第五單元四邊形矩形、菱形、正方形練習(xí)1矩形eq\a\vs4\al(點(diǎn)對(duì)點(diǎn)·課時(shí)內(nèi)考點(diǎn)鞏固)35分鐘1.(2019株洲)對(duì)于任意的矩形，下列說(shuō)法一定正確的是()A.對(duì)角線垂直且相等B.四邊都互相垂直C.四個(gè)角都相等D.是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形2.(2019眉山)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O作EF⊥AC交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則DE的長(zhǎng)是()A.1B.eq\f(7,4)C.2D.eq\f(12,5)第2題圖3.如圖，四邊形ABCD和四邊形BEFD都是矩形，且點(diǎn)C恰好在EF上．若AB＝1，AD＝2，則S△BCE為()A.1B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,5)第3題圖4.如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點(diǎn)M在邊CD上．若AM平分∠DMB，則DM的長(zhǎng)為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,4)C.eq\r(3)－eq\f(3,2)D.2－eq\r(3)第4題圖5.如圖，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，∠BOC＝120°，AE⊥BO交BO于點(diǎn)E，AB＝4，則BE的長(zhǎng)等于()A.4B.3C.2D.1第5題圖6.(2019陜西黑馬卷)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM，DM.過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AM，垂足為點(diǎn)E.若AM＝AD，AE＝2EM，AB＝5，則BM的長(zhǎng)為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\r(5)D.2eq\r(5)第6題圖7.(2019西安交大附中模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝7，E、F、M分別為AB、BC、CD邊上的點(diǎn)，連接EF、FM、ME，且AE＝3，DM＝2.若∠EFM＝90°，BF＞FC，則BF＝()A.3B.4C.5D.6第7題圖8.(2019龍東地區(qū))如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB∶BC＝3∶2，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，過(guò)點(diǎn)C作CE∥DB，BE、CE交于點(diǎn)E，連接DE，則tan∠EDC＝()A.eq\f(2,9)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),6)D.eq\f(3,10)第8題圖9.(2018遵義)如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，連接PB、PD.若AE＝2，PF＝8，則圖中陰影部分的面積為()A.10B.12C.16D.18第9題圖10.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＋PF的值為()A.eq\f(12,5)B.2C.eq\f(5,2)D.1第10題圖(2019徐州)如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，M、N分別為BC、OC的中點(diǎn)，若MN＝4，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．第11題圖12.(全國(guó)視野創(chuàng)新題推薦·2019百色)四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，矩形ABCD按箭頭方向變形成平行四邊形A′B′C′D′，當(dāng)變形后圖形面積是原圖形面積的一半時(shí)，則∠A′＝________°.第12題圖13.如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，DE⊥AG，垂足為點(diǎn)E，且DE＝DC.求證：BF＝AE.第13題圖14.(2019寧夏)如圖，已知矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，AB上的點(diǎn)，EF⊥EC，且AE＝CD.(1)求證：AF＝DE；(2)若DE＝eq\f(2,5)AD，求tan∠AFE.第14題圖eq\a\vs4\al(點(diǎn)對(duì)線·板塊內(nèi)考點(diǎn)銜接)20分鐘1.(2019臨沂)如圖，在?ABCD中，M，N是BD上兩點(diǎn)，BM＝DN，連接AM，MC，CN，NA.添加一個(gè)條件，使四邊形AMCN是矩形，這個(gè)條件是()第1題圖A.OM＝eq\f(1,2)ACB.MB＝MOC.BD⊥ACD.∠AMB＝∠CND2.(2019泰安)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是()A.2B.4C.eq\r(2)D.2eq\r(2)第2題圖如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上．