PAGE

PAGE

11

柯布-道格拉斯生產函數及其應用

［內容提要］

生產函數是指在一定時期內，在技術水平不變的情況下，生產中所使用的各種生產要素的數量與所能生產的最大產量之間的關系。柯布—道格拉斯生產函數是在生產函數的一般形式上作出的改進，引入了

\o"技術資源"

技術資源

這一因素。用來預測國家和地區的工業系統或大企業的生產和分析發展生產的途徑的一種經濟數學模型，它是經濟學中使用最廣泛的一種生產函數形式，采用的

\o"邊際分析方法"

邊際分析方法

，可用于分析要素投入對產量（產出）的貢獻率、

\o"規模收益"

規模收益

和其他系列問題。柯布—道格拉斯生產函數模型廣泛應用于經濟數量分析，運用我國1990-2008年的相關數據，運用應用統計學的方法來驗證我國經濟增長方式是粗放式的，提出應該加大科技創新投入，進而加快促進技術進步，深化經濟和政治體制改革來加快我國省經濟增長方式的轉變。

［關鍵詞］生產函數柯布道格拉斯經濟數量分析經濟增長

一、生產函數

（一）簡述

生產函數是指在一定時期內，在技術水平不變的情況下，生產中所使用的各種生產要素的數量與所能生產的最大產量之間的關系。它可以用一個數理模型、圖表或圖形來表示。換句話說，就是一定技術條件下投入與產出之間的關系，在處理實際的經濟問題時，生產函數不僅是表示投入與產出之間關系的對應，更是一種生產技術的制約。例如，在考慮成本最小化問題時，必須要考慮到技術制約，而這個制約正是由生產函數給出的。另外，在宏觀經濟學的增長理論中，在討論技術進步的時候，生產函數得到了很大的討論。

（二）常見生產函數

1、固定投入比例生產函數

固定投入比例生產函數是指在每一個產量水平上任何一對要素投入量之間的比例都是固定的生產函數。

2、柯布-道格拉斯生產函數

柯布-道格拉斯生產函數是由數學家柯布(C.W.Cobb)和經濟學家道格拉斯(PaulH.Douglas)于20世紀30年代提出來的。柯布—道格拉斯生產函數被認為是一種很有用的生產函數，因為該函數以其簡單的形式具備了經濟學家所關心一些性質，它在經濟理論的分析和應用中都具有一定意義。

（三）特點

1、生產函數反映的是在既定的生產技術條件下投入和產出之間的數量關系。如果技術條件改變，必然會產生新的生產函數。

2、生產函數反映的是某一特定要素投入組合在技術條件下能且只能產生的最大產出。

（四）分類

生產函數分一種可變投入生產函數和多種可變投入生產函數。

1、一種可變投入生產函數

對既定產品，技術條件不變、固定投入(通常是資本）一定、一種可變動投入（通常是勞動)與可能生產的最大產量間的關系，通常又稱作短期生產函數。

2、多種可變投入生產函數

在考察時間足夠長時，可能兩種或兩種以上的投入都可以變動、甚至所有的投入都可以變動，通常稱為長期生產函數。

二、柯布-道格拉斯生產函數

（一）概述

柯布—道格拉斯生產函數最初是美國數學家

\o"柯布"

柯布

(

\o"C.W.Cobb"

C.W.Cobb

)和經濟學家

\o"保羅·道格拉斯"

保羅·道格拉斯

(

\o"PaulH.Douglas"

PaulH.Douglas

)共同探討投入和產出的關系時創造的

\o"生產函數"

生產函數

，是以美國數學家C．W．柯布和經濟學家保羅．H．道格拉斯的名字命名的。它是在生產函數的一般形式上作出的改進，引入了

\o"技術資源"

技術資源

這一因素。用來預測國家和地區的工業系統或大企業的生產和分析發展生產的途徑的一種經濟數學模型。它是經濟學中使用最廣泛的一種生產函數形式，采用的

\o"邊際分析方法"

邊際分析方法

，可用于分析要素投入對產量（產出）的貢獻率、

\o"規模收益"

