2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖是二次函數的部分圖象，則函數的零點所在的區間是（）A． B． C． D．2．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，則＝（）A．{2，3，4，5} B．{2，3，4，5，6}C．{1，2，3，4，5，6} D．{1，3，4，5，6，7}4．已知，則下列不等式正確的是（）A． B．C． D．5．已知，若對任意，關于x的不等式（e為自然對數的底數）至少有2個正整數解，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．我國古代數學著作《九章算術》中有如下問題：“今有器中米，不知其數，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗為十升).問，米幾何？”下圖是解決該問題的程序框圖，執行該程序框圖，若輸出的S=15(單位：升)，則輸入的k的值為（）?A．45 B．60 C．75 D．1007．在中，為邊上的中線，為的中點，且，，則（）A． B． C． D．8．已知的共軛復數是，且（為虛數單位），則復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．給出個數，，，，，，其規律是：第個數是，第個數比第個數大，第個數比第個數大，第個數比第個數大，以此類推，要計算這個數的和．現已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請在圖中判斷框中的①處和執行框中的②處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能()A．； B．；C．； D．；10．已知為拋物線的焦點，點在上，若直線與的另一個交點為，則()A． B． C． D．11．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．12．已知等邊△ABC內接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一組樣本數據7，9，，8，10的平均數為9，則該組樣本數據的方差為______.14．已知拋物線的焦點為，斜率為2的直線與的交點為，若，則直線的方程為___________．15．如圖所示梯子結構的點數依次構成數列，則________.16．已知雙曲線C：（）的左、右焦點為，，為雙曲線C上一點，且，若線段與雙曲線C交于另一點A，則的面積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若函數，試討論的單調性；（2）若，，求的取值范圍.18．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）若函數在區間上的最小值為，求m的值.19．（12分）據《人民網》報道，美國國家航空航天局（NASA）發文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛星資料顯示中國和印度的行動主導了地球變綠.據統計，中國新增綠化面積的來自于植樹造林，下表是中國十個地區在去年植樹造林的相關數據.（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復、人工更新的面積之和）單位：公頃地區造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復人工更新內蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）請根據上述數據分別寫出在這十個地區中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區；（2）在這十個地區中，任選一個地區，求該地區新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率；（3）在這十個地區中，從退化林修復面積超過一萬公頃的地區中，任選兩個地區，記X為這兩個地區中退化林修復面積超過六萬公頃的地區的個數，求X的分布列及數學期望.20．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為（α為參數）．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為，點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中點．證明：；設，點M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．22．（10分）已知兩數．（1）當時，求函數的極值點；（2）當時，若恒成立，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據二次函數圖象的對稱軸得出范圍，軸截距，求出的范圍，判斷在區間端點函數值正負，即可求出結論.【詳解】∵，結合函數的圖象可知，二次函數的對稱軸為，，，∵，所以在上單調遞增.又因為，所以函數的零點所在的區間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數的圖象及函數的零點，屬于基礎題.2、C【解析】

由余弦函數的單調性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數在區間上單調遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數的單調性、大角對大邊以及正弦定理的應用，考查推理能力，屬于中等題.3、C【解析】

根據集合的并集、補集的概念，可得結果.【詳解】集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，故＝{1，4，5，6}，所以＝{1，2，3，4，5，6}.故選：C.【點睛】本題考查的是集合并集，補集的概念，屬基礎題.4、D【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項．【詳解】已知，賦值法討論的情況：（1）當時，令，，則，，排除B、C選項；（2）當時，令，，則，排除A選項.故選：D.【點睛】比較大小通常采用作差法，本題主要考查不等式與不等關系，不等式的基本性質，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于中等題．5、B【解析】

構造函數（），求導可得在上單調遞增,則,問題轉化為,即至少有2個正整數解,構造函數,,通過導數研究單調性,由可知，要使得至少有2個正整數解,只需即可,代入可求得結果.【詳解】構造函數（），則（），所以在上單調遞增，所以，故問題轉化為至少存在兩個正整數x，使得成立，設，，則，當時，單調遞增；當時，單調遞增.，整理得.故選:B.【點睛】本題考查導數在判斷函數單調性中的應用,考查不等式成立問題中求解參數問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.6、B【解析】

根據程序框圖中程序的功能，可以列方程計算．【詳解】由題意，．故選：B.【點睛】本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關鍵．7、A【解析】

根據向量的線性運算可得,利用及，計算即可.【詳解】因為,所以，所以，故選：A【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，向量數量積的運算，向量數量積的性質，屬于中檔題.8、D【解析】

設，整理得到方程組，解方程組即可解決問題．【詳解】設，因為，所以，所以，解得：，所以復數在復平面內對應的點為，此點位于第四象限.故選D【點睛】本題主要考查了復數相等、復數表示的點知識，考查了方程思想，屬于基礎題．9、A【解析】

