必修5數列知識點總結及題型歸納必修5數列知識點總結及題型歸納必修5數列知識點總結及題型歸納必修5--數列知識點總結及題型歸納數列一、數列的看法1）數列定義：按必定次序擺列的一列數叫做數列；2）通項公式的定義：假如數列{an}的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式。比方：①：1，2，3，4，5，1111②：1，，，，2345（3）數列的函數特色與圖象表示：456789序號：123456項：4567894）數列分類：①按數列項數是有限還是無窮分：有窮數列和無量數列；②按數列項與項之間的大小關系分：單調數列（遞加數列、遞減數列）、常數列和搖動數列。例：以下的數列，哪些是遞加數列、遞減數列、常數列、搖動數列？（1）1，2，3，4，5，6，(2)10,9,8,7,6,5,(3)1,0,1,0,1,0,(4)a,a,a,2/20a,a,（5）數列{an}的前n項和Sn與通項an的關系：S1(n1)anSn1(n≥2)Sn例：已知數列{an}的前n項和sn2n23，求數列{an}的通項公式二、等差數列題型一、等差數列定義：一般地，假如一個數列從第起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差平時用字母d表示。用遞推公式表示為anan1d(n

2項或an1and(n1)。例：等差數列an2n1，anan1題型二、等差數列的通項公式：ana1(n1)d；等差數列（平時可稱為AP數列）的單調性：d0為遞加數列，d0為常數列，d0為遞減數列。例：1.已知等差數列an中，a7a916，a41，則a12等于（）A．15B．30C．31D．642.{an}是首項a11，公差d3的等差數列，假如an2005，則序號n等于（A）667（B）668（C）669（D）6703/20題型三、等差中項的看法：定義：假如a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的ab等差中項。此中A2a，A，b成等差數列ab即：2an1ananA22（2ananmanm）例：1．設an是公差為正數的等差數列，若a1a2a315，A．120B．105C．90D．75設數列{an}是單調遞加的等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（）A．1B.2C.4D.84/20題型四、等差數列的性質：1）在等差數列an中，從第2項起，每一項為哪一項它相鄰二項的等差中項；2）在等差數列an中，相隔等距離的項構成的數列是等差數列；（3）在等差數列an中，對任意m，nN，anam(nm)d，anam(mn)；nm（4）在等差數列an中，若m，n，p，qN且mnpq，則amanapaq；題型五、等差數列的前n和的乞降公式：n(a1an)n(n1)12（adSAn2Bn(A,B為常數)nan22212是等差數列)遞推公式：Sn(a1an)n(aman(m1))n22例：1.假如等差數列an中，a3a4a512，那么a1a2...a7（A）14（B）21（C）28D）35設Sn是等差數列an的前n項和，已知a23，a611，則S7等于( )A．13B．35C．495/20D．63設等差數列an的前n項和為Sn，若S972,則a2a4a9=若一個等差數列前3項的和為34，最后3項的和為146，且全部項的和為390，則這個數列有（）A.13項B.12項C.11項D.10項5.設等差數列an的前n項和為Sn，若a55a3則S9S5已知an數列是等差數列，a1010，其前10項的和S1070，則其公差d等于()21C.1D.2A．B．33337．設｛an｝為等差數列，Sn為數列｛an｝的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數列｛Sn｝的n前n項和，求Tn。題型六.對與一個等差數列，Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等差數列。例：1.等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（）A.130B.170C.210D.2602.一個等差數列前n項的和為48，前2n項的和為60，6/20則前3n項的和為。設Sn為等差數列an的前n項和，S414，S10S730，則S9=4．（06全國II）設Sn是等差數列｛an｝的前n項和，若S3＝1，則S6＝S63S12A．3B．1C．11038D．19題型七．