2023學年高考數學模擬測試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．當時，函數的圖象大致是（）A． B．C． D．2．已知集合，，則的真子集個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．已知，則下列關系正確的是（）A． B． C． D．4．的內角的對邊分別為，若，則內角（）A． B． C． D．5．已知函數滿足：當時，，且對任意，都有，則（）A．0 B．1 C．-1 D．6．若，則實數的大小關系為（）A． B． C． D．7．已知復數（為虛數單位，），則在復平面內對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．9．設i為數單位，為z的共軛復數，若，則（）A． B． C． D．10．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數，則a的值為（）A． B． C． D．11．a為正實數，i為虛數單位，，則a=（）A．2 B． C． D．112．設、分別是定義在上的奇函數和偶函數，且，則（）A． B．0 C．1 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在回歸分析的問題中，我們可以通過對數變換把非線性回歸方程，（）轉化為線性回歸方程，即兩邊取對數，令，得到.受其啟發，可求得函數（）的值域是_________.14．如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后，半球的大圓面、水面均與容器口相平，則的值為____________.15．兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點處的切線方向相同．如圖所示，一列圓(an>0，rn>0，n=1，2…)逐個外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=___，rn=______16．在的二項展開式中，所有項的系數的和為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若在上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）若，對，恒有成立，求實數的最小值.18．（12分）在直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且軸，直線交軸于點，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于兩點，且滿足，求的面積.19．（12分）已知數列的前項和為，且滿足．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）證明：．20．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若，角為鈍角，（1）求的值；（2）求邊的長.21．（12分）設函數.(Ⅰ)當時，求不等式的解集；(Ⅱ)若函數的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.22．（10分）已知函數（），是的導數.（1）當時，令，為的導數.證明：在區間存在唯一的極小值點；（2）已知函數在上單調遞減，求的取值范圍.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】由，解得，即或，函數有兩個零點，，不正確，設，則，由，解得或，由，解得：，即是函數的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數的解析式、定義域、值域、單調性，導數的應用以及數學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.2、C【答案解析】

求出的元素，再確定其真子集個數．【題目詳解】由，解得或，∴中有兩個元素，因此它的真子集有3個．故選：C.【答案點睛】本題考查集合的子集個數問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數，解題關鍵是對集合元素的認識，本題中集合都是曲線上的點集．3、A【答案解析】

首先判斷和1的大小關系，再由換底公式和對數函數的單調性判斷的大小即可.【題目詳解】因為，，，所以，綜上可得.故選：A【答案點睛】本題考查了換底公式和對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．4、C【答案解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數恒等變換可得．【題目詳解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故選：C．【答案點睛】本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關鍵．5、C【答案解析】

由題意可知，代入函數表達式即可得解.【題目詳解】由可知函數是周期為4的函數，.故選：C.【答案點睛】本題考查了分段函數和函數周期的應用，屬于基礎題.6、A【答案解析】

將化成以為底的對數，即可判斷的大小關系；由對數函數、指數函數的性質，可判斷出與1的大小關系，從而可判斷三者的大小關系.【題目詳解】依題意，由對數函數的性質可得.又因為，故.故選:A.【答案點睛】本題考查了指數函數的性質，考查了對數函數的性質，考查了對數的運算性質.兩個對數型的數字比較大小時，底數相同，則構造對數函數，結合對數的單調性可判斷大小；若真數相同，則結合對數函數的圖像或者換底公式可判斷大小；若真數和底數都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.7、B【答案解析】

分別比較復數的實部、虛部與0的大小關系，可判斷出在復平面內對應的點所在的象限.【題目詳解】因為時，所以，，所以復數在復平面內對應的點位于第二象限.故選：B.【答案點睛】本題考查復數的幾何意義，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.8、B【答案解析】

，利用整體換元法求最小值.【題目詳解】由已知，又，，故當，即時，.故選：B.【答案點睛】本題考查整體換元法求正弦型函數的最值，涉及到二倍角公式的應用，是一道中檔題.9、A【答案解析】

由復數的除法求出，然后計算．【題目詳解】，∴．故選：A.【答案點睛】本題考查復數的乘除法運算，考查共軛復數的概念，掌握復數的運算法則是解題關鍵．10、A【答案解析】

根據復數的乘法運算法則化簡可得，根據純虛數的概念可得結果.【題目詳解】由題可知原式為，該復數為純虛數，所以.故選：A【答案點睛】本題考查復數的運算和復數的分類，屬基礎題.11、B【答案解析】

