一、夾逼準則二、單調有界收斂準則四、連續復利極限存在準則兩個重要極限第五節三、兩個重要極限連續復利一、夾逼準則證上兩式同時成立,上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限例1解由夾逼定理得例2求解由易見對任意自然數有故而所以例2求解而所以例3解求設顯然,又由夾逼準則知即例5求極限解因為故由準則I,故得例6證設有數列求顯然是單調遞增的.下面利用數學歸納法證明有界.因為假定則所以是有界的.從而存在.1.作為準則Ⅰ′的應用，下面證明一個重要的極限三、兩個重要極限例7解求例8解求例9解求原式例10解下列運算過程是否正確:這種運算是錯誤的.當時,本題所以不能應用上述方法進行計算.例11下列運算過程是否正確:正確的作法如下.令則當時,于是定義2、準則Ⅱ的應用，可以證明一個重要的極限類似地,例13解求例14解求例15解求例16解求例18解例19解三、單利與復利利息是指借款者向貨款者支付的報酬,它是根據本金的數額按一定比例計算出來的.利息又有存款利單利計算公式設初始本金為(元),銀行年利率為則第一年末本利和為則第二年末本利和為第年末的本利和為息、債款利息、貼現利息等貨款利息、幾種主要形式.復利計算公式設初始本金為(元),銀行年利率為則第一年末本利和則第二年末本利和本金利息若年末的本利和為四、多次付息現在來討論每年多次付息的情況.單利付息情況因每次的利息都不計入本金,故若一年分次付息,則年末的本利和為即年末的本利和與支付利息的次數無關.復利付息情況因每次支付的利息都記入本金,故年末的本利和支付利息的次數是有關系的.設初始本金為(元),年利率為息,則一年末的本利和為若一年分次付易見本利和是隨的增大而增加的.本利和為而年末的五、連續復利設初始本金為(元),年利率為按復利付息,一年分次付息,則第年末的本利和為若利用二項展開式,有因而即一年計算次復利的本利復利的本利和要大,且復利計算次數愈頻繁,計算和比一年計算一次復利的本利和要大,且復利計算次數愈頻繁,計算所得的本利和數額就愈大,但是也不會無限增大,因為所以,本金為按名義年利率不斷計算復利,則年后的本利和注:連續復利的計算公式在其它許多問題中也常有應用如細胞分裂、樹木增長等問題.例20一投資者欲用1000元投資5年,設年利率為試分別按單利、復利、每年按4次復利和連續復利付息方式計算,到第5年末,該投資者應得的本利和解按單利計算(元).按復利計算(元).按每年計算復利4次計算(元).按連續復利計算(元).思考題求極限思考題解答四、小結1.兩個準則2.兩個重要極限夾逼準則;單調有界準則.思考題有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每月生產小兔一對.而所生小兔亦在第二個月成年，第三個月生產另一對小兔，以后每月亦生產小兔一對.假定每產一對小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年后共有小兔幾對？并求出許多年后，兔子總對數的月增長率.解若用“〇”、“△”分別表示一對未成年和成年的兔子，則根據題設有下面的小兔繁殖數量圖：〇△△△△△△〇△△△△△△△△△△△△△△〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇去年12月1今年1月12月23月34月55月86月13從上圖可看出,從三月份開始,每月的兔子總數恰好等于它前面兩個月的兔子總數之和.按此規律可寫出數列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可見一年后共有兔子233對.按上述規律寫出的無限項數列為著名的斐波那契(Fibonacci)數列,其通項為且此數列有遞推關系：第n月的兔子對數的增長率存在的證明及求法如下：證用數學歸納法容易證明：數列是單調增加的；數列是單調減少的.又,對一切成立.即數列、是有界的.根據“單調有界數列必有極限”的準則可知數列和的極限存在,分別記作b*和b*

,即

兩式相減，得解上方程，得