測量不確定度理論探討陳樹立天臺縣質量技術監督局2007年5月1測量不確定度測量及測量不確定度（一）1．測量

1．1什么是測量？

測量告知我們關于某物量值的屬性。它可以告訴我們某物體有多重，或者有多熱，或者有多長。測量就賦予這種屬性一個數。測量總是用某種儀器來實現的。尺子、秒表、稱重稱，以及溫度計都是測量儀器。

測量結果通常有兩部分組成：一個數值和計量單位，例如“這有多長？木頭2米長"。2測量不確定度測量及測量不確定度（一）1．2什么不是測量？

有些過程看起來像是測量，然而并不是。例如，兩根繩子做比較，看那一根長些，這實際上就不是測量，是比較。計數通常也不認為是測量。檢測（test）往往不是測量；檢測通常要得出"是或非"的答案，或者"合格或不合格"的結果。（但是，測量可以是檢測的局部過程，逐而得出檢測結果）。3測量不確定度測量及測量不確定度（一）2．測量不確定度

2．1什么是測量不確定度？

測量不確定度是對任何測量的結果存有懷疑。你也許認為制作良好的尺子、鐘表和溫度計應該是可靠的，并應給出正確答案。但對每一次測量，即使是最仔細的，總是會有懷疑的余量。在日常說話中，這可以表述為“出入”，例如一根鋼棒可能2米長，有1cm的"出入"。4測量不確定度測量及測量不確定度（一）由于對任何測量總是存在懷疑的余量，所以我們需要回答“余量有多大？”和“懷疑有多差？”這樣，為了給不確定度定量實際上需要有兩個數。一個是該余量（或稱區間）的寬度；另一個是置信概率，說明我們對“真值”在該余量范圍內有多大把握。例如：我們可以說某鋼棒的長度測定為20厘米加或減1厘米，由95%的置信概率。這結果可以寫成：20cm±1cm，置信概率為95%。

這個表述是說我們對鋼棒長度在19厘米到21厘米之間由95%的把握。還有其他一些表述置信概率的方式，對此將在下文第7節中再說。5測量不確定度測量及測量不確定度（一）2．3誤差與不確定度的比較

不要混淆術語"誤差"和"不確定度"是很重要的。

誤差：是某待測物的測得值與"真值"之間的差。

不確定度：表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結果相聯系的參數。無論何時我們都可能試圖去修正任何已知的誤差，例如：通過從校準證書得到的修正值。但是我們知道其值的任何誤差都是不確定度的來源。6測量不確定度測量及測量不確定度（一）2．4為什么測量不確定度是重要的，你也許對測量不確定度有興趣僅僅是因為你希望要做質量好的測量，并要了解結果。但是，還有其他一些更特殊的理由要考慮測量不確定度。

你也需要做測量作為下列工作的一部分：7測量不確定度測量及測量不確定度（一）●校準--必須在證書上報告測量不確定度。

●檢測--需要測量不確定度來確定合格與否。

●允差--在你能確定是否符合允差以前，你需要知道不確定度。……或者你可能需要閱讀或了解校準證書或者檢測或測量的書面技術規范。8測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）3．關于數字集合的基本統計學

3．1"測量再而三，只為一剪子"檢測人員的操作誤差。工匠中間有一種說法，"測量再而三，只為一剪子"。這意思是說，在著手工作以前通過兩、三次核對測量，你就能減少工作中出錯的風險。 9測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）事實上，任何測量至少進行三次是明智的做法。若測量只進行一次，就意味著出錯可能完完全被忽視了。如果你做兩次測量而兩者并不一致，你仍然不會知道哪一個是"錯"的。但如果你做三次測量，只有兩次彼此一致，而且第三個差很多，那么你就能懷疑這第三個測量結果。所以，僅僅為了防止出大錯，或叫操作誤差，對任何測量至少進行三次就是明智的。但是測量不確定度實際上并不是操作誤差。這是有對重復測量多次的其他重要理由。10測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）3．2基本統計計算：

從你的測量中，通過取多次讀數并進行某些基本統計計算，你就能增加你所得到的信息量。有兩項最主要的統計計算，就是要求的一組數值的平均值或算術平均值，以及它們的標準偏差。

11測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）3．3獲得最佳估計值--取多次讀數的平均值

雖然重復測量給出不同結果，但你也許并沒有做錯什么。這可能是由于進行的測量有自然變化。（例如：若你在野外測量風速，常常不會有穩定的值。）或者，也可能因為你的測量器具沒有工作在完全穩定狀態。（例如：卷尺可能因拉緊情況不同而給出不同結果。）如果在重復讀數時讀數有變化，那么最好多次讀數并取平均值。12測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）3．3獲得最佳估計值--取多次讀數的平均值

