.z.第8章電路的暫態分析含有動態元件L和C的線性電路，當電路發生換路時，由于動態元件上的能量不能發生躍變，電路從原來的一種相對穩態過渡到另一種相對穩態需要一定的時間，在這段時間內電路中所發生的物理過程稱為暫態，提醒暫態過程中響應的規律稱為暫態分析。本章的學習重點：暫態、穩態、換路等根本概念；換路定律及其一階電路響應初始值的求解；零輸入響應、零狀態響應及全響應的分析過程；一階電路的三要素法；階躍響應。8.1換路定律1、學習指導〔1〕根本概念從一種穩定狀態過渡到另一種穩定狀態需要一定的時間，在這一定的時間內所發生的物理過程稱為暫態；在含有動態元件的電路中，當電路參數發生變化或開關動作等能引起的電路響應發生變化的現象稱為換路；代表物體所處狀態的可變化量稱為狀態變量，如iL和uC就是狀態變量，狀態變量的大小顯示了儲能元件上能量儲存的狀態。〔2〕根本定律換路定律是暫態分析中的一條重要根本規律，其內容為：在電路發生換路后的一瞬間，電感元件上通過的電流iL和電容元件的極間電壓uC，都應保持換路前一瞬間的原有值不變。此規律提醒了能量不能躍變的事實。〔3〕換路定律及其響應初始值的求解一階電路響應初始值的求解步驟一般如下。根據換路前一瞬間的電路及換路定律求出動態元件上響應的初始值。根據動態元件初始值的情況畫出t=0＋時刻的等效電路圖：當iL(0＋)=0時，電感元件在圖中相當于開路；假設iL(0＋)≠0時，電感元件在圖中相當于數值等于iL(0＋)的恒流源；當uC(0＋)=0時，電容元件在圖中相當于短路；假設uC(0＋)≠0，則電容元件在圖中相當于數值等于uC(0＋)的恒壓源。根據t=0＋時的等效電路圖，求出各待求響應的初始值。2、學習檢驗結果解析〔1〕何謂暫態？何謂穩態？您能說出多少實際生活中存在的過渡過程現象？解析：在含有動態元件電容的電路中，電容未充電，原始儲能為零時是一種穩態，電容充電完畢，儲能等于*一數值時也是一種穩態。電容由原始儲能為零開場充電，直至充電完畢，使得儲存電場能量到達*一數值時所經歷的物理過程稱為暫態。水是一種穩態，冰是一種穩態，水凝結成冰所經歷的物理過程和冰溶化成水所經歷的物理過程都是暫態；火車在站內靜止時是一種穩態，火車加速至速度為v時也是一種穩態，從靜止加速到速度v中間所經歷的加速過程是暫態……。〔2〕從能量的角度看，暫態分析研究問題的實質是什么？解析：含有動態元件的電路在換路時才會出現暫態過程，這是由于L和C是儲能元件，而儲能就必然對應一個吸收與放出能量的過程，即儲存和放出能量都是需要時間的。在L和C是上能量的建立和消失是不能躍變的。因此，暫態分析研究問題的實質實際上是為了尋求儲能元件在能量發生變化時所遵循的規律。掌握了這些規律，人們才可能在實際當中盡量縮短暫態過程經歷的時間，最大限度地減少暫態過程中可能帶來的危害。〔3〕何謂換路？換路定律闡述問題的實質是什么？換路定律是否也適用于暫態電路中的電阻元件？解析：在含有動態元件的電路中，當元件參數發生變化、電路或電路*處接通和斷開或短路時，只要能引起電路響應發生變化的所有情況，統稱為電路發生了換路。換路定律闡述問題的實質是動態元件所儲存的能量不能發生躍變，必須經歷一定的時間，在這一定的時間〔暫態過程〕，能量的變化必須遵循一定的規律，暫態分析就是研究和認識這些根本規律。換路定律不適合暫態電路中的電阻元件，因為電阻元件不是儲能元件。〔4〕動態電路中，在什么情況下電感L相當于短路？