不容易計算其概率PAP(BiPA|Bi都比較容易計算，那么，應用全概率公式就容易把PA概率公式的關鍵往往在于找到滿足定理中條件的事件B1B2,,Bn。一般地說，事件B1B2,,Bn是可能導Ann（定理一中的條件Binn可減弱為BiA B1B2,Bn,（1）

SB1B2,Bn,，P(Bi)0,i1,2,,，P(A)P(Bi)P(A|Bi),(1.10)（1.10例1某廠用三臺機床生產了同樣規格的一批產品,各臺機床的產60%,30%,10%,次品率依次為4%,3%,7%.現從這批產品中隨機ABi“取到第ii B1B2B3是可能導致事A發生的全部“原因.

S,且B1B2B3P(B1)

,P(B2)

,P(B3)

10又已知PA|B)4PA|B)3PA|B)7

33P(A)P(Bi)P(A|Bi

例2設某昆蟲產k個卵的概率e為

0

p(0p1),且各個卵能否孵化成幼蟲是相互獨立的,求該昆蟲有后代的解設ABk

該昆蟲產k易知,事件組B0B1B2,Bn,滿足P(Bk)

ek

A每個卵都沒孵化成幼P(A|Bk)(1

p)k,

P(A) P(Bk)P(A|Bkkk

e

p)k

k

[(1p)]ke

e(1

ep從而P

1

P(

1ep xx

xxk0 (有人這樣作PA|Bk

pk,

P(A)k

)P(A|Bk

k

ekpke(ep 兩種結果不一樣，誰對誰錯,P(A|Bk)

pkk個卵都孵化幼蟲了,其實該昆蟲k個卵中至少有一個孵化幼蟲

P(A|Bk)

pkP(A|

))Cp(1k

p)k

p)kP(A)k

)P(A|Bk

k

[1(1p e1

二、(Bayes)公A已經發生了,問這件次i臺機床生產的概率多大？即求

|

,i 由上例知

P(A)

件概率定義、乘法公式及全概

|A)

P(ABi)P(

P(Bi)P(A|Bi P(Bj)P(A|Bjj因此概率P(Bi|A定理二設事件組B1B2,

滿足：nn（1）BiSA(PA)0)

|A)

P(ABi)P(

P(Bi)P(A|Bi P(Bj)P(A|Bj 例3根據以往的臨床記錄,某 的試驗具有如下的效果:以A表“試驗反應為陽性”,C表示“被者患有”,則PA|C0.95,PA|C0.95.現對一大批人進行普查,設被試驗的