若四邊形EFGH為平行四邊形，且EF∥AC，則?EFGH的周長(zhǎng)為_(kāi)___________．第3題圖4.如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD中點(diǎn)，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，F(xiàn)為CP的中點(diǎn)，則△CEF周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．第4題圖(2019龍東地區(qū))如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△PAB＝eq\f(1,2)S△PCD，則PC＋PD的最小值為_(kāi)_______．第5題圖6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC的中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形，AC、DE相交于點(diǎn)O.(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝60°，AE＝2，求矩形ADCE對(duì)角線的長(zhǎng)．第6題圖練習(xí)2菱形eq\a\vs4\al(點(diǎn)對(duì)點(diǎn)·課時(shí)內(nèi)考點(diǎn)鞏固)45分鐘1.(2019大慶)下列說(shuō)法中不正確的是()A.四邊相等的四邊形是菱形B.對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形C.菱形的對(duì)角線互相垂直且相等D.菱形的鄰邊相等2.(2019寧夏)如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且互相平分．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是()A.AC⊥BDB.AB＝ADC.AC＝BDD.∠ABD＝∠CBD第2題圖3.(2019河北)如圖，菱形ABCD中，∠D＝150°，則∠1＝()A.30°B.25°C.20°D.15°第3題圖4.(2019呼和浩特)已知菱形的邊長(zhǎng)為3，較短的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則該菱形較長(zhǎng)的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為()A.2eq\r(2)B.2eq\r(5)C.4eq\r(2)D.2eq\r(10)5.(2019婁底)順次連接菱形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是()A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形6.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，點(diǎn)E是線段BC邊上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別是AE、CE的中點(diǎn)，則FG＝()A.eq\f(3,2)B.3C.2eq\r(2)D.2eq\r(3)第6題圖7.(2019永州)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，則四邊形ABCD的面積為()A.40B.24C.20D.15第7題圖8.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，過(guò)點(diǎn)A、C作對(duì)角線AC的垂線，分別交CB和AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F.若AE＝5，則四邊形AECF的周長(zhǎng)為()A.16B.17C.32D.34第8題圖9.(2019陜西定心卷)如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AE⊥BC于點(diǎn)E，交對(duì)角線BD于點(diǎn)F.若AE＝4，則DF的長(zhǎng)為()A.eq\f(3\r(5),2)B.eq\f(5\r(5),2)C.eq\f(5,2)D.eq\f(3,2)第9題圖10.(2019陜西黑白卷)如圖，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，連接BD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，分別交CD、BD于點(diǎn)F、G.若BC＝10，BE＝8，則EF的長(zhǎng)為()A.eq\f(8,5)B.eq\f(8\r(5),5)C.eq\f(16,5)D.eq\f(16\r(5),5)第10題圖11.如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為2和3，∠A＝120°，則圖中陰影部分的面積是()A.eq\r(3)B.2C.3D.eq\r(2)第11題圖12.(2019十堰)如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為BC的中點(diǎn)，若OE＝3，則菱形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．第12題圖13.(2019廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū))如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，則AH＝________．第13題圖14.