電容C相當于開路？又在什么情況下，L相當于一個恒流源？C相當于一個恒壓源？解析：當動態電路換路后重新到達穩態時，電感L中通過的電流不再發生變化，由公式可知，L兩端的自感電壓此時為零，在這種情況下L相當于短路；同理，電容C兩端的電壓重新到達穩態后，由可知，電容支路中電流為零，這種情況下電容C相當于開路。求動態電路中響應的初始值時，如果L在t=0＋時已有原始儲能，即電流在換路瞬間不為零，根據換路定律可知，此時電感L相當于一個恒流源；同理，如果C在t=0＋時已有原始儲能，即它兩端的電壓在換路瞬間不為零，根據換路定律可知，此時電容C相當于一個恒壓源。8.2一階電路的暫態分析1、學習指導〔1〕一階電路的零輸入響應外鼓勵為零，僅在動態元件的原始儲能下所引起的電路響應稱為零輸入響應。〔2〕一階電路的零狀態響應動態元件上的原始儲能為零，僅在外鼓勵下所引起電路響應稱為零狀態響應。〔3〕一階電路的全響應電路既有外鼓勵，動態元件上又有原始能量，這種情況下引起的電路響應稱為全響應。〔4〕電路響應求解中需要注意的問題在介紹了初始值求解方法的根底上，本章對一階電路的零輸入響應、零狀態響應及全響應進展了經典分析，其中重點闡述了一階電路時間常數的概念：一階電路的時間常數τ，在數值上等于響應經歷了總變化的63.2%所需用的時間，討論中一般認為，暫態過程經過3～5τ的時間就根本完畢了，因此時間常數τ反映了暫態過程進展的快慢程度。對零輸入響應而言，不需求解響應的穩態值，只要求出響應的初始值和時間常數即可；對零狀態響應而言，只需求出響應的穩態值和時間常數即可；假設動態電路既有外鼓勵，又有原始儲能的情況下，這時的電路響應稱為全響應。全響應一般有兩種分析方法：全響應=零狀態響應＋零輸入響應②全響應=穩態分量＋暫態分量根據題目要求的不同及側重點的不同，我們可以選擇上述兩種求解方法中適宜的一種方法進展動態電路全響應的分析，在分析中應結實掌握一階電路響應的指數規律，并且注意理解響應iC和uL任何情況下都只有暫態分量而沒有穩態分量的問題。〔5〕一階電路的三要素法在學習一階電路經典法的根底上，引入了一階電路簡化的分析計算方法——三要素法。所謂的三要素法，就是對待求的電路響應求出其初始值、穩態值及時間常數τ，然后代入公式應用三要素法求解一階電路的響應，關鍵在三要素〔響應的初始值f〔0＋〕、響應的穩態值f〔∞〕和一階電路中的時間常數τ〕的正確求解，注意動態元件狀態變量的初始值求解應根據換路前一瞬間的電路進展；其它響應的初始值求解則要根據換路后一瞬間的等效電路進展；響應穩態值的求解要根據換路后重新到達穩態時的等效電路進展；時間常數的求解要在穩態時的電路根底上除源，然后將動態元件斷開后求出其無源二端網絡的入端電阻R，代入時間常數的計算公式中即可。在求解在三要素的過程中，注意各種情況下等效電路的正確性是解題的關鍵。2、學習檢驗結果解析〔1〕一階電路的時間常數τ由什么來決定？其物理意義是什么？解析：一階電路中時間常數τ僅由一階電路中的電路參數R、L、C來決定，與狀態變量和鼓勵無關。時常常數τ決定了狀態變化的快慢程度，在暫態分析中起關鍵作用。時間常數τ實際上反映了響應經歷了過渡過程的63.2%所需要的時間。〔2〕一階電路響應的規律是什么？電容元件上通過的電流和電感元件兩端的自感電壓有無穩態值？為什么？解析：一階電路響應的規律是指數規律。