應用虛功原理求剛體體系的位移結構位移計算的一般公式§5-1§5-2§5-3荷載作用下的位移計算第5章 虛功原理與結構位移計算§5-4、5

位移計算舉例 圖乘法§5-6

溫度作用時的位移計算§5-7

靜定結構由于支座移動時的位移計算§5-9

互等定理3cct1t2

t1§

5-1

應用虛功原理求剛體體系的位移一、結構位移計算概述計算位移的目的：（1）剛度驗算，（2）超靜定結構分析的基礎產生位移的原因：（1）荷載（2）溫度變化、材料脹縮（3）支座沉降、制造誤差

AVBV以上都是絕對位移以上都是相對位移廣義位移2012-12-6位移計算雖是幾何問題，但是用虛功原理解決最方便二、虛功原理1、實功與虛功P1P2Δ11Δ22Δ12荷載由零增大到P

1，其作用點的位移也由零增大到Δ11

，對線彈性體系P與Δ

成正比。ΔΔ11P1再加P2，P2在自身引起的位移Δ22

上作的功為：Δ12與P1無關dWOAB2012-12-6

ΔKj實功是力在自身引起的位移上所作的功。如W11，W22，實功恒為正。虛功是力在其它原因產生的位移上作的功。如W12，如力與位移同向，虛功為正，反向時，虛功為負。產生位移的原因4位移發生的位置在Δ12過程中，P1的值不變，W12

P11222

2

222W

1

PW11

dW

2

P111元功：dW

Pd1P52、廣義力與廣義位移作功的兩方面因素：力、位移。與力有關的因素，稱為廣義力S。與位移有關的因素，稱為廣義位移Δ。廣義力與廣義位移的關系是：它們的乘積是虛功。即：W=SΔ廣義力是單個力，則廣義位移是該力的作用點的位移在力作用方向上的分量廣義力是一個力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉角β。PttABPΔBΔAΔBmAB3

若廣義力是等值、反向的一對力PW

PA

PB

P(A

B)

P這里Δ是與廣義力相應的廣義位移。表示AB兩點間距的改變，即AB兩點的相對位移。m

A4）若廣義力是一對等值、反向的力偶mW

mAmB

m(AB)

m這里Δ

是與廣義力相應的廣義位移。表20示12-A12B-6兩截面的相對轉角。6abACc1B

?P=1ABCa

b1R三、虛力原理已知c1

求虛功方程設虛力狀態a11R

a

Pb

0R

b1

11

R

c

0b

c1

a小結：（1）形式是虛功方程，實質是幾何方程；（2）在擬求位移方向虛設一單位力，利用平衡條件求出與已知位移相應的支座反力。構造一個平衡力系；（3）特點是用靜力平衡條件解決幾何問題。2012-12-6單位荷載其虛功正好等于擬求位移。——虛設力系求剛體體系位移2012-12-67四、支座位移時靜定結構的位移計算（2）桿CD

的轉角l2l3l3ABCDABCD11323ABC

D12l12

3l

2l已知位移cA

求:（1）C點的豎向位移ccAc3cA1

1

1

c

01c

3

cAA2

1

1

c

0A2l2l

1

c所得正號表明位移方向與假設的單位力方向一致。步（3）解方程得

Rk

ck定出方向。求（1）沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；驟解（2）建立虛功方程

1

Rk

ck

0靜定結構由于支座移動時的位移計算僅用于靜定結構ab

l/2l/2hh

Rc

a弧度Y

0B

1hXYB

01h

AX

A

Rkck例如：求三鉸剛架中間鉸兩側截面的相對轉角，鉛垂位移

b

l/2l/2h

la

b4h

22)a

Rc

(

la

bk

k

4hLXB

4hA

L4hXAY

1/2YB

1/2

Rkck求鉛垂位移§5-2結構位移計算的一般公式——變形體的位移計算一、變形體虛功原理：各微段內力在應變上所作的內虛功總和Wi，等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和We

