word文檔可自由復制編輯德馨教育復習資料高中數學必修1知識點

第一章

集合與函數概念

一、集合有關概念：

1.集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2.集合的中元素的三個特性：

（1）元素的確定性；

（2）元素的互異性；

（3）元素的無序性

3.集合的表示：{…}如：{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大寫字母表示集合：A={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列舉法與描述法（3）元素與集合的關系：◆注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）：N；正整數集：N*或N+；整數集：Z；有理數集：Q；實數集：R集合的表示方法（1）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。如{a,b,c……}，元素有限個（2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。①語言描述法：例：不是直角三角形的三角形組成的集合{不是直角三角形的三角形}

②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|

x-3>2}或{x|

x-3>2}

A1234（3）A12344.集合的分類：（1）有限集：含有有限個元素的集合（2）無限集：含有無限個元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合，記為Φ。如：{x|x2=-5｝二、集合間的基本關系1.“包含”關系—子集注意：有兩種可能（1）A是B的一部分；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA2.“相等”關系：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B。即A=B①任何一個集合是它本身的子集，AA②真子集：如果AB，且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)或者說，如果AB，且存在元素，且③如果AB，BC，那么AC④如果AB同時BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。◆有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集，2n-1個非空子集。三、集合的運算運算類型交集并集補集定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA且xB｝．由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）SA記作，即SACSA=韋恩圖示SSA性質AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法（1）含絕對值的不等式的解法不等式解集或把看成一個整體，化成，型不等式來求解（2）一元二次不等式的解法判別式二次函數的圖象一元二次方程的根（其中無實根的解集或的解集一、函數、（1）函數的概念：①設、是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的一個函數，記作．②函數的三要素:定義域、值域和對應法則．③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數．（2）區間的概念及表示法①設是兩個實數，且，滿足的實數的集合叫做閉區間，記做；滿足的實數的集合叫做開區間，記做；滿足，或的實數的集合叫做半開半閉區間，分別記做，；滿足的實數的集合分別記做．注意：對于集合與區間，前者可以大于或等于，而后者必須．（3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數．②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數．③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合．④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1．⑤中，．⑥零（負）指數冪的底數不能為零．⑦若是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集．⑧對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復合函數的定義域應由不等式解出．⑨對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論．⑩由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義．（4）求函數的值域或最值求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同．求函數值域與最值的常用方法：①觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．②配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值．③判別式法：若函數可以化成一個系數含有的關于的二次方程，則在時，由于為實數，故必須有，從而確定函數的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值．⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函數的最值問題．⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值．⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值．⑧函數的單調性法．（5）函數的表示方法表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．（1）函數的單調性①定義及判定方法函數的性質定義圖象判定方法函數的單調性如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是增函數．（1）利用定義（2）利用已知函數的單調性（3）利用函數圖象（在某個區間圖象上升為增）（4）利用復合函數如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數．（1）利用定義（2）利用已知函數的單調性（3）利用函數圖象（在某個區間圖象下降為減）（4）利用復合函數②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數．yxo③對于復合函數，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減．yxo（2）打“√”函數的圖象與性質分別在、上為增函數，分別在、上為減函數．（3）最大（小）值定義①一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我們稱是函數的最大值，記作．②一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我們稱是函數的最小值，記作．（4）函數的奇偶性①定義及判定方法函數的性質定義圖象判定方法函數的奇偶性如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(－x)=－f(x),那么函數f(x)叫做奇函數．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(－x)=f(x),那么函數f(x)叫做偶函數．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）②若函數為奇函數，且在處有定義，則．③奇函數在軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在軸兩側相對稱的區間增減性相反．④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數．〖補充知識〗函數的圖象（1）作圖利用描點法作圖：①確定函數的定義域；②化解函數解析式；③討論函數的性質（奇偶性、單調性）；④畫出函數的圖象．利用基本函數圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種基本初等函數的圖象．①平移變換②伸縮變換③對稱變換（2）識圖：對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系．（3）用圖：函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具．要重視數形結合解題的思想方法．第二章基本初等函數(Ⅰ)指數函數（1）根式的概念：①如果，且，那么叫做的次方根．當是奇數時，的次方根用符號表示；當是偶數時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數沒有次方根．②式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數．當為奇數時，為任意實數；當為偶數時，．③根式的性質：；當為奇數時，；當為偶數時，．（2）分數指數冪的概念①正數的正分數指數冪的意義是：且．0的正分數指數冪等于0．②正數的負分數指數冪的意義是：且．0的負分數指數冪沒有意義．注意口訣：底數取倒數，指數取相反數．（3）分數指數冪的運算性質①②③（4）指數函數函數名稱指數函數定義0101函數且叫做指數函數0101圖象定義域值域過定點圖象過定點，即當時，．奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數在上是減函數函數值的變化情況變化對 圖象的影響在第一象限內，越大圖象越高；在第二象限內，越大圖象越低．對數函數對數的定義①若，則叫做以為底的對數，記作，其中叫做底數，叫做真數．②負數和零沒有對數．③對數式與指數式的互化：．（2）幾個重要的對數恒等式，，．（3）常用對數與自然對數常用對數：，即；自然對數：，即（其中…）．（4）對數的運算性質如果，那么①加法：②減法：③數乘：④⑤⑥換底公式：（5）對數函數函數名稱對數函數定義函數且叫做對數函數圖象001001定義域值域過定點圖象過定點，即當時，．奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數在上是減函數函數值的變化情況變化對 圖象的影響在第一象限內，越大圖象越靠低；在第四象限內，越大圖象越靠高．(6)反函數的概念：設函數的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子．如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是的函數，函數叫做函數的反函數，記作，習慣上改寫成．（7）反函數的求法：①確定反函數的定義域，即原函數的值域；②從原函數式中反解出；③將改寫成，并注明反函數的定義域．（8）反函數的性質：①原函數與反函數的圖象關于直線對稱．②函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域．③若在原函數的圖象上，則在反函數的圖象上④一般地，函數要有反函數則它必須為單調函數．〖2.3〗冪函數（1）冪函數的定義一般地，函數叫做冪函數，其中為自變量，是常數．（2）冪函數的圖象（3）冪函數的性質①圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限．②過定點：所有的冪函數在都有定義，并且圖象都通過點．③單調性：如果，則冪函數的圖象過原點，并且在上為增函數．如果，則冪函數的圖象在上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近軸與軸．④奇偶性：當為奇數時，冪函數為奇函數，當為偶數時，冪函數為偶函數．當（其中互質，和），若為奇數為奇數時，則是奇函數，若為奇數為偶數時，則是偶函數，若為偶數為奇數時，則是非奇非偶函數．⑤圖象特征：冪函數，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方．〖補充知識〗二次函數（1）二次函數解析式的三種形式①一般式：②頂點式：③兩根式：（2）求二次函數解析式的方法：①已知三個點坐標時，宜用一般式．②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時,常使用頂點式．③若已知拋物線與軸有兩個交點,且橫線坐標已知時,選用兩根式求更方便．（3）二次函數圖象的性質①二次函數的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是．②當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增，當時，；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，當時，．③二次函數當時，圖象與軸有兩個交點．（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數圖象的性質，系統地來分析一元二次方程實根的分布．設一元二次方程的兩實根為，且．令，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向：②對稱軸位置：③判別式：④端點函數值符號．①k＜x1≤x2②x1≤x2＜k③x1＜k＜x2af(k)＜0④k1＜x1≤x2＜k2⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此結論可直接由⑤推出．（5）二次函數在閉區間上的最值第三章函數的應用一、方程的根與函數