電容元件上通過的電流不是充電電流就是放電電流，即只存在于充、放電的暫態過程中；電感元件兩端的電壓只有在通過電感元件的電流發生變化時才產生，即也只存在于暫態過程中，因此電容元件上通過的電流和電感元件兩端的自感電壓都沒有穩態值。〔3〕能否說一階電路響應的暫態分量等于它的零輸入響應？穩態分量等于它的零狀態響應？為什么？解析：這樣的說法是不正確的。因為零狀態響應中一般均包括有暫態分量和穩態分量。〔4〕一階電路的零輸入響應規律如何？零狀態響應規律又如何？全響應的規律呢？解析：一階電路無論是零輸入響應還是零狀態響應以及全響應，響應的規律均為指數規律。〔5〕你能正確畫出一階電路t=0-和t=∞時的等效電路圖嗎？圖中動態元件如何處理？解析：一階電路在t=0時的等效電路圖中，動態元件L如果沒有原始儲能，按開路處理，如果有原始儲能，則用一個恒流源iL(0＋)代替；動態元件C如果沒有原始儲能，按短路處理，如果有原始儲能，則用一個恒壓源uC(0＋)代替。一階電路在t=∞時的等效電路圖中，動態元件L按短路處理；C按開路處理。〔6〕何謂一階電路的三要素？試述其物理意義。試述三要素法中的幾個重要環節應如何掌握？解析：一階電路的三要素是指：響應的初始值f〔0＋〕、響應的穩態值f〔∞〕和時間常數τ。初始值反映了響應在換路前一瞬間的數值；穩態值反映了響應換路后重新到達穩態時響應的數值；時間常數τ則反映了響應經歷了過渡過程的63.2%所需要的時間。在應用三要素法求解電路響應時應注意：求響應的初始值時：①先由換路前的電路求出動態元件的uC(0－)或iL(0－)，然后根據換路定律求出它們的初始值；②根據動態元件的初始值對動態元件加以處理，畫出其t=0＋的等效電路圖；③根據t=0＋的等效電路圖，用前面學過的電路分析方法求出其它各響應的初始值。求響應的穩態值時：①畫出動態電路穩態時的等效電路。在這個等效電路中，電容元件開路處理，電感元件短路處理；②根據穩態時的等效電路應用前面所學過的電路分析方法求出各響應的穩態值。求時間常數τ時：①RC一階電路的時間常數τ=RC；RC一階電路的時間常數；②求解時間常數的公式中，其電阻R應為斷開動態元件后，由斷開兩端所呈現的戴維南等效電路的等效內阻。〔7〕一階電路中的0、0－、0＋這三個時刻有何區別？t=∞是個什么概念？它們的實質各是什么？在具體分析時如何取值？解析：換路發生在0時刻；0－是換路前一瞬間的時刻，和0的時間間隔無限趨近于0但不等于0，0＋則是換路后一瞬間的時刻，和0的時間間隔也無限趨近于0且不等于0。理論上講過渡過程完成需要無限長時間，所以把過渡過程完畢時的穩態值用f〔∞〕表示，t=∞的概念就是過渡過程完畢。8.3一階電路的階躍響應1、學習指導〔1〕階躍響應當電路中的鼓勵是階躍形式時，在電路中引起的響應稱為階躍響應。〔2〕階躍函數單位階躍函數〔t〕屬于奇異函數，在學習時必須辨明〔t〕和延時階躍函數〔t-t0〕的差異以及理解一個函數〔t〕乘以一個階躍函數〔t〕的意義。在討論階躍函數在電路中引起響應的求解方法時，應對疊加定理在其中的作用加以理解和掌握。2、學習檢驗結果解析〔1〕單位階躍函數是如何定義的？其實質是什么？它在電路分析中有什么作用？t10t10ε〔t0－t〕的波形t0－2t10－1ε〔t＋2〕的波形2t101ε〔t－2〕的波形由定義式可看出，單位階躍函數說明它在〔0－，0＋〕時域內發生了單位階躍。用單位階躍函數可以描述電路中開關的動作，它表示在t=0時把電路接到單位直流電源上。