平均值給你的是“真值”的估計值。平均值和算術平均值通常是在符號上方加一短杠來表示，例如？（#x短杠）就是x的平均值。圖以表示一組量值及其平均值圖解說明。例1則說明如何計算算術平均值。13測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）圖1"圓點圖"說明一組實例值并標出了平均值14測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）3．4你應該對多少次讀數求平均

一般說來，你用的測量值越多，那么你得到的"真"值的估計值就越好。理想的估計值應當無窮多數值集來求得平均值。但增加讀數要做額外的工作，而且會產?quot;縮小回報"的效果。什么是合理的次數呢？10次是普遍選擇的，因為這能是計算容易。采取20次只比10次給出稍好的估計值，采用50次只比20次稍好。根據經驗通常取4至10次讀數就夠了。15測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）3．5分散范圍…標準偏差

在重復測量給出了不同結果時，我們就要了解這些讀數分散范圍有多寬。量值的分散范圍告訴了我們關于測量不確定度的情況。通過了解這種分散范圍有多大，我們就能著手判斷這次測量或者組測量的質量如何。有時候我們知道了最大值和最小值之間的范圍就夠了。但是對一組少量的值，這就不可能給出關于最大值和最小值之間讀數分散性的有用信息。例如，一個很大的分布范圍可能會由于單次讀數而與其他讀數差很多。16測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）對分散范圍定量的常見形式是標準偏差。一個數集的標準偏差告訴我們各個讀數代表性的與該組讀數平均值差多少。根據"經驗"，全部讀數大概有三分之二會落在平均值的加、減（±）一倍標準偏差范圍內。大概有全部讀數的95%會落在兩倍標準偏差范圍內。17測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）雖然這種"尺度"決非普遍適用，但應用廣泛。對標準偏差的"真"值只能從一組非常大量（無窮多）的讀數來求得。從適度個數的量值能夠求得的只是標準偏差的估計值。3．6計算估計的標準偏差例2表明如何計算標準偏差的估計值

例2計算一組數值的估計的標準偏差18測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）單用筆和紙來算標準偏差是不方便的，但下例可以手算。例如你有一組n次的讀數（讓我們用于上例同樣的10次一組）

先求平均值：該組讀數如前例所述：16、19、18、16、17、19、20、15、17、13，平均值為17。

下一步求每個讀數與平均值之差，即-1、+2、+1、-1、0、+2、+3、-2、0、-4。

對上面的數求平方值，即1、2、1、1、0、4、9、4、0、16

19測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）數值16191816171920151713平均值17差值-121-1023-20-4平方差1411049401620測量不確定度關于數字集合的基本統計學（二）再下一步，求和并除以n-1（本例n為10，n-1為9）。即估計的標準偏差與通過對上面總數取平方跟求得，即s=4.441/2=2.1（修約到小數點后一位）21測量不確定度誤差和不確定度來自何處？（三）4.誤差和不確定度來自何處？

許多事物都會往往損及測量。測量中的缺陷可能看的見，也可能看不見。由于實際的測量決不會是在完美的條件下進行的，誤差和不確定度可能來自下述多方面：22測量不確定度誤差和不確定度來自何處？（三）測量儀器（器具）--儀器可能遇到的誤差包括：偏移，由于老化、磨損或其他多種漂移而變化，讀數不清晰，噪聲（對電子儀器），以及其他許多問題。

被測物--被測物可能不穩定。（設想在溫暖的房間內試圖測量立方冰塊的尺寸）。

測量程序--測量本身就很難進行。例如要測小的活體動物的重量要得到對象的配合就顯得特別難。

目測對值是操作者的技巧。觀測者的移動會是目標好像在移動。當有指針讀取標尺時，這類"視差誤差"就會發生。23測量不確定度誤差和不確定度來自何處？（三）"引入的"不確定度--你的儀器校準就有了不確定度，然后這就成為你做測量的不確定度中的一部分。（但要記住不做校準的不確定度會更加糟）。

操作者的技巧--有些測量要靠操作者的技巧和判斷。在精細調整測量工作方面，或在用眼睛讀取精細得分度方面，有的人可能會比別的人做的更好。有的儀器的使用，如秒表，有賴于操作者的反應時間。（但是，犯粗大錯誤是另外的事，這并不是造成不確定度的原因）24測量不確定度誤差和不確定度來自何處？（三）采樣問題--你做的測量必須完全代表你想要評估的工序特點。如果你想要知道工作臺的溫度，就不能用放置在靠近空調出口處上的溫度計去測量。如果你要在生產線上選區樣品去測量，就不要總是取周一早上制造的頭10件產品。