判斷或證明一個數列是等差數列的方法：①定義法：an1and(常數）（nN）an是等差數列②中項法：2an1anan2（nN)an是等差數列③通項公式法：anknb(k,b為常數)an是等差數列④前n項和公式法：SnAn2Bn(A,B為常數)an是等差數列例：1.已知一個數列{an}的前n項和sn2n24，則數列{an}為（）A.等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.沒法判斷已知一個數列{an}的前n項和sn2n2，則數列{an}為）A.等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.沒法判斷3.數列an滿足a1=8，a42，且an22an1an0（nN）7/20①求數列an的通項公式；題型八.數列最值1）a10，d0時，Sn有最大值；a10，d0時，Sn有最小值；2）Sn最值的求法：①若已知Sn，數Snan2bn的最值；可用二次函數最值的求法（an中的正、負分界項，即：

Sn的最值可求二次函N）；②也許求出若已知an，則Sn最值時n的值（nN）可以下確定an0或an0。an10an10例：1．等差數列an中，a10，S9S12，則前項的和最大。．設等差數列an的前n項和為Sn，已知a312，S120，S130①求出公差d的范圍，②指出S1，S2，，S12中哪一個值最大，并說明理由。已知{an}是等差數列，此中a131，公差d8。1）數列{an}從哪一項開始小于0？2）求數列{an}前n項和的最大值，并求出對應的值．8/20題型九.利用anS1(n1)求通項．SnSn1(n2)1．已知數列an的前n項和Snn24n1，則設數列{an}的前n項和為Sn=2n2，求數列{an}的通項公式；3.已知數列aa3，nS1(n1)(an1)1n中，1前和n2①求證：數列an是等差數列②求數列an的通項公式4.設數列{an}的前n項和Snn2，則a8的值為（）（A）15(B)16(C)49（D）64等比數列等比數列定義：一、遞推關系與通項公式遞推關系：an1anq通項公式：ana1qn1推行：anamqnm1．在等比數列an中,a14,q2，則an2．在等比數列an中，a22，a554，則a8=在各項都為正數的等比數列{an}中，首項a13，前三項和為21，則a3a4a5（）A33B72C84D1899/20二、等比中項：若三個數a,b,c成等比數列，則稱b為a與c的等比中項，且為bac，注：b2ac是成等比數列的必需而不充分條件.例：1.23和23的等比中項為()(A)1(B)1(C)1(D)2三、等比數列的基天性質，1.（1）若mnpq，則amanapaq(此中m,n,p,qN)（2）qnm2anmanm(nN)an，anam3）an為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列.（4）an既是等差數列又是等比數列an是各項不為零的常數列.例：1．在等比數列an中,a1和a10是方程2x25x10的兩個根,則a4a7( )521(A)(B)(C)222(D)122.在等比數列an中，a1a633，a3a432，anan1①求an②若Tnlga1lga2lgan,求Tn等比數列{an}的各項為正數，且a5a6a4a718,則log3a1log3a2log3a10（）10/20A．12B．10C．8D．2+log35四、等比數列的前n項和，na1qn)(q1)Sna1(1a1anq(q1)1q1q例：1.已知等比數列{an}的首相a15，公比q2，則其前n項和Sn2.設等比數列{an}的前n項和為Sn，已a26,6a1a330，求an和Sn3．設f(n)2242721023n10(nN)，則f(n)等于（）A．2(8n1)B．2(8n11)C．2(8n31)777D．2(8n41)7五.等比數列的前n項和的性質若數列an是等比數列，Sn是其前n項的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比數列.例：1.一個等比數列前n項的和為48，前2n項的和為60，則前3n項的和為（）A．83B．108C．75D．63已知數列an是等比數列，且Sm10，S2m30，則S3m.等比數列的判斷法（1）定義法：an1q（常數）an為等比數列；an（2）中項法：an1anan2(an0)an為等比數列；211/203）通項公式法：4）前n項和法：

ankqn(k,q為常數）anSnk(1qn)（k,q為常數）an