，選B.12、C【答案解析】

先根據奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。【題目詳解】因為、分別是定義在上的奇函數和偶函數，，用替換，得，化簡得，即令，所以，故選C。【答案點睛】本題主要考查函數性質奇偶性的應用。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

轉化()為,即得解.【題目詳解】由題意：().故答案為：【答案點睛】本題考查類比法求函數的值域，考查了學生邏輯推理，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.14、【答案解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【題目詳解】設圓錐的底面半徑為，體積為，半球的體積為，水（小圓錐）的體積為，如圖則，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案為：【答案點睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計算，考查學生空間想象能力與計算能力，是一道中檔題.15、【答案解析】

第一空：將圓與聯立，利用計算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關系，再將與聯立，得到，與結合可得為等差數列，進而可得.【題目詳解】當r1=1時，圓，與聯立消去得，則，解得；由圖可知當時，①，將與聯立消去得，則，整理得，代入①得，整理得，則.故答案為：；.【答案點睛】本題是拋物線與圓的關系背景下的數列題，關鍵是找到圓心和半徑的關系，建立遞推式，由遞推式求通項公式，綜合性較強，是一道難度較大的題目.16、1【答案解析】

設，令，的值即為所有項的系數之和。【題目詳解】設，令，所有項的系數的和為。【答案點睛】本題主要考查二項式展開式所有項的系數的和的求法─賦值法。一般地，對于，展開式各項系數之和為，注意與“二項式系數之和”區分。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【答案解析】

（1）求得，根據已知條件得到在恒成立，由此得到在恒成立，利用分離常數法求得的取值范圍.（2）構造函數設，利用求二階導數的方法，結合恒成立，求得的取值范圍，由此求得的最小值.【題目詳解】（1）因為在上單調遞增，所以在恒成立，即在恒成立，當時，上式成立，當，有，需，而，，，，故綜上，實數的取值范圍是（2）設，，則，令，，在單調遞增，也就是在單調遞增，所以.當即時，，不符合；當即時，，符合當即時，根據零點存在定理，，使，有時，，在單調遞減，時，，在單調遞增，成立，故只需即可，有，得，符合綜上得，，實數的最小值為【答案點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數研究不等式恒成立問題，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查分類討論的數學思想方法，屬于難題.18、（1）；（2）.【答案解析】

（1）根據離心率以及，即可列方程求得，則問題得解；（2）設直線方程為，聯立橢圓方程，結合韋達定理，根據題意中轉化出的，即可求得參數，則三角形面積得解.【題目詳解】（1）設，由題意可得.因為是的中位線，且，所以，即，因為進而得，所以橢圓方程為（2）由已知得兩邊平方整理可得.當直線斜率為時，顯然不成立.直線斜率不為時，設直線的方程為，聯立消去，得，所以，由得將代入整理得，展開得，整理得，所以.即為所求.【答案點睛】本題考查由離心率求橢圓的方程，以及橢圓三角形面積的求解，屬綜合中檔題.19、（Ⅰ），．（Ⅱ）見解析【答案解析】

（1）由，分和兩種情況，即可求得數列的通項公式；（2）由題，得，利用等比數列求和公式，即可得到本題答案.【題目詳解】（Ⅰ）解：由題，得當時，，得；當時，，整理，得．數列是以1為首項，2為公比的等比數列，，；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，故．故得證．【答案點睛】本題主要考查根據的關系式求通項公式以及利用等比數列的前n項和公式求和并證明不等式，考查學生的運算求解能力和推理證明能力.20、（1）（2）【答案解析】

（1）由，分別求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．【題目詳解】(1)因為角為鈍角，，所以，又，所以，且，所以.(2)因為，且，所以，又，則，所以.21、（1）（2）【答案解析】

(Ⅰ)當時，不等式為.若，則，解得或，結合得或.若，則，不等式恒成立，結合得.綜上所述,不等式解集為.(Ⅱ)則的圖象與直線所圍成的四邊形為梯形,令,得,令，得,則梯形上底為,下底為11,高為..化簡得，解得，結合，得的取值范圍為.點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數形結合思想，將絕對值不等式與函數以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數、數形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．22、（1）見解析；（2）【答案解析】

（1）設，，注意到在上單增，再利用零點存在性定理即可解決；（2）函數在上單調遞減，則在恒成立，即在上恒成立，構造函數，求導討論的最值即可.【題目詳解】（1）由已知，，所以，設，，當時，單調遞增，而，，且在上