環境--溫度、氣壓、濕度及許多其他環境條件都可能影響測量儀器或被測物。

在知道誤差大小和效果的場合（如從校準證書得知），就可對測量結果做修正。但一般來說，每一個從上述來源和其他來源的不確定度都是貢獻給測量總不確定度的單個"輸入分量"。25測量不確定度任何測量中的不確定度一般類型（四）5.任何測量中的不確定度一般類型

5．1隨機的或系統的

在測量中產生不確定度的效應有兩類：

隨機效應--重復測量給出隨機的不同結果。如果是這樣的話，那么你就做更多次測量，然后取平均值，通常你就可期望得到較佳估計值。

系統效應--對重復測量的每一次結果都有相同的影響（但是你可能分辨不出來）。在這種情況下，只是靠重復測量你得不到額外的信息。要估計系統效應產生的不確定度，就需要另外的一些方法，如不同的測量方法，或不同的計算方法。26測量不確定度任何測量中的不確定度一般類型（四）5．2分布--誤差的"形狀"

一組數值的散布會取不同形式，或稱概率分布。

5．2．1正態分布

在一組讀數中，往往靠近平均值的讀數值大體上比離平均值較遠的要多。這就是正態分布或稱高斯分布的特征。例如你對一大群男人檢查多人身高，你就會看到這種分布，大部分人接近平均高度，極高或級矮的只是少數。

27測量不確定度任何測量中的不確定度一般類型（四）圖2所示為一組接近正態分布的10個"隨機"值。圖三所示為正態分布的示意圖。

28測量不確定度任何測量中的不確定度一般類型（四）5．2．2均勻分布或矩形分布

當測量值非常平均的散布在最大值和最小值之間時，這就產生了矩形分布或稱均勻分別。例如，你檢查雨點落在一根細而直的電話線上的情況，就會看到這種分布。雨點落在任何部分的情況差不多都與其他部分一樣。29測量不確定度任何測量中的不確定度一般類型（四）圖4表示一組接近矩形分布的10個"隨機"值。圖5所示為矩形分布的示意圖。30測量不確定度任何測量中的不確定度一般類型（四）5．2．3其他分布

分布還會有其他形狀，但較少見，例如三角分布、M形分布（雙峰分布）、傾斜分布（不對稱分布）等等。

5．3什么不是測量不確定度

操作人員失誤就不是不確定度。這一類都不應計入對不確定度的貢獻。這些都應通過仔細工作并檢查工作來避免發生。

允差不是不確定度。允差是對工藝或產品所選定的允許級限值。（參見下文第10節，關于對技術規范的符合性）

31測量不確定度任何測量中的不確定度一般類型（四）技術條件不是不確定度。技術條件告訴的是對產品你可以期望什么。技術條件可能又很寬的范圍，包?quot;非技術"的質量項目，比如它的外觀。（參見下文第10節）

準確度（或者不如叫不準確度）同樣不是不確定度。遺憾的是這些詞的使用常被混淆。確切的說，"準確度"是一個定性的術語（如你可能說，測量是"準確"的或"不準確"的）。不確定度則是個定量的術語。當引用了"±"符號時，就可稱其為不確定度，但不會是準確度。32測量不確定度任何測量中的不確定度一般類型（四）誤差同樣不是不確定度（雖然過去在詞組中兩詞替換實用是很普遍的，像"誤差分析"）。參見前面在2.3節中的論述。統計分析同樣不是不確定度。統計學可以用來得出各類結論，而這些結論本身并不告知我們任何關于不確定度的什么。不確定度分析只是統計學的一種應用。33測量不確定度如何計算不確定度（五）6．如何計算不確定度

要計算測量不確定度，首先必須識別測量中的不確定度來源。然后你必須估計出每個來源的不確定度大小。最后把各個不確定度合成以給出總不確定度。

有一些明確規則用于評定各項不確定度的貢獻，及如何將它們合成在一起。

6．1估計不確定度的兩種方法

無論你的不確定度來源是什么，總有兩種方法來估計他們："A類"評定和"B類"評定。對大部分測量情況，這兩類不確定度評定都是需要的。34測量不確定度如何計算不確定度（五）A類評定--用統計方法的不確定度估計（通常根據重復讀數）。

B類評定--根據任何其他信息的不確定度估計。這信息可能來自過去的測量經驗，來自校準證書，來自生產廠的技術說明書，來自計算，來自出版物的信息，根據常識等等。有一種迷惑的說法，認為"A類"是"隨機"的，而"B類"是"系統"的，但這并不是必然正確的。如何使用來自A類評定和B類評定的信息，將在后面闡述。35測量不確定度如何計算不確定度（五）6．2評不確定度的八個主要步驟