為等比數列；為等比數列。Snkkqn（k,q為常數）an為等比數列。七.利用anS1(n1)求通項．SnSn1(n2)例：1.數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，an11Sn，3n=1，2，3，，求a2，a3，a4的值及數列{an}的通項公式．2.已知數列an的首項a15,前n項和為Sn，且Sn1Snn5(nN*)，證明數列an1是等比數列．求數列通項公式方法1）．公式法（定義法）依據等差數列、等比數列的定義求通項12/20例：1已知等差數列{an}滿足：a37,a5a726，求an；2.已知數列{an}滿足a12,anan11(n1)，求數列{an}的通項公式；3.數列an滿足a1=8，a42，且an22an1an0（nN），求數列an的通項公式；4.已知數列{an}滿足a12,112，求數列an的通項an1an公式；5.設數列{an}滿足a10且111，求{an}的通項公1an11an式6.已知數列{an}滿足a12,an3an1(n1)，求數列{an}的通項公式；7.已知數列{an}滿足a12，a24且an2anan12（nN），求數列an的通項公式；8.已知數列an滿足1且n1n1n（），求{}a2，a5n2(a5)nN13/20數列an的通項公式；9.已知數列{an}滿足a12，且an152n123(an52n2)（nN），求數列an的通項公式；（2）累加法1、累加法適用于：an1anf(n)a2a1f(1)若an1anf(n)(n2)，則a3a2f(2)an1anf(n)兩邊分別相加得an1a1nk1f(n)例：1.已知數列{an}滿足a11an1an1，求數列{an}的,224n1通項公式。已知數列{an}滿足an1an2n1，a11，求數列{an}的通項公式。3.已知數列{an}滿足an1an23n1，a13，求數列{an}的通項公式。4.設數列{an}滿足a12，an1an322n1，求數列{an}的通項公式14/20（3）累乘法適用于：an1f(n)an若an1a2a3an1anf(n)，則a2f(2)，anf(n)f(1)，，例：1.已知數列{an}滿足an12(n1)5nan，a13，求數列{an}的通項公式。2.已知數列an滿足a12，an1nan，求an。3n13.已知a13，an13n1an(n1)，求an。3n24）待定系數法適用于an1qanf(n)解題基本步驟：1、確立f(n)2、設等比數列an1f(n)，公比為3、列出關系式an11f(n1)2[an2f(n)]4、比較系數求1，25、解得數列an1f(n)的通項公式15/206、解得數列an的通項公式例：1.已知數列{an}中，a11,an2an11(n2)，求數列an的通項公式。2．在數列an中，若a11,an12an3(n1)，則該數列的通項an_______________3.已知數列{an}滿足an12an35n，a16，求數列an的通項公式。解：設an1x5n12(anx5n)4．已知數列an中，a15,an11an(1)n1，求an6325．已知數列{an}滿足an12an43n1，a11，求數列an的通項公式。（5）遞推公式中既有Sn又有anS1,n1轉變成數列an或Sn的遞推把已知關系經過anSnSn1,n2關系，而后采納相應的方法求解。數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，an113Sn，n=1，2，3，，求a2，a3，a4的值及數列{an}的通項公式．2.已知數列aa13，S1(n1)(an1)1n中，前n和n2①求證：數列an是等差數列②求數列an16/20的通項公式3．已知數列{an}的各項均為正數，且前n項和Sn滿足1，且a2,a4,a9成等比數列，求數列{an}的通Sn(an1)(an2)6項公式。6）倒數變換法適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項例：1.已知數列{an}滿足an12an,a11，求數列{an}的通an2項公式。數列乞降1．直接用等差、等比數列的乞降公式乞降。n(a1an)n(n1)na1(q1)公比含字母時一Snna1dSna1(1qn)1)221q(q定要談論例：1。已知等差數列{an}滿足a11,a23，求前n項和Sn2．已知等比數列{an}滿足a11,a23，求前n項和Sn3.設f(n)2242721023n10(nN)，則f(n)等于（）2nB.2n1C.2n32n4A.7(81)7(81)7(81)D.7(81)2．錯位相減法乞降：如：an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.例：1．乞降Sn12x3x2nxn117/20123n2.乞降：Sna2a3ana設{an}是等差數列，{bn}是各項都為