(2019衢州)已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BE＝DF，連接AE，AF.求證：AE＝AF.第14題圖15.(2019岳陽(yáng))如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AD、CD邊上的點(diǎn)，DE＝DF.求證：∠1＝∠2.第15題圖16.(2019青海)如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF.(1)求證：△AEF≌△DEB；(2)證明四邊形ADCF是菱形．第16題圖eq\a\vs4\al(點(diǎn)對(duì)線·板塊內(nèi)考點(diǎn)銜接)15分鐘1.(全國(guó)視野創(chuàng)新題推薦·2019江西)如圖，由10根完全相同的小棒拼接而成，請(qǐng)你再添2根與前面完全相同的小棒，拼接后的圖形恰好有3個(gè)菱形的方法共有()A.3種B.4種C.5種D.6種第1題圖2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上，若四邊形EGFH是菱形，則AE的長(zhǎng)是()A.2eq\r(5)B.3C.5D.6第2題圖3.如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB，點(diǎn)M、N分別在邊AD、BC上，連接BM、DN.若四邊形MBND是菱形，則eq\f(AM,MD)等于()A.eq\f(3,8)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)第3題圖4.如圖，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，且EH∥BD，BE＝2AE.若四邊形EFGH是矩形，則EF的長(zhǎng)為()A.1B.eq\f(4,3)C.eq\f(16,3)D.2第4題圖如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE＋PB的最小值為_(kāi)_______．第5題圖eq\a\vs4\al(點(diǎn)對(duì)面·跨板塊考點(diǎn)遷移)2分鐘1.(2019綿陽(yáng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，則對(duì)角線交點(diǎn)E的坐標(biāo)為()第1題圖A.(2，eq\r(3))B.(eq\r(3)，2)C.(eq\r(3)，3)D.(3，eq\r(3))

練習(xí)3正方形eq\a\vs4\al(點(diǎn)對(duì)點(diǎn)·課時(shí)內(nèi)考點(diǎn)鞏固)6分鐘1.(2019遵義)我們把順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．已知四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是正方形，對(duì)角線AC與BD的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是()A.AC，BD相等且互相平分B.AC，BD垂直且互相平分C.AC，BD相等且互相垂直D.AC，BD垂直且平分對(duì)角2.(2019畢節(jié))如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為()A.eq\r(3)B.3C.eq\r(5)D.5第2題圖(2019揚(yáng)州)如圖，已知點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，以BE為邊向正方形ABCD外部作正方形BEFG，連接DF，M、N分別是DC、DF的中點(diǎn)，連接MN.若AB＝7，BE＝5，則MN＝________．第3題圖eq\a\vs4\al(點(diǎn)對(duì)線·板塊內(nèi)考點(diǎn)銜接)15分鐘1.(人教八下P67第1(3)題改編)如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊△ADE，AC、BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為()A.45°B.55°C.60°D.75°第1題圖2.把邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)正方形按如圖的方式放置．則圖中陰影部分的面積為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,4)第2題圖3.(2019陜師大附中模擬)如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，以對(duì)角線AC為一邊作菱形AEFC，連接AF交BC于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)為()A.2eq\r(2)－2B.2eq\r(2)－1C.eq\r(2)D.1第3題圖(2019菏澤)如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AC＝8，AE＝CF＝2，則四邊形BEDF的周長(zhǎng)是________．第4題圖5.(2019黃岡)如圖，ABCD是正方形，E是CD邊上任意一點(diǎn)，連接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分別為F，G.求證：BF－DG＝FG.第5題圖6.(2019涼山州)如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是OC上一點(diǎn)，連接EB.