〔2〕說說〔－t〕、〔t＋2〕和〔t－2〕各對應時間軸上的哪一點？解析：〔－t〕表示函數階躍的時間與時間軸箭頭方向相反；〔t＋2〕表示階躍發生在0時刻的前2個時間單位；〔t－2〕表示階躍延時2個時間單位才發生。用下面幾個圖可以說明。〔3〕試用階躍函數分別表示圖示電流和電壓的波形。22t/s10圖8.17檢驗題波形圖32142t/s103214〔a〕〔b〕解析：圖〔a〕階躍函數圖〔b〕階躍函數8.4二階電路的零輸入響應1、學習指導零輸入狀態下RLC電路過渡過程的性質，取決于電路元件的參數。假設時，電路發生非振蕩過程，也稱"過阻尼〞狀態；時，電路出現振蕩過程，稱之為"欠阻尼〞狀態；時，電路為臨界非振蕩過程，稱"臨界阻尼〞狀態；當電阻為零時，電路出現等幅振蕩。在RLC串聯的零輸入電路中產生振蕩的必要條件是。如果或時，由于電阻較大，電容放電一次，能量就被電阻消耗殆盡，因此電路不能產生振蕩。2、學習檢驗結果解析〔1〕二階電路的零輸入響應有幾種情況？各種情況下響應的表達式如何？條件是什么？解析：二階電路的零輸入響應狀態的性質，取決于電路元件的參數。歸納起來有以下三種情況〔式中A1、A2為待定的積分常數〕：①時，電路發生非振蕩暫態過程，也稱"過阻尼〞狀態。其響應的特征根p1、p2是兩個實部為負的共軛復數，響應表達式的形式為：；②時，電路暫態過程是振蕩性的，稱之為"欠阻尼〞狀態。其響應的特征根p1、p2是兩個不等的負實根，響應表達式的形式為：；③時，電路暫態過程仍屬于非振蕩性，稱"臨界阻尼〞狀態。其響應的特征根p1、p2是一對相等的負實數，響應表達式的形式為：。當二階電路中的電阻R=0時，則響應是等幅振蕩的正弦函數，是二階零輸入響應的理想情況，也稱為"無阻尼〞情況。在二階零輸入響應電路中產生振蕩的必要條件是。如果或時，由于電阻較大，電容放電一次，能量就被電阻消耗殆盡，因此電路不能產生振蕩。圖8.20檢驗題電路圖8.20檢驗題電路2FS2FRL解析：由圖可知，當開關S閉合時，電路中的總電容由1F增大到2F，由情況轉變到，電路也由臨界阻尼狀態變為過阻尼狀態。第8章章后習題解析圖示各電路已達穩態，開關S在時動作，試求各電路中的各元件電壓的初始值。＋100V－3＋100V－3Ω10ΩiL(0＋)習題8.1〔a〕t=0＋等效電路＋U10Ω－－U3Ω＋＋UL－＋－50VS10Ω3Ω4H2Ω＋100V－〔a〕(t=0)S5Ω10Ω2H25Ω＋15V－〔b〕3μF(t=0)S50Ω100Ω＋uL(0+)－iL(0+)＋100V－〔c〕＋50V－1μF(t=0)S100Ω50Ω＋uC(0+)－＋24V－〔d〕根據換路定律可得：畫出t=0＋時的等效電路如圖示。根據t=0＋時的等效電路可求得＋U＋U25Ω－＋15V－10Ω5Ω習題8.1〔b〕t=0＋等效電路－U10Ω＋＋15V－25Ω根據換路定律可得：畫出t=0＋時的等效電路如圖示。根據t=0＋時的等效電路可求得1A＋1A＋100V－100Ω50Ω＋uL(0＋)－習題8.1〔c〕t=0＋等效電路＋U50Ω－＋U100Ω－＋50V－〔c〕圖電路：換路前根據換路定律可得：畫出t=0＋時的等效電路如圖示。根據t=0＋時的等效電路可求得＋16V＋16V－＋U100Ω－100Ω習題8.1〔d〕t=0＋等效電路根據換路定律可得：畫出t=0＋時的等效電路如圖示。