第1章

函數，極限與連續1.3數列的極限極限概念的引入極限概念是的.我國古代數學家劉徽(公元3世紀)形來推算圓面積的方法:割圓術,就是極限思想在幾何學上的應用.利用圓內接正多邊由于求某些實際問題的精確解答而產生高等數學中的幾乎所有基本概念都是建立在極限概念的基礎上.數列的定義定義按一定次序排列的無窮多個數稱為無窮數列,簡稱數列.可簡記為其中的每個數稱為數列的項,稱為通項(一般項).數列舉例:數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.實驗表明:當無限增大時,上述數列無限接近于1.定義（描述性）設有數列與常數如果當無限增大時，無限接近則稱數列收斂于或稱是數列的極限.問題:當無限增大時,是否無限接近于某一確定的數值?如何用數學語言刻畫“無限接近”？數列的極限定義回顧記號:---存在.數列無限接近數的數學描述:是否使當時,任意;---恒有設有數列與常數如果對于(不論它多么小),總使當時,恒有則稱數列或稱是數列的極限,記作收斂于或數列的極限如果數列沒有極限,就說數列是發散的.（1）定義中的與任意給定的正數有關.定義:N-e使當時,注:（2）數列極限的定義未給出求極限的方法.定義論證法:N-e（1）對于由開始分析倒推，推出(2)取再用語言順述結論.例1證明證故對任給要使只要即所以,則當時,就有即由若取例4設且求證證任給由要使即要對當時,例5用數列極限定義證明證由于只要即因此,對任給的當時,即要使取有成立,收斂數列的有界性定義對數列若使對恒有則稱數列有界,否則,稱為無界.例如,數列有界;數列無界.幾何解釋:存在使得數軸上對應于有界數列的點都落在閉區間上.收斂數列的有界性則對一切自然數皆有故有界.注:有界性是數列收斂的必要條件.推論無界數列必定發散.（逆反命題）定理1收斂的數列必定有界.證設由定義,若取則使當時,恒有即:若記注:有界數列不一定收斂.例如，極限的唯一性定理收斂數列的極限是唯一的.證用反證法,設由定義,使得當時,恒有當時,恒有取則當時有上式僅當時才能成立.證畢.例7證明數列是發散的.證設由定義,對于使得當時,恒有即當時,區間長度為1.而無休止地反復取1,-1兩個數,不可能同時位于長度為1的區間內.因此該數列是發散的.證畢.注:此例同時也表明:有界數列不一定收斂.定理3(收斂數列的保號性)若且(或),則存在正整數當時,都有(或).證只證的情形.按定義,對正整數當時,有證畢.推論若數列從某項起有(或且則(或定理4(收斂數列與其子數列間的關系)如果數列收斂于那么它的任一子數列也收斂,且極限也是子列的收斂性證設數列是數列的任一子數列.由故正整數當時,恒有取則當時,于是即證畢.注:定理4的逆否命題知,若數列有兩個子數列收斂于不同的極限,則數列是發散的.例如,考察數列其子數列收斂于1,而子數列收斂于-1,因此數列是發散的.此例說明:一個發散的數列也可能有收斂的子數列.子列的收斂性自變量趨向無窮大時函數的極限觀察函數當時的變化趨勢.問題:如何用數學語言刻畫下述過程:函數“無限接近”確定值)(xf.當時,?x￥要點:(1)過程(2)函數與無限接近:有自變量趨向無窮大時函數的極限定義:設函數當大于某一正數時有定義.如果對(不論它多么小),總是使得對于滿足不等式的一切恒有那么常數就叫函數當時的極限,記作或(當自變量趨向無窮大時函數的極限單側極限:情形:即使當時,恒有情形:使當時,恒有定理且即例1證明證因為于是可取則當時,恒有故證畢.例2用極限定義證明，證對于任意給定的要使只要就可以了.因此，取則當時，時，當恒成立.所以時，當注

：同理可證：當時，自變量趨向有限值時函數的極限問題:如何用數學語言描述下述過程:在的過程中,函數無限趨近于確定值要點:(1)過程體現與的接近程度.(2)函數與無限接近:有定義若對(不論它多么小),使當時,函數都滿足不等式設函數在點的某一去心領域內有定義.自變量趨向有限值時函數的極限則常數就稱為函數當時的極限.記作或(當總是de-定義使當時,恒有注意:1.無關;2.與任意給定的正數有關.在點處是否有定義函數極限與自變量趨向有限值時函數的極限例4(1)證明(2)(3)例5證明:當時,證任給要使只要且則當時,就有取,例6證明證：任給要使只要即可.取當時，自然有證畢.左右極限左極限使當時,恒有記作或右極限使當時,恒有記作或定理例7設求解因為即有所以不存在.例8設求解在處沒有定義,而故不存在.函數極限的性質與收斂數列的性質相比較,可得函數極限的一些相應性質.下面僅以的極限形式為代表給出這些性質,至于其他形式的極限的性質,只需作出些修改即可得到.唯一性定理若存在,則極限唯一.有界性定理若則存在常數和使得當時,有函數極限的性質(或推論若且在的某去心鄰域內(或則(或保號性定理若且(或則使得當時,有子序列收斂性定義設在過程可以是或中有數列使得時則稱數列為函數當時的子序列.定理若數列是當時的一個子序列,則有子序列收斂性證使當時,恒有又且對上述使當時,恒有從而有故定理若數列是當時的一個子序列,則有函數極限與數列極限的關系函數極限存在的充要條件是都存在且相等.例如,