過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足為M，AM與BD相交于點(diǎn)F.求證：OE＝OF.第6題圖參考答案第23課時(shí)矩形、菱形、正方形練習(xí)1矩形點(diǎn)對(duì)點(diǎn)·課時(shí)內(nèi)考點(diǎn)鞏固1.C【解析】矩形的性質(zhì)有：鄰邊垂直；四個(gè)內(nèi)角都是直角；是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；對(duì)角線互相平分且相等．故選C.2.B【解析】如解圖，連接EC，∵OA＝OC，且EF⊥AC，∴EC＝AE，設(shè)DE＝x，則EC＝AE＝8－x，根據(jù)勾股定理可得(8－x)2＝x2＋62，解得x＝eq\f(7,4).第2題解圖3.D【解析】由題意得△BCD的面積占矩形BDFE的一半，S△BCD＝1，∴S△BCE＋S△CDF＝1，又∵CD∶BC＝AB∶AD＝1∶2，∴S△BCE∶S△CDF＝4∶1，故可得S△BCE＝eq\f(4,5).4.D【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AB∥CD，BC＝AD＝1，∠C＝90°，∴∠BAM＝∠AMD，∵AM平分∠DMB，∴∠AMD＝∠AMB，∴∠BAM＝∠AMB，∴BM＝AB＝2，∴CM＝eq\r(MB2－BC2)＝eq\r(3)，∴DM＝CD－CM＝2－eq\r(3).5.C【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝eq\f(1,2)AC，OB＝eq\f(1,2)BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OB＝AB＝4，∵AE⊥BO，∴BE＝eq\f(1,2)OB＝2.6.D【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AB＝DC＝5，∴∠ADM＝∠DMC，∵AD＝AM，∴∠ADM＝∠AMD，∴∠AMD＝∠DMC，∵DE⊥AM，∴∠DEM＝∠C＝90°，∴△DEM≌△DCM(AAS)，∴DE＝DC＝5，EM＝CM，∵AE＝2EM，∴AE＝eq\f(2,3)AM＝eq\f(2,3)AD，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(2,3)，設(shè)AE＝2x，則AD＝3x，在Rt△AED中，由勾股定理得(2x)2＋52＝(3x)2，解得x＝eq\r(5)，∴AE＝2eq\r(5)，∵AM＝AD＝BC，EM＝CM，∴BM＝AE＝2eq\r(5).7.B【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝6，∵AE＝3，DM＝2，∴BE＝3，CM＝4，∵EF⊥FM，∴∠BEF＋∠BFE＝∠BFE＋∠MFC＝90°，∴∠BEF＝∠CFM，∴△BEF∽△CFM，∴eq\f(BF,CM)＝eq\f(BE,CF)，即eq\f(BF,4)＝eq\f(3,7－BF)，解得BF＝4或BF＝3(舍去)，∴BF＝4.8.A【解析】如解圖，連接EO，延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OC，又∵BE∥OC，CE∥OB，∴四邊形OCEB是菱形，∴BC⊥EF，∵BC⊥DC，∴EF∥CD，∠EDC＝∠FED，在△EFD中，tan∠FED＝eq\f(DF,EF)＝eq\f(\f(1,2)BC,\f(3,2)AB)＝eq\f(2,9)，∴tan∠EDC＝eq\f(2,9).第8題解圖9.C【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M，反向延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)N，∵DF＝AE＝2，PF＝8，∴S矩形MPFD＝DF·PF＝2×8＝16，S△PDF＝8，∵eq\f(SPDF,S△PFC)＝eq\f(DF,FC)＝eq\f(MP,FC)，S△BEP＝S△BNP，eq\f(S△BPN,S△PNC)＝eq\f(BN,NC)，S△PNC＝S△PFC，∴eq\f(S△BEP,S△PFC)＝eq\f(BN,NC)＝eq\f(EP,NC)，∴四邊形AEPM與四邊形PNCF相似，∴eq\f(PM,PN)＝eq\f(EP,PF)，即eq\f(DF,FC)＝eq\f(BN,NC)，∴eq\f(S△PFD,S△PFC)＝eq\f(S△BEP,S△PFC)，∴S△BEP＝S△PDF，∴S△BEP＝8，∴S陰影＝16.第9題解圖10.A【解析】由題易得AC＝BD＝eq\r(32＋42)＝5，設(shè)AP＝x，則PD＝4－x.∵∠EAP＝∠DAC，∠AEP＝∠ADC，∴△AEP∽△ADC，∴eq\f(AP,AC)＝eq\f(PE,CD)，故eq\f(x,5)＝eq\f(PE,3)①.同理可得△DFP∽△DAB，∴eq\f(DP,DB)＝eq\f(PF,BA)，故eq\f(4－x,5)＝eq\f(PF,3)②.①＋②得eq\f(4,5)＝eq\f(PE＋PF,3)，∴PE＋PF＝eq\f(12,5).11.16【解析】在△OBC中，根據(jù)三角形中位線等于它所對(duì)的邊的一半得到OB＝2MN＝8，又根據(jù)矩形的性質(zhì)：對(duì)角線相等且互相平分得到AC＝BD＝2OB＝16.12.30【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)B′作B′E垂直于A′D′于點(diǎn)E.設(shè)矩形ABCD的邊AD長(zhǎng)為a，AB長(zhǎng)為b，B′E長(zhǎng)為c，則S矩形ABCD＝ab，S?A′B′C′D′＝ac.∵S?A′B′C′D′＝eq\f(1,2)S矩形ABCD，∴ac＝eq\f(1,2)ab，∴c＝eq\f(1,2)b，∴sinA′＝eq\f(c,b)＝eq\f(1,2)，∴∠A′＝30°.