評定測量總不確定度的主要步驟如下：

1．確定你從測量需要的出什么。為產生最終結果，要決定需要什么樣的實際測量和計算。

2．實施所需要的測量。

3．估計供給最終結果的各輸入量的不確定度。要以相同的條件表示所有的不確定度。（參見7.1節）36測量不確定度如何計算不確定度（五）4．確定各輸入量的誤差是否彼此不相關。如果你認為有相關的，那就需要某些額外的計算和信息。（參見7.3節中的相關性）

5．計算你的測量結果（包括像校準等事的已知修正值）

6．根據所有各個方面情況求合成標準不確定度。（參見7.2節）

7．用包含因子（參見7.4節），與不確定度范圍的大小一起，表述不確定度，并說明置信概率。

8．寫下測量結果和不確定度，并說明你是如何得到它們的。（參考8節）37測量不確定度如何計算不確定度（五）7．你做不確定度計算前應該知道的其他一些事

不確定度分量在它們合成之前必須要以相同條件表示。這樣，就必須要在同樣置信概率下，以同樣的單位給出所有不確定度。

7．1標準不確定度

所有有貢獻的不確定度，都應以相同的置信概率并將它們換算稱標準不確定度來表示。38測量不確定度如何計算不確定度（五）標準不確定度是可以認為其大小為"正負一倍標準偏差"的范圍。標準不確定度告知了我們關于平均值的不確定度（不只是各個值的分散度）。標準不確定度通常用符號u（小寫u）或u（y）（y的標準不確定度）來表示。39測量不確定度如何計算不確定度（五）7．1．1對A類評定計算標準不確定度

當取了一組若干個重復讀數（對A類不確定度估計），則對該組值可計算出平均值，以及估計的標準偏差s。據此，對平均值的估計的標準不確定度u按下式計算：u=s/√n

式中，n是該組值的測量次數。（平均值的標準不確定度在歷史上也曾稱作平均值的標準偏差，或平均值的標準誤差。）40測量不確定度如何計算不確定度（五）7．1．2對B類評定計算標準不確定度

在信息比較欠缺的場合（在某些B類估計中），你也許只能估計不確定度的上限和下限。然后你可能不得不假定每個值都以相同可能性落在上、下限之間的任何地方，也就是矩形分布或者均勻分布。對矩形分布的標準不確定度由下式來求：a/√3

式中a是上下限與下限之間的半區間（或者稱半寬度）。41測量不確定度如何計算不確定度（五）矩形分布或均勻分布的出現是十分常見的，但是如果你有充分理由認為是某個其它分布，那么你就應該分布做計算。例如，你可以假設從測量儀器的校準證書中"引入"的不確定度是正態分布。42測量不確定度如何計算不確定度（五）7．1．3把不確定度從一個單位換算稱其它單位

在各不確定度分量合成以前，它們必須是相同單位的。常言道，你不能"拿蘋果與梨比"。

例如，做長度測量，最終還是用長度來表述測量不確定度。有一項不確定度來源可能是室溫的變化。雖然這項不確定度的來源是溫度，但效應是用長度來表示的，并必須用長度單位來計算它。你要是知道對被測材料溫度每升高一度就膨脹0.1%。在這樣情況下，對一根100cm長的材料，如果溫度的不確定度為2攝氏度，長度的不確定度就是±0.2cm。一旦標準不確定度都用一致的單位表示，就可用下述技巧之一來求合成不確定度。43測量不確定度如何計算不確定度（五）7．2合成標準不確定度

由A類或B類評定所計算的的多個標準不確定度可以用"平方和法"（眾所周知的"方和根法"）有效地進行合成。這樣合成的結果成為合成標準不確定度，用uc和uc（y）表示。

在用加減法就得到測量結果的場合，平方和法是最簡便的。下文還將涉及測量值的乘除關系和其它函數關系方面的較復雜的情況。44測量不確定度如何計算不確定度（五）7．2．1對加、減關系的平方和法

測量結果是一些列被測量值之和（或相加或相減）的情況是最簡單的。舉例來說，你可能需要求得由不同寬度圍墻壁圍成圍墻的總長度。如果每塊圍墻壁長度的標準不確定度（以米為單位）由a、b、c等等給定，那么就可通過對多不確定度乘方，再將它們加在一起，然后對總和取平方跟，來求得總圍墻的合成標準不確定度（以米為單位）。即成不確定度=