根據t=0＋時的等效電路可求得100μF(t=0)100μF(t=0)S3KΩ3KΩ＋uC(0+)－＋126V－解：由題意可知，此電路的暫態過程中不存在獨立源，因此是零輸入響應電路。首先根據換路前的電路求出電容電壓為uC(0－)=US=126V根據換路定律可得初始值uC(0＋)=uC(0－)=126V換路后，126V電源及3KΩ電阻被開關短路，因此電路的時間常數τ=3×103×100×10-6代入零輸入響應公式后可得6Ω(6Ω(t=0)S4Ω2Ω＋uL－iL＋100V－3Ω6Hab8.3圖示電路在開關S動作之前已達穩態，在時由位置a投向位置b。求過渡過程中的。4Ωi4ΩiL(0＋)2Ω6Ω3Ω＋uL(0＋)－習題8.3t=0＋時的電路圖＋U1－－U2＋根據換路定律可得畫出t=0＋時的等效電路如圖示。根據t=0＋時的等效電路可求得把t=0＋等效電路中的恒流源斷開，求戴維南等效電路的入端電阻為R=[(2＋4)∥6]＋3=6Ω求得電路的時間常數為將初始值和時間常數代入零輸入響應公式后可得(t=(t=0)SR1C＋US－R28.4在圖8.24所示電路中，R1=R2=100KΩ，C=1μF，US=3V。開關S閉合前電容元件上原始儲能為零，試求開關閉合后0.2秒時電容兩端的電壓為多少？解：由于動態元件的原始儲能為零，所以此電路是零狀態響應電路。此類電路應先求出響應的穩態值和時間常數。電路重新達穩態時，電容處于開路狀態，其端電壓等于與它相并聯的電阻端電阻端電壓，即R1R1CR2求時間常數的等效電路如圖示，可得代入公式后可得V≈經過了0.2秒，實際上暫態過程經歷了4τ時間，可以認為暫態過程根本完畢，因此電容電壓十分接近穩態值。8.5在圖8.25所示電路中，R1=6Ω，R2=2Ω，L=0.2H，US=12V，換路前電路已達穩態。t=0時開關S閉合。求響應iL〔t〕。并求出電流到達時需用的時間。解：響應iL〔t〕的初始值、穩態值及時間常數分別為(t=(t=0)SR1L＋US－R2應用三要素法求得響應為電流到達時所需用的時間根據響應式可求得，即＋－u＋－uL(t=0)R1SR2ISC8.6圖示電路在換路前已達穩態。試求開關S閉合后開關兩端的電壓。解：根據換路前的電路及換路定律可求出動態元件響應的初始值為iL(0＋)=iL(0－)=IS，uC(0＋)=uC(0－)=0＋－uK(0＋)＋－uK(0＋)習題8.6t=0＋等效電路R2uC(0＋)ISR2LuK在這局部只存在暫態響應，且為＋－u＋－uK(∞)R1習題8.6t=∞的等效電路ISC開關左半局部只存在零狀態響應而不存在零輸入響應，因此只需對電路求出其穩態值與時間常數τ2，即所以，開關兩端電壓響應為8.7電路在開關S閉合前已達穩態，試求換路后的全響應，并畫出它的曲線。20KΩ＋10V－20KΩ＋10V－＋uC－10KΩ(t=0)10μF1mAS10KΩ畫出換路后的等效電路如圖示。求穩態值與時間常數τ全響應為t0ut0u/V105ττ3τ10K10KΩ＋10V－＋uC－10μF8.8圖示電路，，在時開關S翻開，試求換路后的零狀態響應。6ΩS6ΩSiL(t)3H(t=0)10Ω4Ω10A時間常數為零狀態響應為8.9圖示電路在換路前已達穩態，時開關S閉合。試求電路響應。解：響應的初始值為＋u＋uC－R(t=0)＋US－SRR響應的穩態值為電路的時間常數全響應為：V8.10圖示電路在換路前已達穩態，時開關S動作。試求電路響應。