第三章薄板理論及設計第1頁工程應用平封頭：常壓容器、高壓容器；貯槽底板：能夠是各種形狀；換熱器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盤：圓平板、帶加強筋圓平板；反應器觸媒床支承板等。引子第2頁

板類結構是工程中最常見部件之一，通常承受兩種不一樣作用方式外載，如圖所表示。t(a)受縱向載荷板(b)受橫向載荷板

第一個載荷情況為彈性力學平面應力問題，第二種載荷情況為板彎曲問題，本節將討論第二種情況。當兩種外載同時作用時，可經過疊加求解。板：厚度遠小于其它兩個方向尺寸(圓板為其直徑)且中面為平面物體。什么是板？？第3頁§3.1

基本概念與假設§3.2圓板軸對稱彎曲基本方程§3.3圓板與環板計算§3.4帶有平蓋圓筒邊緣分析§3.5平蓋工程設計第4頁§3.1基本概念與假設變形特點：雙向彎曲，變形后中面常被彎成不可展曲面，存在翹曲，且其周長也有所改變。所以，普通板中內力除彎矩、扭矩和剪力外還有薄膜力(沿中面拉壓力)。

當中面wmax遠小于板厚

t

時，通常稱為板小撓度問題，此時板內薄膜力很小，可略去不計，認為中面無伸縮；當wmax與

t

為同一量級時，則為板大撓度問題，此時板內薄膜力較大，因而不能忽略。普通在工程要求精度范圍內，當時，按小撓度問題計；當時，按大撓度問題考慮。撓度：中面各點沿中面法線方向位移，慣用w表示。第5頁薄板與厚板：普通認為當板厚t小于其它最小尺寸1/5時，屬于薄板；不然為厚板。對于薄板，在作出一些假設后，其分析能夠簡化且能給出滿意結果。至于厚板，則須按三維問題來分析，其求解過程較為復雜。基本假設：對于小撓度薄板，除假設材料是均勻連續和各向同性外，還采取了以下與梁彎曲理論類似假設第6頁7彈性薄板小撓度理論建立基本假設---克希霍夫Kirchhoff②變形前位于中面法線上各點，變形后仍位于彈性曲面同一法線上，且法線上各點間距離不變。類同于梁平面假設:變形前原為平面梁橫截面變形后仍保持為平面，且依然垂直于變形后梁軸線。③平行于中面各層材料互不擠壓，即板內垂直于板面正應力較小，可忽略不計。①板彎曲時其中面保持中性，即板中面內各點無伸縮和剪切變形，只有沿中面法線撓度。只有橫向力載荷

本章主要討論圓形薄板(簡稱圓板)在軸對稱橫向載荷作用下小撓度彎曲問題。第7頁圖2-25圓形薄板

xrz0

依據中性面假設：；

對于圓板，常取柱坐標，原點位于中面圓心。直法線假設表明很小，對應變形可不計，即：；互不擠壓假設認為：。

所以，圓板在軸對稱小撓度彎曲情況下，只有三個應力分量。為彎曲應力，沿板厚線性分布，與梁中剪應力一樣為拋物線分布，以下列圖所表示。且其它位移、應變和應力分量均與

無關，因而不存在扭矩。

在軸對稱載荷作用下，圓板中變形和內力也一定軸對稱。所以§3.2圓板軸對稱彎曲基本方程1.圓板變形與內力第8頁以上各內力正向如圖2-28(b)所表示，且它們都只是r函數，而與z無關。另外，因為彎曲應力不引發厚度改變，因而中面同一法線上各點撓度相等，位移w也就是中面撓度。z(a)圖2-28各應力沿板厚分布與合成(b)z

于是，可將各應力分量沿板厚合成為對應內力。可分別合成為彎矩，可合成為橫向剪力，它們之間關系為(e)

第9頁

設圓板承受軸對稱橫向分布載荷

。通常薄板彎曲平衡方程以內力表示，所以可沿坐標(r，θ)截取中面上微小面積作為微元體，其受力如圖2-26所表示。圖中彎矩以雙箭頭表示，方向遵照右手螺旋法則。或(2-55)2.平衡方程0

rqz圖2-26圓板微體受力

dr第10頁(2-56)

式(2-55、56)即為圓板軸對稱彎曲問題平衡方程，含有

3個未知量，須考慮圓板彎曲后變形關系。0

r圖2-26圓板微體受力

0

rqz

drcccc或第11頁直法線假設現考查距離中面為z微小線段AB。變形前AB=ab=dr；變形后ab→a1b1，AB→A1B1，且位于變形后法線上。(2-57)

圓板在軸對稱載荷作用下，中面將彎曲成以0z為軸旋轉面，如圖所表示。設中面上任意一點a變形后撓度為w，轉角為。由圖可知又依據中性面假設，a1b1=ab=AB，則A點處兩向應變為將(c)代入得

3.幾何方程(a)(b)(c)圖2-27圓板變形

zr0

rawa1z

drA1z

B1ABbb1－dwz

第12頁

因為，故圓板物理方程為將(2-57)代入代入(e)板抗彎剛度

(2-59)4.物理方程(2-58)(d)(e)第13頁比較由材力(2-60)(d)(2-59)易見：正應力最大值在板上下表面，剪應力最大值在中面上。(2-60#)5.應力計算(p50)第14頁圓板軸對稱彎曲基本方程：(2-55)平衡方程：(2-56)物理方程：(2-59)4個方程，4個未知量。將(2-59)代入(2-56)，得