45測量不確定度如何計算不確定度（五）7．2．2對乘、除關系的平方和法

對有的較復雜情況，用相對不確定度或分數表示的不確定度來簡化計算工作可能是有效的。

例如，你可能需要對一塊矩形地毯通過其長度L乘以寬度W來求得它的面積A（即A=LXW）。地毯面積的相對不確定度或分數不確定度可以根據長度和寬度的分數不確定度求得。對具有不確定度u（L）的長度L，相對不確定度為u（L）/L。對寬度W，則相對不確定度為u（W）/W。那么面積的相對不確定度u（A）/A由下式給出：46測量不確定度如何計算不確定度（五）對由三個因素相乘得到測量結果的情況，式（5）就由三個這樣的平方項，依此類推。對于測量結果是兩個值的商（即一個數除以另一個書，如長度除以寬度）的情況，也能用這個公式（完全相同形式）。換句話說，這種公式形式包容了所有乘或除的情況。47測量不確定度如何計算不確定度（五）7．2．3對更復雜函數的平方和法

在最終測量結果的計算中對某值乘方（如Z2）的場合，那么對乘方分量的相對不確定度用下式表示：

對測量結果的部分計算是平方根（如？）的地方，那么對該分量的相對不確定度用下式表示：

48測量不確定度如何計算不確定度（五）當然，有些測量是用由加、減、乘、除等等復合形式的關系式來處理的。例如：你可能測量的是電阻R和電壓V，然后用下列關系式計算形成功率P的結果：在這種情況下，功率值的相對不確定度u（P）/P由下式給出：49測量不確定度如何計算不確定度（五）一般而言，對多步的計算，也可以每一步采用加法、乘法等相應的形式，分多部隊標準不確定度乘方合成處理。對復雜公式的標準不確定度合成在其它文獻中有更完整的討論（例如UKAS出版物M3003）。50測量不確定度如何計算不確定度（五）7．3相關性

在以上7.2節中用來計算合成標準不確定度的關系式，如果輸入量的標準不確定度都不是相互有關系或者說不相關，那才是正確的。這意味著我們通常必須要問是否所有的不確定度分量都是獨立的。一個輸入量的大誤差會造成另一輸入量的大誤差嗎？某些外界的影響，如溫度，會同是對不確定度的幾個方面有明顯的相似影響嗎？通常多個誤差都是獨立的。但如果他們不獨立，那么就需要做額外的計算。51測量不確定度如何計算不確定度（五）7．4包含因子k

為了求得合成標準不確定度，同意的換算了不確定度分量，然后我們還會要在換算測量結果。合成標準不確定度可被看作相當于"一倍的標準偏差"，但我們還會希望具有在另外置信概率下，（如95%）表述的總不確定度。可以用包含因子k來做這種再估計。用包含因子k乘以合成標準不確定度uC所給出的結果稱為擴展不確定度，通常用符號U表示，即52測量不確定度如何計算不確定度（五）包含因子的特定值就給出了對擴展不確定度的特定置信概率。

最常見到，我們是用包含因子k=2來估計總不確定度，給出的置信概率約為95%。（如果合成標準不確定度是正態分布，那么k=2是正確的。通常這是一種合理假定，但對它的推論其它出處有解釋，參見16節所列資料）53測量不確定度如何計算不確定度（五）幾個其它包含因子（對正態分布）為：

k=1置信概率約為68%

k=2.58置信概率約為99%

k=3置信概率約為99.7%

其它不常見的分布形狀具有不同的包含因子。54測量不確定度如何計算不確定度（五）幾個其它包含因子（對正態分布）為：

k=1置信概率約為68%

k=2.58置信概率約為99%

k=3置信概率約為99.7%

其它不常見的分布形狀具有不同的包含因子。55測量不確定度如何計算不確定度（五）反之，凡是引用了具有給定包含因子的擴展不確定度的地方，你就可用反向程序求得標準不確定度，即除以相應的包含因子。（這是求得合成標準不確定度的基礎，如7.1.1和7.1.2節所示）這個意思是說，從校準證書上給出擴展不確定度如果表述正確，那么就可"解"出標準不確定度。56測量不確定度如何表述測量答案（六）

8．如何表述測量答案

表述測量答案是重要的，以便閱讀者可以使用這個信息。要注意的主要事項有：●測量結果要與不確定度值一起表述，例如"棍子長度為20cm±1cm"。

●對包含因子和置信概率作說明。推薦的說法為："報告的不確定度是根據標準不確定度乘以包含因子k=2，提供的置信概率約為95%"。

●不確定度是如何估計的（你可以參考有闡述此法的出版物，如UKAS出版物M3003）。57測量不確定度如何表述測量答案（六）

9．舉例--不確定度的基本算法

以下舉的是一個簡單的不確定度分析例子。例子太詳細并不顯示，不過這意思是說簡單有清晰的例子足以說明方法了。首先是闡述測量和不確定度分析。其次吧不確定度分析表示在一張表格上（"填表模省?"或"不確定度匯總表"）58測量不確定度如何表述測量答案（六）