。即：11位移計算公式也是變形體虛功原理的一種表達式。

(M

NQo

)ds

Rkckc1c2t1

2tKK1R1R2ds

ddsdoddsdsMdsdsQ外虛功：We

1

Rk

ckN內虛功：Wi

M

NQ

ds

o變形體虛功原理：各微段虛內力在真實應變上所作的內虛功總和Wi

，等于單位荷載在真實位移上以及支座反力（單位力引起的）在支座位移上所作的外虛功總和We

。即：2012-12-61

kkoR

c

M

NQ

ds12二、位移計算的一般步驟:c12ct1

2tKK1R12R實際變形狀態

虛力狀態

(M

NQ匠)ds

Rkck建立虛力狀態：在待求位移方向上加單位力；求虛力狀態下的內力及反力M.N.Q.Rk表達式;用位移公式計算所求位移，注意正負號問題。2012-12-6kM.N.Q.R

2012-12-613

(M

NQ匠)ds

Rkck三、適用范圍與特點：適于小變形，可用疊加原理。形式上是虛功方程，實質是幾何方程。關于公式普遍性的

：變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。變形原因：荷載與非荷載。結構類型：各種桿件結構。材料種類：各種變形固體材料。2012-12-614§5-3

荷載作用下的位移計算研究對象：靜定結構、線性彈性材料。

(M

NQ汗)ds重點在于解決荷載作用下應變、、汗的表達式。一、計算步驟（1）在荷載作用下建立MP.NP.QP的方程，可經由荷載內力應力應變過程推導應變表達式。（2）由上面的內力計算應變，其表達式由材料力學知GAQP汗

MP

NP

kEI

EAk--為截面形狀系數1.21091AA(3)

荷載作用下的位移計算公式GA

EAEIdsNNP

ds

MMP

ds

2012-12-615EI二、各類結構的位移計算公式（1）梁與剛架

MMP

ds（2）桁架

EA

EAEA

NNP

ds

NNP

ds

NNPlEI

EA（3）拱或曲桿

MMP

ds

NNP

ds（4）組合結構

MMP

ds

NNPlEI

EA梁式桿鏈桿2012-12-616ql

2A

CBAVl

2(a)

實際狀態xP=1ACBl

2l

2(b)

虛設狀態2l

AC段0

xQP

0N

0CB段

2

l

x

l

MP

0

NP

0

Q

1

M

x

NP

02P2

q

x

l

M22

l

Q

q

xP

N

0

M

x

Q

1x例1.

試計算懸臂梁A點的豎向位移AV

,EI

C。1）列出兩種狀態的內力方程：2012-12-62l

AC段0

xQP

0CB段

2

l

x

l

MP

0

NP

0

M

x

N

0NP

02P22

x

Mq

l

2l

Q

q

xPQ

1N

0

M

x

Q

12)

將上面各式代入位移公式分段積分計算AVAC段20

x

l

在荷載作用下的內力均為零，故積分也為零。

lCB段

2

x

lll2

EI

2

GAl

MMlPdxPdx

ll

x2

EIq

l

2

dx

x2

2Pdx2

EIl

MMM

l

2EI

192

384EI17q

7l47ql42012-12-618CB段

2

l

x

lNP

02P2

x

Mq

l

22

l

Q

q

xPN

0

M

x

Q

1

lll2

EIq

l

2

dx

x

x2

22

EIl

MM

P

dxM

2EI

192

384EI7ql4q

7l4l3ql

2

Q2l

1.2

1

qx2

GAl

dx20GA2

GAl

l384EI20GA24

3qlM

Q

7ql設為矩形截面k=1.2193）7ql4

3ql2384EI

20GAM

Q

GAl2EI384EI比較剪切變形與彎曲變形對位移的影響。3ql2

20GA

8.23M

7ql4Q3G設材料的泊松比

1

,由材料力學公式E

21

8

。12bh3設矩形截面的寬度為b、高度為h，則有

A

bh,I

3,代入上式2

8.23

1.83

8.23M

GAl

l

h23

12

l

EI

8 1

h2Q

1.83%;當h

1

時,

Q

7.32%l

5

M當h

1

時,

Ql

10

M2012-12-6虛擬荷載1200<

1

MΔNΔ<

1400ΔQΔM=ΔNΔM

ARI2ΔMΔQR2h2=k

EI

=

1GAR2

4可見剪切變形和軸向變形引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不計。但對于深梁剪切變形引起的位移不可忽略.h

