初中數學比賽圓4四點共圓初中數學比賽圓4四點共圓初中數學比賽圓4四點共圓第1講四點共圓典型例題.基礎練習【例1】如圖，P為△ABC內一點，D、E、F分別在、、AB上．已知P、BCCAD、C、E四點共圓，P、E、A、F四點共圓，求證：B、D、P、F四點共圓．A【例2】如圖7-55，在梯形ABCD中，AD∥BC，過B、C兩點作一圓，AB、CD的延長線交該圓于點E、F．求證：A、D、E、F四點共圓．FEP【例3】如圖，⊙O1、⊙O2訂交于A、B兩點，P是BA延長線上一點，割線PCDCDB交⊙O1于C、D，割線PEF交⊙O2于E、F，求證：C、D、E、F四點共圓．P【例4】如圖7-56，在△ABC中，AD=AE，BE及CD交于點P，DP=EP，求證：B、C、E、D四點共圓．CAE【例5】如圖，已知△ABC是⊙O的內接三角形，⊙O的直徑BD交AC于E，DFAFBD于F，延長AF交BC于G，求證：AB2BGBC．B【例6】如圖7－63，在□ABCD的對角線上，任取一點AP，過點P作AB、CD的公垂線EG，又作AD、BC的公垂線FM．求證：//GM．DBEFE【例7】如圖7-66，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，GODE⊥AC，AF⊥BD，C點E、F是垂足．求證：EF//BC．【例8】如圖7-60，已知△ABC，AB、AC的垂直均分線交AC、AB的延長線第1頁于點F、E．求證：E、F、C、B四點共圓．【例9】如圖，已知：ABDACD60，ADB901BDC．求證：△ABC是2等腰三角形．A二.綜合提升【例10】如圖7-61，在⊙O中，AB∥CD，點P是AB的中點，CP的延長線交⊙O于點F，又點E為弧上任一點，連EF交AB于點G．求證：BDBDCP、G、E、D四點共圓．【例11】如圖7-62，在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，BM=MC，過M、C任作一圓，及AC交于點E，BE及圓交于F點，求證：AF⊥BE．【例12】如圖7－64，P為△ABC外接圓一任意一點，點P到△ABC三邊的垂足分別為D、E、F三點成向來線．【例13】如圖7-65，在□ABCD中，過D、B兩點作一圓，交平行四邊形四條邊(或它們的延長線)于點E、F、G、H．求證：EF//GH．【例14】如圖7-67，AB為半圓的直徑，弦AC、BD訂交于點H，HP⊥AB．求證：∠1＝∠2．【例15】如圖7－68，四邊形ABCD是正方形，點E為BC上的任一點，AE⊥EF，EF交∠BCD的外角均分線于點F．求證：EA=EF．【例16】在等邊三角形ABC中，D、E分別是邊BC、AC上的點，且有1BDCECD，連結BE、AD交于點P，求證：CPAD．2A【例17】設凸四邊形ABCD的對角線AC、BD相互垂直，垂足為E，證明：點E關于AB、BC、CD、DA的對稱點共圓．E【例18】證明：三角形的三條高交于一點．PBDC【例19】已知在凸五邊形ABCDE中，BAE3，BCCDDE，且BCDCDE1802，求證：BACCADDAE．【例20】以下列圖，設N是正九變形，O為其外接圓的圓心，PQ和QR是N的兩相鄰邊，A為PQ的中點，而B為垂直于QR的圓半徑的中點，試求AO及AB的夾角．P【例21】如圖，已知△ABC內接于⊙O，AD、BD為⊙O的切線，作DE∥BC，交AQAC于E，連結EO并延長交BC于F，求證：BFFC．COBR【例22】如圖，在凸四邊形ABCD的BC邊上取E和F（點E比F更湊近點B）．已知BAECDF及EAFFDE，證明：FACEDB．【例23】如圖，在平行四邊形ABCD中，BAD為鈍角，且AEBC，AFCD．BEFC1）求證：A、E、C、F四點共圓；2）設線段BD及（1）中的圓交于M、N．求證：BMND．AD【例24】正方形ABCD的中心為O，面積為2009，P為正方形內的一點，且OPB45，PA:PB4:5，求PB．【例25】如圖，已知△ABC中，AH是高，AT是角均分線，且TDAB，TEAC．求證：（1）AHDAHE；（2）BHCH．BDCE【例26】如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BAC60，H為AC、AB上高BD、CE的交點，在BD上取點M，使BMCH．連結OM、OH，求證：OMOH．A【例27】如圖，CD是O的直徑，弦AE交CD于點Q，點B是弧DE上一點，BCEOHD第3頁MBC和DE交于點F．ABCD，垂足為M，求證：QF∥AB．.過三點的圓【例28】如圖，四邊形ABCD中，ABACAD，若CAD76，BDC13，則CBD_______，BAC__________．【例29】已知凸四邊形ABCD，BAC2BDC，CAD2CBD，求證：ABACAD．A思想飛馳【例30】如圖，直線AB和AC及⊙O分別相切于B、C，P為圓上一點，P到、、，試求P到BC的距離．BDABAC得距離分別為49C【例31】如圖，△ABC中，ACB90，AB邊上的高線CH及△ABC的兩條內角均分線、分別交于、兩點．PM、的中點分別為、F．求AMBNPQQNE證：EF//AB．【例32】如圖，已知P是正A△ABC外接圓的弧BC上的任一點．求證：22PBPC．HPAACNFQP【例33】如圖，PA、PB切圓O于A和B，PO交AB于M，過EAM任作一弦CD，求證：APCBPD．CMBCB如圖，AB為⊙的直徑，P為⊙外一點，過P引圓的兩條切線，【例34】OOO切點分別為C、D，AD及BC交于點E，求證：EPAP．OMPPDBDC作業(yè)在銳角△ABC中，三條高AD、BE、CF訂交于點H．求證：點H是△DEF的內心．已知AB是圓的直徑，AD為圓的切線，FB和DB是圓的割線，分別交圓于E、C，求證：BEBFBCBD．B已知△ABC中，ABAC，AD是高，P為AC上任一點，PC的中垂線RQ交CAD于R，求證：RPBDAC．AEFAD4.如圖，設四邊形ABCD的兩組對邊AB、DC及AD、BC的交點分別為E、PF．若E、F的均分線相互垂直，則A、B、C、D四點共圓．RQA如圖，、切⊙于、兩點，過于、，過作5.