9．1測量一根繩子有多長？

假定你要仔細估計一根繩子的長度，按照6.2節所列步驟，過程如下。

例3計算一根繩子長度的不確定度

步驟一：確定你從你的測量中需要得到的是什么，為產生最終結果，要決定需要什么樣的實際測量和計算。你要測量長度而使卷尺。除了在卷尺上的實際長度讀數外，你也許有必要考慮：59測量不確定度如何表述測量答案（六）

●卷尺的可能誤差

卷尺是否需要修正或者是否有了表明其正確讀數的校準

那么校準的不確定度是多少？

卷尺易于拉長嗎？

可能因彎曲而使其縮短嗎？從它校準以來，它會改變多少？

分辨力是多少？即卷尺上得分度值是多少？（如mm）60測量不確定度如何表述測量答案（六）

●由于被測對象的可能誤差

繩子伸直了嗎？欠直還是過直？

通常的溫度或濕度（或任何其它因素）會影響其實際長度嗎？

繩的兩端是界限清晰的，還是兩端是破損的？61測量不確定度如何表述測量答案（六）

●由于測量過程和測量人員的可能誤差

繩的起始端與尺的起始端你能對得有多齊？

卷尺能放的與繩子完全平行嗎？

測量如何能重復？

你還能想到其它問題嗎？62測量不確定度如何表述測量答案（六）

步驟2：實施所需要的測量。你實施并紀錄你的長度測量。為了格外充分，你進行重復測量總計10次，每一次都重新對準卷尺（實際上也許并不十分合理）。讓我們假設你計算的平均值為5.017米，估計的標準不確定度為0.0021m（即2.1mm）。63測量不確定度如何表述測量答案（六）對于仔細測量你還可以記錄：

你在什么時間測量的

你是如何測的，如沿著地面還是豎直的，卷尺反向測量與否，以及你如何使卷尺對準繩子的其它詳細情況

你使用的是哪一個卷尺

環境條件（如果你認為會影響你測量結果的那些條件）

其它可能相關的事項64測量不確定度如何表述測量答案（六）步驟3：估計供給最終結果的各輸入量的不確定度。以同類項（標準不確定度）表述所有的不確定度。你要檢查所有的不確定度可能來源，并估計其每一項大小。假定是這樣的情況：

卷尺已校準過。雖然它沒有修正必要，但校準不確定度是讀數的0.1%，包含因子k=2（對正態分布）。在此情況下，5.017m的0.1%接近5mm。再除以2就給出標準不確定度(k=2)為u=2.55mm。65測量不確定度如何表述測量答案（六）

卷尺上得分度值為毫米。靠近分度線的讀數給出的誤差不大于±0.5mm。我們可以取其為均勻分布的不確定度（真值讀數可能處在1mm間隔內的任何地方--即±0.5mm）。為求的標準不確定度u，我們將半寬（0.5mm）除以根號3，得到近似值u=0.3mm。

卷尺處于伸直狀態，假定繩子不可避免地有一點點彎。所以測量很可能偏低估計繩子的長度。假定偏低估計約為0.2%。這就是說，我們應該用加上0.2%（即10mm）來修正測量結果。由于缺少更合適的信息，就假設不確定度是均勻分布。用不確定的半寬（10mm）除以根號3，得出標準不確定度u=5.8mm(取到最接近的0.1mm)。66測量不確定度如何表述測量答案（六）以上是全部B類評定，下面是A類評定。

標準偏差告訴我們的是卷尺位置可重復到什么程度，及其對平均值的不確定度貢獻了多少。10次讀數平均值的估計的標準偏差用3.6節的公式來求：讓我們假定在本例中不需要考慮其它不確定度了。（實際上，很可能需要計入其它一些問題）。67測量不確定度如何表述測量答案（六）步驟4：確定各輸入量的誤差是否彼此不相關。（如果你認為有相關的，那么就需要某些額外的計算和信息）按本例情況，我們就說輸入量都不相關。步驟5：計算你的測量結果（包括對校準等事項的已知修正值）。改測量結構取自平均讀數值，加上卷尺放的稍歪的必要修正值，即5.017m+0.010m=5.027m68測量不確定度如何表述測量答案（六）步驟6：根據所有各個方面情況求合成標準不確定度。求測量結果所用的唯一計算是加修正值，所以能以最簡單的方式采用平房和法（7.2.1節所采用的公式）。標準不確定度被合成如下：合成標準不確定度=69測量不確定度如何表述測量答案（六）步驟7：用包含因子（參見7.4節），與不確定度范圍的大小一起，表述不確定度。并說明置信概率。對包含因子k=2，就用2乘以合成標準不確定度，則給出擴展不確定度為12.8mm（即0.0128m）。這賦予的置信概率約為95%。步驟8：記下測量結果和不確定度，并說明你是如何得到它們的。你可以記述如下：“繩子的長度為：5.027m±0.013m。70測量不確定度如何表述測量答案（六報告的擴展不確定度是根據標準不確定度乘以包含因子k=2得出的，提供的置信概率約為95%。”；“報告的長度是對水平放置的繩子做10次重復測量的平均值。估計了測量時繩子放置不完全直的影響，而對測量結果作了修正。不確定度是按《測量不確定度初學者指南》的方法估算的。71測量不確定度如何表述測量答案（六）9．2不確定度的分析--數據表格模式