<1R

10如

12

R21

h例3：求圖示曲桿（1/4圓弧）頂點的豎向位移ΔΔ

鋼筋混凝土結構G≈0.4E解：

矩形截面,k=1.2,I/A=h2/121）虛擬單位荷載2

實際荷載MP

PRsin

NP

Psin

QP

Pcos

3

位移公式為M

Rsin

N

sin

Q

cos

GAEAEIkQPQ

dsNPNds

MPM

ds

2

sin

2

dEA0

GA

EI202cos

dkPR

PR3

PR

PR3

PR

kPR4

EI

4

EA

4

GA

M

N

Q21Pl/2l/2EIABxxm=1積分常可用圖形相乘來代替例4：求圖示等截面梁B端轉角。解：1）虛擬單位荷載2）MP

須分段寫2lPxMP(x)

22P(0

x

)2(

l

x

l)M(x)

P(l

x)(0

x

l)M(x)

xl

l

M

P

MBdxEI0l2

0l2

Px

(

x

)

1

dx

2

l

EI

l2(

)

dx2012-12-616EI

PlP(l

x)

x

12

l

EI1

l1lx§5-5

圖乘法位移計算舉例iEIk

ds

MMMiMkdxEIEIC

1EI

EIMMP

dx

y0EI0

1

y0EI

1

atn

×

xBAkxMdxEI

1

tanBAkdxEIM

xtaniEIMi是直線

1k

dx

MM直桿αMiMi=xtanαyxdxxy0Mkωx0y0=x0tanα注：①∑表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。②圖乘法的應用條件：a）EI=常數；b）直桿；c）兩個彎矩圖至少有一個是直線。③豎標y0取在直線圖形中，對應另一圖形的形心處。④面積ω與豎標y0在桿的同側，ω

y0

取正號，否則取負號。(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2lhl/2

l/2h3l/4

l/4二次拋物線ω=hl/35l/8

3l/8二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4h(n+1)l/(n+2)

l/(n+2)n次拋物線ω=hl/(n+1)頂點⑤幾種常見圖形的面積和形心的位置：a

bh頂點頂點二次拋物線ω=2hl/3

頂點

頂點Pl/2EIABm=11/2Pl/4l/2B

1 1

Pl

l

1

PlEI

2

4

2

16EI2MMPMPP=1l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqABM

1 1

ql2

3

ql4BEI

32

l

l4

8EI例：求梁B點轉角位移。例：求梁B點豎向線位移。ql2/23l/4⑥當圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a.

曲桿或

EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b.當EI分段為常數或M、MP均非直線時，應分段圖乘再疊加。PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaMPP=13a/4MEI

2

3

2

2

2

23Pa3

1

Pa

a

2

a

2

a

23a

4

a2Pa

a/2a/2EI

2

4

1 1

3a3aPa24EI例：求圖示梁C點的撓度。Pl/2l/2CMPPlCP=1l/2Ml/6=

1

Pl

2

l

==

Pl

3EI

2

6

12

EICD3

5

Pl

48

EI×

lP5CEI

2

2 2

6×

×

0

y

1

l

l5Pl/6？？⑦非標準圖形乘直線形a）直線形乘直線形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2

l2ac2bdadbc

al

2c

d

blc

2d2

3 3

2

3

3

i

k

1

12

2MMdxyyMiMk6各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標在基線同側乘積取正，否則取負。S

=

9/6×（2×6×2

+2

×4×3+6

×3+4×2）

=111（

1）32649S

=

9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）

=

－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15S

=

9/6

×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）=

3323649（2

）

（3）26349（4

）2369labdch+ba＝h6S

lb)非標準拋物線乘直線形例：預應力鋼筋混凝土墻板單點起吊過程中的計算簡圖。已知：板寬1m，厚2.5cm，混凝土容重為25000N/m3，求C點的撓度。2ac

2bd

ad

bc

2hl

c

d3

2q=625

N/m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2.2m

0.8mABC解：q=25000×1×0.025＝625

N/

mE=3.3

×1010

N/

m2

I=1/12

×100×2.53cm4=1.3

×10-6

m4折減抗彎剛度

0.85EI=0.85

×1.30×10-6×3.3×1010=

3.6465

×104

N

m2200378P=10.8MPMq=625N/m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2.2m