第12題解圖13.證明：在矩形ABCD中，AB＝CD，BC∥AD，∠B＝90°，DE＝CD,∴AB＝DE，∠BFA＝∠EAD.∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°.∴∠AED＝∠B.在△ABF與△DEA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BFA＝∠EAD,∠B＝∠AED,AB＝DE))，∴△ABF≌△DEA(AAS)．∴BF＝AE.14.(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°.∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠DEC＝90°.∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF與△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D,∠AFE＝∠DEC,AE＝CD))，∴△AEF≌△DCE(AAS)．∴AF＝DE；(2)解：∵DE＝eq\f(2,5)AD，∴AE＝eq\f(3,2)DE.∵AF＝DE，∴tan∠AFE＝eq\f(AE,AF)＝eq\f(\f(3,2)DE,DE)＝eq\f(3,2).點(diǎn)對(duì)線·板塊內(nèi)考點(diǎn)銜接1.A【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BM＝DN，∴OM＝ON，∴四邊形AMCN是平行四邊形．當(dāng)OM＝eq\f(1,2)AC時(shí)，MN＝AC，∴四邊形AMCN是矩形，故選A.2.D【解析】如解圖，取DE的中點(diǎn)M，CD的中點(diǎn)N，連接MN，則點(diǎn)P一定在△CDE的中位線MN上，∴當(dāng)BP⊥MN時(shí)，即點(diǎn)P與CD的中點(diǎn)N重合時(shí)，PB最小，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合．∵AB＝CD＝4，P為CD的中點(diǎn)，∴PC＝2.∵BC＝AD＝2，∠BCD＝90°，∴PB＝2eq\r(2).第2題解圖3.20【解析】如解圖，連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD＝AC，∠ABC＝90°，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∵四邊形EFGH為平行四邊形，且EF∥AC，∴EF∥AC∥GH，EF＝HG，∴△BEF∽△BAC，△DHG∽△DAC，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(EF,AC)①，eq\f(HG,AC)＝eq\f(DH,DA)，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(DH,AD)，∴EH∥BD，∴EH∥BD∥FG，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(EH,BD)，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(EH,AC)②，∴①＋②得eq\f(BE＋AE,AB)＝eq\f(EF＋EH,AC)，∵BE＋AE＝AB，∴EF＋EH＝AC＝10，∴?EFGH的周長(zhǎng)為20.第3題解圖4.eq\r(2)＋1【解析】如解圖，連接PD，∵E為CD中點(diǎn)，F(xiàn)為CP中點(diǎn)，∴EF＝eq\f(1,2)PD，∴C△CEF＝CE＋CF＋EF＝CE＋eq\f(1,2)(CP＋PD)＝eq\f(1,2)(CD＋PC＋PD)＝eq\f(1,2)C△CDP，∴當(dāng)△CDP的周長(zhǎng)最小時(shí)，△CEF的周長(zhǎng)最小；即PC＋PD的值最小時(shí)，△CEF的周長(zhǎng)最小．作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′交AB于點(diǎn)P，∵AD＝AD′＝BC，AD′∥BC，∴四邊形AD′BC是平行四邊形，∴AP＝PB＝1，PD′＝PC，∴CP＝PD＝eq\r(2)，∴C△CEF＝eq\f(1,2)C△CDP＝eq\r(2)＋1.第4題解圖5.4eq\r(5)【解析】∵S△PAB＝eq\f(1,2)S△PCD，AB＝CD，∴點(diǎn)P在直線AD的三等分的直線上，又∵AB＝4，BC＝6，此題可以轉(zhuǎn)化為在正方形A′B′CD中求PC＋PD的最小值．如解圖，點(diǎn)F是點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)A′的對(duì)稱點(diǎn)，∴PF＝PD，當(dāng)PF和PC在一條直線上時(shí)，PC＋PD的值最小，F(xiàn)C＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)，故PC＋PD的最小值是4eq\r(5).第5題解圖6.(1)證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD＝AE，BD∥AE.∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴CD＝AE.∴四邊形AECD是平行四邊形．又∵AB＝AC，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形；(2)解：∵四邊形ADCE是矩形，∴AO＝EO.∵∠AOE＝60°，∴△AOE為等邊三角形．∴AO＝AE＝2.∴AC＝2OA＝4.故矩形ADCE對(duì)角線的長(zhǎng)為4.