為了有助于計算過程，按下表1填表方式總結不確定度分析或稱“不確定度匯總表”。見附表合成標準不確定度：假設的正態6.4mm擴展不確定度：假設的正態（k=2）12.8mm

*此處采用的是半寬度除以根號3

72測量不確定度如何表述測量答案（六）表1表示成"不確定度匯總表"的數據表格模式不確定度來源數值概率分布除數標準不確定度校準不確定度5.0正態22.5分辨力0.5矩形根號35.3放置不完全值10.0矩形根號35.810次重復讀數平均值的標準不確定度0.7正態10.773測量不確定度其它說明（七）10．其它說明（例如對技術規范的符合性）

在根據測量結果做出結論時，一定不要忘記測量不確定度。這在用測量結果檢驗是否符合技術規范時是很重要的。

有時測量結果雖然清楚地落在技術規范限值的范圍內或外，但不確定度會交疊在限值上。圖7種的例解說明了四種結果。74測量不確定度其它說明（七）圖（7）75測量不確定度其它說明（七）圖7測量結果及其不確定度相對于規定的技術規范限值所處位置的四種情況。（同樣，不確定度還可能與規定的下限交疊）

情況（a），測量結果和不確定度都落在規定的上下限內，這歸為"合格"類。

情況（b），無論測量結果還是不確定度范圍的任何部分都沒有落在規定的限值內，這就歸為"不合格"類。76測量不確定度其它說明（七）情況（b）和（c）即不完全在限值內，也非完全顯現之外，對符合與否不能做出明確結論。

在說明是否符合技術規范以前，總要核對一下技術規范。有是規范還包含多種性能，諸如外觀、電接頭、互換性等等，這些與已測的內容毫無關系。77測量不確定度一些良好的測量習慣（八）11．如何降低測量中的不確定度

始終要記住，使不確定度降至最低與隊不確定度定量通常都一樣重要。由一些好的做法能有助于在一般做測量中降低不確定度，現推薦如下幾點：●校準測量儀器（或者你已有校準過的儀器）并使用證書上給出的校準的修正值。

●對你知道的任何（其它）誤差做修正來補償。78測量不確定度一些良好的測量習慣（八）●使你的測量溯源到國家標準--采用校準方法，這可以通過不間斷地測量鏈溯源到國家標準。如果通過測量認可（英國由UKAS負責）對測量做了質量保證，你對測量的溯源性就可特別信任。

●選擇最好的測量儀器，并使用具有最小不確定度的校準設備。

●通過重復測量或不時地請他人做重復測量來檢查測量，也可用其它檢查方法。用不同方法進行檢查可能是最好的方法。79測量不確定度一些良好的測量習慣（八）●審核計算，并將數據另外抄錄下來，再對其審核。

●用不確定度匯總表識別出最差的不確定度，并將它們提出來。

●要注意，在逐級的校準鏈中，不確定度是逐級增大的。80測量不確定度一些良好的測量習慣（八）12．其它的一些良好的測量習慣

總的說來，要養成測量中公認的好習慣。

●要按照生產廠的說明書來使用和保養儀器。

●要用有經驗的人員，并為測量提供培訓。

●要對軟件做核查或證實其有效，以確信其工作無誤。

●在你的計算中要采用正確的修約方法。（參見13.4節）81測量不確定度一些良好的測量習慣（八）●對你的測量和計算要保有良好紀錄。測量中隨時記下讀書。要保持對可能有關系的任意額外信息的記載。如果在什么時候產生對過去測量的懷疑。這種記載就會非常有用。

在別處還詳述了許多其它的測良好習慣。例如國際標準ISO/IEC17025《檢測和校準實驗室能力的通用要求》。參見16節"進一步讀物"82測量不確定度計算器的正確使用（九）13．計算器的使用

