5/5全國2021年山東高考理科數學試題及答案2010年普通高等學校招生全國統一考試（山東卷）

理科數學

參考公式：錐體的體積公式：ShV3

1

=

。其中S是錐體的底面積，h是錐體的高。

如果事伯A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）；如果事件A、B獨立，那么)()()(BPAPABP?=

第Ⅰ卷（共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。（1）已知全集U=R，集合}2|1||{≤-=xxM，則=MCU（A）}31|{ξP，則=≤≤-)22(ξP

（A）0.477（B）0.628（C）0.954（D）0.977

（6）樣本中共有五個個體，其值分別為3,2,1,0,a，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為

（A）

5

6（B）

5

6（C）2

（D）2

（7）由曲線3

2

,xyxy==圍成的封閉圖形面積為

（A）

12

1（B）

4

1（C）

3

1（D）

12

7（8）某臺小型晚會由6個節目組成，演出順序有如下要求：節目甲必須排在前兩位，節目

乙不能排在第一位，節目丙必須排在最后一位，該臺晚會節目演出順序的編排方案共有（A）36種（B）42種（C）48種（D）54種（9）設}{na是等比數列，則“321aaa1

3,

02

恒成立，

則a的取值范圍是。

（15）在ABC?中，角A，B，C所對的邊分別為cba,,，

若2cossin,2,2=-==

BBba，則角A的大小

為。

（16）已知圓C過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線1:-=xyl被圓C所截得

的弦長為22，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為。三、解答題：本大題共6小題，共74分。（17）（本小題滿分12分）

已知函數)0)(2

sin(21coscossin2sin21)(2π??π

??>=+bab

yax的離心率

為

2

2

，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點21,FF為頂點的三角形的周長為)12(4+，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于項點的任一點，直線1PF和2PF與橢圓的交點分別為A、B和C、D.

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（Ⅱ）設直線1PF、2PF

的斜率分別為1k、2k，證明：121=?kk；（Ⅲ）是否存在常數λ，使得CDABCDAB?=+λ恒成立？若存在，求λ的值；

若不存在，請說明理由.

（22）（本小題滿分14分）

已知函數)(111)(Rax

a

axnxxf∈

-=.

（Ⅰ）當2

1

≤

a時，討論)(xf的單調性；（Ⅱ）設4

1.42)(2

=+-=abxxxg當時，若對任意)2,0(1∈x，存在]2,1[2∈x，使

)()(21xgxf≥，求實數b的取值范圍.

參考答案

評分說明：1．本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如

果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則。

2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的

內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。

3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分60分。（1）C（2）B（3）D（4）D（5）C（6）D（7）A（8）B（9）C（10）A（11）A（12）B

二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分16分。（13）54-

（14）1[,)5+∞（15）6

π

（16）30xy+-=三、解答題

（17）本小題主要考查綜合運用三角函數公式、三角函數的性質，進行運算、變形、轉換

和求解的能力，滿分12分。解：（Ⅰ）因為211()sin2sincoscossin()(0)222

fxxxπ

????π=+-+，

因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，

所以2m=

因此雙曲線的標準方程為22

144

xy-=（Ⅱ）設112200(,),(,),(,)AxyBxyPxy

則00

1200,22

yykkxx=

=

+-

因為點P在雙曲線224xy-=上，

所以22

004.xy-=

因此0001220001224

yyy

kkxxx=?==+--

即121.kk=

（Ⅲ）由于PF1的方程為1(2)ykx=+，將其代入橢圓方程得

2222111(21)8880kxkxk+-+-=

由違達定理得221112122

2

11888

,2121

kkxxxxkk-+==++

所以||AB=

=

1=

同理可得2||CD=

則22

12

2212212111()||||11

kkABCDkk+++=+++

又121kk=

所以2222

11112221112

12

12121211()()1||||881111kkkkABCDkkkk+++++=+=+=

++++

故||||||||ABCDABCD+=

?

因此，存在8

λ=

使||||||||ABCDABCDλ+=?恒成立。

（22）本小題主要考查導數的概念以及利用導數研究函數性質的能力，考查分類討論思想、

數形結合思想、等價變換思想，以及綜合運用知識解決新情境、新問題的能力。

解：（Ⅰ）因為1()ln1a

fxxaxx

-=-+

-

所以222

111()(0,)aaxxa

fxaxxxx--+-'=-+=∈+∞

令2()1,(0,)hxaxxax=-+-∈+∞

（1）當0,()1,(0,)ahxxx==-+∈+∞時

所以，當(0,1),()0,()0xhxfx'∈>函數f(x)單調遞

（2）當0a'≠時,由f(x)=0即2

10axxa-+-=，解得1211,1xxa

==

-①當1

2

a=

時，12,()0xxhx=≥恒成立，此時()0fx'≤，函數()fx在（0，+∞）上單調遞減；②當11

0,1102aa

>時(0,1)x∈時，()0,()0,()hxfxfx'>此時函數單調遞增；1

(1,),()0xhxa

∈-+∞>時，此時()0fx'，此時()0fx'，函數()fx單調遞增。

綜上所述：

當0a≤時，函數()fx在（０，１）上單調遞減；函數()fx在（１，＋∞）上單調遞增；

當1

2

a=

時，函數()fx在（0，+∞）上單調遞減；