練習(xí)2菱形點(diǎn)對(duì)點(diǎn)·課時(shí)內(nèi)考點(diǎn)鞏固1.C【解析】A.四邊相等的四邊形是菱形，這是菱形的一個(gè)判定定理，此選項(xiàng)正確；B.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，這是菱形的一個(gè)判定定理，此選項(xiàng)正確；C.菱形的對(duì)角線互相垂直，但不一定相等，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.菱形的四邊都相等，鄰邊也一定相等，此選項(xiàng)正確．故選C.2.C【解析】∵四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，當(dāng)AB＝AD或AC⊥BD時(shí)，均可判定四邊形ABCD是菱形；當(dāng)AC＝BD時(shí)，可判定四邊形ABCD是矩形，當(dāng)∠ABD＝∠CBD時(shí)，由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．3.D【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知∠DAB＝180°－∠D＝30°，∴∠1＝eq\f(1,2)∠DAB＝15°.4.C【解析】∵菱形的對(duì)角線相互垂直且平分，∴另一條對(duì)角線長(zhǎng)為2×eq\r(32－12)＝4eq\r(2).5.C【解析】順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)，得到四邊形一定是平行四邊形，如果原四邊形的對(duì)角線相等，則可得中點(diǎn)四邊形的鄰邊相等，即是菱形；如果原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則可得中點(diǎn)四邊形的鄰邊垂直，即是矩形．菱形的對(duì)角線互相垂直，所以它的中點(diǎn)四邊形是矩形．6.A【解析】如解圖，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝3，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝3，∵點(diǎn)F、G分別是AE、CE的中點(diǎn)，∴FG是△ACE的中位線，∴FG＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(3,2).第6題解圖7.B【解析】∵AB＝AD，OB＝OD，∴AO⊥BD，∠ADO＝∠ABO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∠ADO＝∠CDO，又∵OD⊥AC，∴AD＝CD.∴AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．∴AC＝2AO＝2eq\r(AB2－OB2)＝6，∴S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC×BD＝24.8.D【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，AD∥BC，∴AF∥CE，∵AE⊥AC，AC⊥CF，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴CF＝AE＝5，AF＝CE，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°，∴∠BAC＋∠BAE＝90°，∠BCA＋∠E＝90°，∴∠BAE＝∠E，∴BE＝AB＝6，∴CE＝6＋6＝12，∴平行四邊形AECF的周長(zhǎng)為2(AE＋CE)＝2×(5＋12)＝34.9.B【解析】∵AE⊥BC，AB＝5，AE＝4，∴在Rt△ABE中，BE＝eq\r(AB2－AE2)＝3.∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BE，∴∠DAF＝∠BEF＝90°，∵∠AFD＝∠EFB，∴△DAF∽△BEF，∴eq\f(DA,BE)＝eq\f(AF,EF)，即eq\f(5,3)＝eq\f(AF,4－AF)，解得AF＝eq\f(5,2)，∴在Rt△DAF中，DF＝eq\r(AD2＋AF2)＝eq\f(5\r(5),2).10.D【解析】如解圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD＝10，∵BE⊥AD，BE＝8，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝6.∴DE＝4.∴tan∠ADB＝eq\f(BE,DE)＝eq\f(8,4)＝2，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴tan∠ABD＝2，∴eq\f(AO,OB)＝2，在Rt△ABO中，由勾股定理得：OB2＋(2OB)2＝102，解得OB＝2eq\r(5)，∴AC＝2AO＝4OB＝8eq\r(5)，∵EF⊥BD，AC⊥BD，∴EF∥AC，∴eq\f(DE,DA)＝eq\f(EF,AC)＝eq\f(2,5)，∴EF＝eq\f(2,5)AC＝eq\f(16\r(5),5).