在用計算器和計算機計算不確定度時，你必須了解如何在使用中避免出錯。

13．1計算器的按鍵（x杠）鍵給的是你輸入計算器儲存的數值的平均值（算術平均值）

（西格瑪n減一）鍵（有時用符號s）給的是在你有限樣本基礎上的“總體”估計的標準偏差。（實際上，任何一組讀數都是可能讀數的“無限總體”中的一個小樣本。），或者s，是標準偏差的估計值，這對本指南7.11節的"A類評定"在計算不確定度時是你應當采取的。83測量不確定度計算器的正確使用（九）你的計算器可能還會有標有的鍵。對不確定度的估算你通常不會使用：給出的是樣本本身的標準偏差，并不給出對你想要表征的較大“總體”的“估計值”。對非常多的讀數。就非常接近。但是對只有適度次數讀數的實際測量情況，你就用不著。84測量不確定度計算器的正確使用（九）13．2計算器和軟件的誤差

計算器能出錯？！實際上，在處理非常長的數字時，它們有時會給出意想不到的結果。例如有的計算器給出如下結果：0.00002X0.0000002=0（確實如此）而正確答案是0.0000000000004。（當然，這最好表述成。）甚至計算機也會由這種修約誤差的缺點。為了識別這個問題，就應通過典型的"手"算來檢查數據表格軟件已正式這兩種方法是否相吻合。要避免這些修約方面的問題，在你的計算中采用"變換"數字是切實可行的（這種換算有時也叫比例換算或數字編碼）。85測量不確定度計算器的正確使用（九）13．3比例換算例4所示是如何做比例換算來避免軟件和計算器的誤差，而且在你計算中如果沒有計算器，如何使你運算更容易。

例4對1.00000003，1.00000006和1.00000012求平均值和估計的標準偏差。

對全部數值的計算，你可以求3、6、12的平均值（平均值為7），然后再導出原數值的平均值為1.00000007。

逐步過程：你從1.00000003、1.00000006、1.00000012都減去整數1，得到：0.000000030.000000060.00000012

然后乘以100000000()把整個計算成為整數運算，即3612去平均值接著反過來，把該平均值除以，即7/100000000=0.00000007。再加上1，即有1.00000007

86測量不確定度計算器的正確使用（九）按類似的方法用“比例運算”來計算估計的標準偏差。換算數據如前：3612去平均值接著反過來，把該平均值除以，即7/100000000=0.00000007

再加上1，即有1.0000000787測量不確定度計算器的正確使用（九）按類似的方法用“比例運算”來計算估計的標準偏差。換算數據如前：3612

并有換算的平均值7。用計算器或按如下的前述公式（見3.6節）來求估計的標準偏差：求每一個數與平均值之差，即有：-4-15

對每一個差值求平方，即有：16125

88測量不確定度計算器的正確使用（九）求合并除以n-1，即：取平方根，即有：=4.6（取到一位小數）然后將此結果（4.6）換算回原比例，得到估計的標準偏差為0.000000046。（注意，這不是1.000000046，因為移位數字組的標準偏差是不變的。）89測量不確定度計算器的正確使用（九）13．4數字修約

計算器和數據表格軟件都能對答案給到許多位小樹。對結果的修約有一些推薦的做法：對計算值采用修約到有意義位次。測量結果的不確定度可能規定你應報告到多少數位。例如，假設你的測量結果的不確定度是到小數點第一位，那么測量結果也應該表述到小數點一位，例如：20.1cm±0.2cm使你的計算至少到比你最重要求得有效數字多一位。在你在做乘或除，或者更復雜的計算時，要意識到你需要用多少位有效數。90測量不確定度計算器的正確使用（九）對數值的修約應在計算的最終進行，以避免有修約誤差。舉例來說，如果對2.346在計算中早一步就修約到2.35，那么后來就可能修約到2.4。但如果在整個運算中都用2.346，那么在最終就會正確的修約到2.3。雖然計算結果最終修約乘或進或舍，這取決于最接近的數字*，但對不確定度修約的規則是與此不同的。對最終不確定度的修約都是尾數進位，而不是舍去。91測量不確定度再學習并付諸實踐（十）14．再學習并付諸實踐

現在你知道了不確定度評定的基礎知識。但是在你能將這些知識用于實踐以前，你還會需要進一步的指導。

在16節"進一步的讀物"所列的文本中可以找到更多的信息。在UKAS（英國認可機構）出版的文件M3003"TheExpressionofUncertaintyandConfidenceinMeasurement"（《測量的不確定度與置信度的表述》）中，給出了關于如何正確而又充分的分析測量不確定度的細則。在EA-4102"ExpressionofUncertaintyofMeasurementinCalibration"（《校準中測量不確定度的表述》）中也給出了類似的導則。92測量不確定度再學習并付諸實踐（十）這些文件的目標是對那些需求認可其校準或檢測的實驗室的。這些文件對估算測量不確定度做了全面說明，用多種不同類型測量的運算實例以完善這種說明。這些文件給出了關于不確定度方面術語的專業定義，并列出了相應的常用符號。它們還處理了一些特殊情況