30KΩ＋30KΩ＋uC－(t=0)S160KΩ＋18V－10μF40KΩ(t=0)S2＋10V－V響應的穩態值為V電路的時間常數s全響應為：Vu和電流i的全響應。解：對換路前的電路求解電感電流的初始值為i15mAi15mA30mH2KΩ2KΩ＋30V－2KΩ(t=0)S＋u－畫出t=0＋的等效電路圖，根據電路圖可得響應的初始值為i(0i(0＋)15mA2KΩ習題8.11t=0＋等效電路2KΩ＋30V－2KΩ＋u(0＋)－15mAi(∞)15mA2KΩ習題8.11t=∞的等效電路2KΩ＋30V－2KΩ＋u(∞)－畫出t=∞的等效電路圖，根據電路圖可得響應的穩態值為時間常數為應用三要素法可得響應為t/s＋uL(t)t/s＋uL(t)－LiL(t)R＋uS－〔a〕31uS/V0－1〔b〕2解：首先對電路求解其單位階躍響應。寫出電源電壓的表達式為將上式代入單位階躍響應中可得試題庫一、填空題〔建議較易填空每空0.5分，較難填空每空1分〕1、態是指從一種態過渡到另一種態所經歷的過程。2、換路定律指出：在電路發生換路后的一瞬間，元件上通過的電流和元件上的端電壓，都應保持換路前一瞬間的原有值不變。3、換路前，動態元件中已經儲有原始能量。換路時，假設外鼓勵等于，僅在動態元件作用下所引起的電路響應，稱為響應。4、只含有一個元件的電路可以用方程進展描述，因而稱作一階電路。僅由外鼓勵引起的電路響應稱為一階電路的響應；只由元件本身的原始能量引起的響應稱為一階電路的響應；既有外鼓勵、又有元件原始能量的作用所引起的電路響應叫做一階電路的響應。5、一階RC電路的時間常數τ=；一階RL電路的時間常數τ=。時間常數τ的取值決定于電路的和。6、一階電路全響應的三要素是指待求響應的值、值和。7、二階電路過渡過程的性質取決于電路元件的參數。當電路發生非振蕩過程的"過阻尼狀態時，R；當電路出現振蕩過程的"欠阻尼〞狀態時，R；當電路為臨界非振蕩過程的"臨界阻尼〞狀態時，R；R=0時，電路出現振蕩。8、在電路中，電源的突然接通或斷開，電源瞬時值的突然跳變，*一元件的突然接入或被移去等，統稱為。9、換路定律指出：一階電路發生的路時，狀態變量不能發生跳變。該定律用公式可表示為和。10、由時間常數公式可知，RC一階電路中，C一定時，R值越大過渡過程進展的時間就越；RL一階電路中，L一定時，R值越大過渡過程進展的時間就越。二、判斷以下說法的正確與錯誤〔建議每題1分〕1、換路定律指出：電感兩端的電壓是不能發生躍變的，只能連續變化。〔〕2、換路定律指出：電容兩端的電壓是不能發生躍變的，只能連續變化。〔〕3、單位階躍函數除了在t=0處不連續，其余都是連續的。〔〕4、一階電路的全響應，等于其穩態分量和暫態分量之和。〔〕5、一階電路中所有的初始值，都要根據換路定律進展求解。〔〕6、RL一階電路的零狀態響應，按指數規律上升，按指數規律衰減。〔〕7、RC一階電路的零狀態響應，按指數規律上升，按指數規律衰減。〔〕8、RL一階電路的零輸入響應，按指數規律衰減，按指數規律衰減。〔〕9、RC一階電路的零輸入響應，按指數規律上升，按指數規律衰減。〔〕10、二階電路出現等幅振蕩時必有*L=*C，電路總電流只消耗在電阻上。〔〕三、單項選擇題〔建議每題2分〕1、動態元件的初始儲能在電路中產生的零輸入響應中〔〕A、僅有穩態分量B、僅有暫態分量C、既有穩態分量，又有暫態分量2、在換路瞬間，以下說法中正確的選項是〔〕A、電感電流不能躍變B、電感