第10題解圖11.A【解析】∵菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為2和3，∴△BCM∽△BGF，∴eq\f(CM,GF)＝eq\f(BC,BG)，即eq\f(CM,3)＝eq\f(2,2＋3)，解得CM＝eq\f(6,5)，∴DM＝2－eq\f(6,5)＝eq\f(4,5)，∵∠A＝120°，∴∠ABC＝180°－120°＝60°，∴菱形ABCD邊CD上的高為2sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，菱形ECGF邊CE上的高為3sin60°＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，∴S陰影＝S△BDM＋S△DFM＝eq\f(1,2)×eq\f(4,5)×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(3\r(3),2)＝eq\r(3).12.24【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線，∴AB＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為4×6＝24.13.eq\f(24,5)【解析】∵S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×AC×8＝24，∴AC＝6，∴OC＝eq\f(1,2)AC＝3，∴BC＝eq\r(42＋32)＝5.∵BC·AH＝24，∴AH＝eq\f(24,5).14.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)．∴AE＝AF.15.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD.∵DF＝DE，∠D＝∠D，∴△ADF≌△CDE(SAS)．∴∠1＝∠2.16.證明：(1)∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB，∠AFE＝∠DBE.在△AEF和△DEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAF＝∠EDB,∠AFE＝∠DBF，,AE＝DE))∴△AEF≌△DEB(AAS)；(2)∵∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝DC.由(1)知，△AEF≌△DEB.∴AF＝DB.∴AF＝DC.又∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵AD＝DC，∴平行四邊形ADCF是菱形．點(diǎn)對(duì)線·板塊內(nèi)考點(diǎn)銜接1.D【解析】根據(jù)題目所給圖形可知，原圖中已經(jīng)有2個(gè)菱形了，再添2根小棒只要使拼接后的圖形再增加一個(gè)菱形即可．符合條件的拼接方法有6種，如解圖所示．第1題解圖2.C【解析】如解圖，連接EF，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形EGFH是菱形，∴EF與GH互相垂直平分．又∵CF∥AE，∴△AOE≌△COF，∴AO＝CO.在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)，∴AO＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(5).∵∠OAE＝∠BAC，∠AOE＝∠ABC＝90°.∴Rt△AOE∽R(shí)t△ABC，∴eq\f(AO,AB)＝eq\f(AE,AC)，即eq\f(2\r(5),8)＝eq\f(AE,4\r(5))，解得AE＝5.第2題解圖3.C【解析】∵四邊形MBND是菱形，∴MD＝MB.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.設(shè)AB＝x，AM＝y(tǒng)，(x、y均為正數(shù))則MB＝2x－y.在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，即x2＋y2＝(2x－y)2,解得x＝eq\f(4,3)y，∴MD＝MB＝2x－y＝eq\f(5,3)y,∴eq\f(AM,MD)＝eq\f(y,\f(5,3)y)＝eq\f(3,5).4.C【解析】如解圖，設(shè)EF交BD于點(diǎn)I，AC交BD于點(diǎn)J，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∵EH∥BD，四邊形EFGH是矩形，∴EF∥AC，則EI∥AJ.∴△BEI∽△BAJ.∵2AE＝BE，∴eq\f(BE,BA)＝eq\f(BI,BJ)＝eq\f(EI,AJ)＝eq\f(2,3).∵AJ＝eq\f(1,2)AC＝4，∴eq\f(EI,AJ)＝eq\f(EI,4)＝eq\f(2,3)，解得EI＝eq\f(8,3).易得EI＝FI，∴EF＝2EI＝2×eq\f(8,3)＝eq\f(16,3).第4題解圖5.eq\r(3)【解析】如解圖，連接DE、BD，DE與AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.由菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得B、D關(guān)于AC對(duì)稱，則PD＝PB，∴PE＋PB＝PE＋PD＝DE，即DE就是PE＋PB的最小值，∵∠BAD＝60°，AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，∵AE＝BE，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(3).第5題解圖點(diǎn)對(duì)面·跨板塊考點(diǎn)遷移1.D【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，∵四邊形OABC為菱形，∠AOC＝60°，∴∠AOE＝eq\f(1,2)∠AOC＝30°，△AOC為等邊三角形，AC⊥OB，∴∠FAE＝60°，∵A(4，0)，∴OA＝4，∴AE＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×4＝2，∴AF＝eq