(2-61)

兩邊乘r后求導，再將(2-55)代入，可得(2-62)

式(2-61,62)即為圓板軸對稱彎曲問題撓曲微分方程。圓板軸對稱彎曲撓曲方程：6.撓曲微分方程第15頁基本公式(2-59)(2-61)

(2-60#)§3.3圓板與環板計算第16頁

任意半徑r處剪力由區域平衡可得：代入(2-61)積分得圖#1受均布載荷和彎矩簡支圓板MRt

qM1.受均布載荷和彎矩作用圓板(見圖)MrQrQrMrrq得因為應是有限量，故C2=0，于是(2-64)

第17頁(#1a)將和代入得聯解得于是邊界條件：MRt

qM第18頁(#1b)(#1c)代入得(#1a)(2-59)(2-60#)代入得第19頁純彎曲情況(q=0)

(2-83)

由式(#1)可得MRt

M圖2-32(#1)第20頁均布載荷簡支圓板(M=0)顯然，在板中心撓度和應力最大

一樣，由式(#1)可得Rt

q圖2-29(a)(2-67)

(2-70)

(2-72)

(2-68)

(2-73)

第21頁均布載荷固支圓板圖2-29(b)Rt

q

可由邊界條件，借助于(#1)求得。將第一式代入得再將M代回(#1)，即得固支圓板撓度、彎矩和應力為(#1)第22頁(2-74)

(2-76)

(2-77)

顯然，最大撓度在板中心，其值為最大彎矩為徑向彎矩，發生在邊緣處(2-75)

對應最大應力為(2-78)

圖2-29(b)Rt

q第23頁比較可見，如取μ=0.3，周圍簡支時最大撓度約為固支時4倍，最大應力約為固支時1.65倍。所以，在一樣載荷作用下，不論在剛度方面還是強度方面，固支圓板都要好于簡支圓板。均布載荷固支圓板均布載荷簡支圓板第24頁

板內任意半徑r處剪力Qr，由區域平衡可得：積分得2.受均布彎矩和剪力作用環板于是式(2-61)成為(a)

為簡化計算，上式可改寫為圖#1受均布彎矩和剪力環板Q1M1Rt

R1Q1M1rR1QrMr第25頁邊界條件：代入得將Q1M1Rt

R1及(a)

第26頁聯解得：代回(a)式，即得撓度表示式為(#2)

第27頁

現以受均布載荷簡支環板為例來說明疊加計算方法。

由截去部分力平衡可得R1Rq(a)Q1M1(b)q(c)Q1M1+=

采取疊加法，圖a可看成是圖b和圖c疊加。

圖b為從均布載荷簡支圓板中挖去半徑R1部分代之以內力而形成環板。故其wb和R1處M1，由式(2-67,70)可得3.圓(環)板計算疊加方法(2-67,70)第28頁

圖cwc可由受均布彎矩和剪力環板解答得出。將M1和Q1代入(#2)，并注意到符號相反，即R1Rq(a)Q1M1(b)q(c)Q1M1+=--Q1M1Rt

R1(#2)

第29頁則得于是(p58w表示式)

R1Rq(a)Q1M1(b)q(c)Q1M1+=第30頁在R1處，撓度最大，其值為式中：同理可求得最大彎矩和對應應力。

應用類似過程能夠求解承受不一樣載荷和含有不一樣邊界條件環板。圖2-2列舉了幾個經典環板最大撓度和最大應力()，可供設計計算參考。第31頁R/R11.52.03.04.05.0圖例k1k2k1k2k1k2k1k2k1k2(a)0.4140.9760.6641.4400.8241.8800.8302.0800.8132.190(b)0.4911.1900.9022.0401.2203.3401.3004.3001.3105.100(c)0.03130.3360.1250.7400.2911.2100.4171.4500.4921.590(d)0.00620.2730.03290.7100.1101.5400.1792.2300.2342.800(e)0.02490.4280.08770.7530.2091.2050.2931.5140.3501.745(f)0.00640.2200.02370.4050.0620.7030.0920.9330.1141.130圖2-2幾個經典環板計算系數(a)(b)(c)(d)qR1

RqR1

RqR1

RPR1

RPR1

RqR1

R(e)(f)集中載荷：分布載荷：第32頁圖A不一樣受力形式圓板第33頁圖B不一樣受力形式環板第34頁§3.4帶有平蓋圓筒邊緣分析圓筒在內壓p，Q0和M0作用下連接處平行圓增量與轉角由表2-1和式2-46為：平蓋可視為圖示力學模型。

在壓力p和M0-Q0t2/2作用下連接處轉角，可由(#1a)式求得，過程以下：Q0Q0M0-Q0t2/2M0-Q0t2/2t2p(b)

第35頁式中：因在板下表面引發平行圓半徑增量為：

其次，由引發平行圓半徑增量可按以下推導得出：(#1a)D2M0-Q0t2/2(c)

(d)

(e)

(#1a)MRt

qM-pQ0Q0M0-Q0t2/2M0-Q0t2/2t2p第36頁代入變形協調方程，得：聯解即得