要計算這個數的和，這就需要循環50次，這樣可以確定判斷語句①，根據累加最的變化規律可以確定語句②.【詳解】因為計算這個數的和，循環變量的初值為1，所以步長應該為1，故判斷語句①應為，第個數是，第個數比第個數大，第個數比第個數大，第個數比第個數大，這樣可以確定語句②為，故本題選A.【點睛】本題考查了補充循環結構，正確讀懂題意是解本題的關鍵.10、C【解析】

求得點坐標，由此求得直線的方程，聯立直線的方程和拋物線的方程，求得點坐標，進而求得【詳解】拋物線焦點為，令，，解得，不妨設，則直線的方程為，由，解得，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的弦長的求法，屬于基礎題.11、B【解析】

，利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，，故當，即時，.故選：B.【點睛】本題考查整體換元法求正弦型函數的最值，涉及到二倍角公式的應用，是一道中檔題.12、D【解析】

如圖所示建立直角坐標系，設，則，計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設，則.當，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了向量的計算，建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據題意，由平均數公式可得，解得的值，進而由方差公式計算，可得答案．【詳解】根據題意，數據7，9，，8，10的平均數為9，則，解得：，則其方差.故答案為：1．【點睛】本題考平均數、方差的計算，考查運算求解能力，求解時注意求出的值，屬于基礎題．14、【解析】

設直線l的方程為，，聯立直線l與拋物線C的方程，得到A，B點橫坐標的關系式，代入到中，解出t的值，即可求得直線l的方程【詳解】設直線．由題設得，故，由題設可得．

由可得，

則，從而，得，所以l的方程為,故答案為：【點睛】本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.15、【解析】

根據圖像歸納，根據等差數列求和公式得到答案.【詳解】根據圖像：，，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數列的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.16、【解析】

由已知得即，,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯立求得點A坐標,借助,即可解得所求.【詳解】由已知得，又，，所以，解得或，由在雙曲線C上，所以或，所以或（舍去），因此雙曲線C的方程為.又，所以線段的方程為，與雙曲線C的方程聯立消去x整理得，所以，，所以點A坐標為，所以.【點睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關系,考查雙曲線方程的求解,考查求三角形面積,考查學生的計算能力,難度較難.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）由于函數，得出，分類討論當和時，的正負，進而得出的單調性；（2）求出，令，得，設，通過導函數，可得出在上的單調性和值域，再分類討論和時，的單調性，再結合，恒成立，即可求出的取值范圍.【詳解】解：（1）因為，所以，①當時，，在上單調遞減.②當時，令，則；令，則，所以在單調遞增，在上單調遞減.綜上所述，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）因為，可知，，令，得.設，則.當時，，在上單調遞增，所以在上的值域是，即.當時，沒有實根，且，在上單調遞減，，符合題意.當時，，所以有唯一實根，當時，，在上單調遞增，，不符合題意.綜上，，即的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性和根據恒成立問題求參數范圍，還運用了構造函數法，還考查分類討論思想和計算能力，屬于難題.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）先求導，再對m分類討論，求出的單調性；（2）對m分三種情況討論求函數在區間上的最小值即得解.【詳解】（1）若，當時，；當時.，所以在上單調遞增，在上單調遞減若.在R上單調遞增若，當時，；當時.，所以在上單調遞增，在上單調遞減（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，則.則不合題意當時，在上單調遞減，在上單調遞增.則，即又因為單調遞增，且，故綜上，【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性和最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）人工造林面積與總面積比最大的地區為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區為青海省；（2）；（3）分布列見詳解，數學期望為【解析】

（1）通過數據的觀察以及計算人工造林面積與造林總面積比值，可得結果.（2）通過數據的觀察以及計算新封山育林面積與造林總面積比值，得出比值超過的地區個數，然后可得結果.（3）計算退化林修復面積超過一萬公頃的地區中選兩個地區總數，退化林修復面積超過六萬公頃的地區的個數為，列出所有取值并計算相應概率，然后可得結果.【詳解】（1）人工造林面積與總面積比最大的地區為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區為青海省.（2）記事件A：在這十個地區中，任選一個地區，該地區新封山育林面積占總面積的比值超過根據數據可知：青海地區人工造林面積占總面積比超過，則（3）退化林修復面積超過一萬公頃有6個地區：內蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆，其中退化林修復面積超過六萬公頃有3個地區：內蒙、河北、重慶，所以X的取值為0，1，2所以，，隨機變量X的分布列如下：【點睛】本題考查數據的處理以及離散型隨機變量的分布列與數學期望，審清題意，細心計算，屬基礎題.20、（1），（2）【解析】

試題分析：利用將極坐標方程化為直角坐標方程：化簡為ρcosθ＋ρsinθ＝1，即為x＋y＝1．再利用點到直線距離公式得：設點P的坐標為（2cosα，sinα），得P到直線l的距離試題解析：解：化簡為ρcosθ＋ρsinθ＝1，則直線l的直角坐標方程為x＋y＝1．設點P的坐標為（2cosα，sinα），得P到直線l的距離，dmax＝．考點：極坐標方