0.8mABCω1y1ω33.646512200.5335550.453.30.62103

m

0.2cmy3ω2y212折減抗彎剛度0.85EI=3.6465

×104Nm21

2

200

2.2

220y1

3

0.8

0.53310.85EI(1

y1

2

y2

3

y

3)C

32

2

378

2.2

55511y2

2

0.8

0.43

3

200

0.8

53.343y

3

0.8

0.6P=11ly2y3M32

3

2

ql

l

ql

3

8

12

1

ql

2EI2

2

3

32

l

ql

22

l

ql

21

1MyEIy

l

3

ql

4

1

yN1N

0y1→→→qllql2/2ql2/8qlql/2MPω1ω2ω2BNP=0

90012

12

h

1l

104

bhM

N

9

l2h23bhl3

Al

22

EA8

EI4

3ql

24

3

12 2

83

EI3

ql

4

4

INEA

2

EA2

NN

Pl

ql

×1×EA

2l

ql

求AB兩點的相對水平位移。3618MPP=1P=163M

1

16

3

6

18×3×2×3

-756EI×36

3×

×

×4

2

3EI2

1

6

2×36×6

2×18×3

36

×3

18×6

2×6×9×3

6

EI

6

3→→→→↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m6m3m3mAB常數94kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4kN2kN/m4m4mEIAB求θB12kN.m5kN844MPkN.m1MkN.mqlB12↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEI1BVl

3EI2

2

3

8 2

24EI

1

1

3ql22l

2lql2

l

11ql4ql2

/83ql2

/2MPlM求B點豎向位移。6EI

61

4

4B

212

0.5

8

0.5

2

8

0.5

2

4

1

81

4

0.52

4

4

0.75

203

3EIllM

PM

1

dxEIdxEIM

Ml1l1P

1lldxdxEIl11

M

MMPM2EI0P1

llEIEIl1MPM2

dx01

M

PM

1

dxM

dx—

1lMMEI

l1

P

1

2lM

PM

d1x0

1EIMPMPxq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ll1M1M1M2例：試求等截面簡支梁C截面的轉角。q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓l/54l/52ql2/25ql2/8MP1/5

14/51=2ql22

l

ql2

l

Cl

12EI

3

8

12

ql2

100EI

33ql3M5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCEF15kN50kN.m2535

D10201kN2kN10101020AH

3187.5EI2

1.594

10m求A點水平位移。P=1MPql2/2ll/2AB2EIEIl/2M求B點的豎向位移。256

EI2EI

3

32l

l

0.5l

2

21 2

ql22

EI

6l

ql2

l

ql2

l2

2

2

8

17ql42

2

l

1

0.5l

ql2

ql22

8BEI

3

8

2

423

l

BB2EI

3

8

21 1

ql2

l1 1

3ql2

l

q↓

E1I

31

q2l2

34l

8qElI4

？ll/2y0？ql2/32ql2/8↓↓↓↓↓↓↓↓y0求ΔDVPPP4m×3=12m3mABDC－8PP=1－4/30000000000DV3EA3

3

EA31

P

1

3

5P

5

5

8P

4

4

280P－1－3P2-1、圖示虛擬的廣義單位力狀態，可求什么位移。ABP=1/lP=1/llP=1/l

P=1/llCABP=1/

lP=1/ll⑤ABP=1/

lP=1/

ll（）④AB桿的轉角AB連線的轉角AB桿和AC桿的相對轉角§5-6

溫度作用時的位移計算1

溫度改變對靜定結構不產生內力，變形和位移是材料膨脹、收縮的結果。2

假設：溫度沿截面高度為線性分布。t1t20

t

hh1h2dsdθαt0ds=αΔt/h

γ

=0該公式僅適用于靜定結構αt1ds2αt

dsN拉為正，t0升溫為正；t、M取絕對值計算，正負號直觀確定。0 1

2 2

1t

(ht

ht

)

/

ht

t2

t13）微段的變形2

1

d/ds

[(t

t

)ds/

h]

/

ds0

tith

hMdsMt

ds

tNdst0

Nt

ds0N

Mh

tit

0

t

M2

Q2

N2dsRkck

例5-11 求圖示剛架C點的豎向位移。各桿截面為矩形。aaCP—P

aMN

hNMc

t0tt10o

0o

10o52100t0ooh

5a

5a13ah

2

103a2§5-8互等定理應用條件：1)應力與應變成正比;2)變形是微小的。即:線性變形體系。P1P2①N1

M1

Q1GAEIMEAN022222

kQ2

GA②EIF2MEAN1011111F1

kQ

的互等定理ds1

EA

EI

GA

N

2N

1

M2M1F

W1221ds

EA

EI

GA

N

M

Q2

2

2

M1M2

kQ1Q2

N1

N2

2P1

W12功的互等定理：在任一線性變形體系中，狀態①的外力在