規模收益

和其他系列問題。它在數理經濟學與經濟計量學的研究與應用中都具有重要的地位。柯布—道格拉斯生產函數的一般形式可以表示為:他們根據有關歷史資料，研究了從1899－1922年美國的資本和勞動對生產的影響，在技術經濟條件不變的情況下，得出了產出與投入的勞動力及資本的關系。但是柯布－道格拉斯生產函數中把技術水平A作為固定常數，難以反映出因技術進步而給產出帶來的影響。柯布—道格拉斯生產函數中，如果有任何一種投入品為零，則產出也為零，因此對于生產來說，每種生產要素都是必需的，沒有一種要素可以完全替代另一種要素。根據研究目的和需要，現在有很多在柯布——道格拉斯生產函數基礎上變形應用的函數形式。

柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美國制造業的生產函數。他們指出，制造業的投資分為，以機器和建筑物為主要形式的固定資本投資和以原料、半成品和倉庫里的成品為主要形式的流動資本投資，同時還包括對土地的投資。在他們看來，在商品生產中起作用的資本，是不包括流動資本的。這是因為，他們認為，流動資本屬于制造過程的結果，而非原因。同時，他們還排除了對土地的投資。這是因為，他們認為，這部分投資受土地價值的異常增值的影響較大。

因此，在他們的生產函數中，資本這一要素只包括對機器、工具、設備和工廠建筑的投資。而對勞動這一要素的度量，他們選用的是制造業的雇傭工人數。

但是，不幸地是，由于當時對這些生產要素的統計工作既不是每年連續的，也不是恰好按他們的分析需要來分類統計的。因而，他們不得不盡可能地利用有的一些其它數據，來估計出他們打算使用的數據的數值。比如，用生鐵、鋼、鋼材、木材、焦炭、水泥、磚和銅等用于生產機器和建筑物的原料的數量變化來估計機器和建筑物的數量的變化；用美國一兩個州的雇傭工人數的變化來代表整個美國的雇傭工人數的變化等等。經過一番處理，他們得到關于1899年至1922年間，產出量P、資本C和勞動L的相對變化的數據（以1899年為基準）。令人佩服的是，在沒有計算機的年代里，他們從這些數據中，得到了如下的生產函數公式:P=ACαLβ(A,α,β>0)。

這一結果雖然與現代計算機統計軟件的計算結果不同，但兩者無本質上的差別。用嚴格的統計學術語來說，就是在5%的顯著性水平上，不能拒絕這兩者相同的原假設。從這一結果出發，他們計算出資本的邊際產出，即產出P對資本C的導數，為1/4P/C；勞動的邊際產出，即產出對勞動L的導數，為3/4P/L。然后，將這些邊際產出乘以相應的生產要素量，得到資本的總產出為1/4P，勞動的總產出為3/4P。

他們顯然被自己的結論嚇壞了。因為他們竟然表示他們自己千辛萬苦好不容易得到的這樣一個結果是值得懷疑的，強調他們的文章不在于給出結論，而在于演示方法。當然，嚇壞他們的，決不是因為他們發現資本也能“創造”價值，而只是因為他們發現產出的大部分，即3/4的產出都應歸屬于勞動。

繼柯布和道格拉斯之后，其他西方學者也對所謂的生產函數進行了實證研究，如霍奇等。霍奇還根據其研究的結果，計算了所謂的最優生產要素配置。根據這一配置，要大大降低勞動要素的投入，增加資本要素的投入，好象無限擴大廠房面積，就能夠大大增加產出似的。

（二）基本形式

柯布-道格拉斯生產函數的基本形式為：Y=A(t)LαKβμ。式中Y是

\o"工業總產值"

工業總產值

，At是綜合技術水平，L是投入的勞動力數（單位是萬人或人）,K是投入的資本，一般指

\o"固定資產凈值"

固定資產凈值

（單位是億元或萬元，但必須與勞動力數的單位相對應，如勞動力用萬人作單位，固定資產凈值就用億元作單位）,α是勞動力產出的彈性系數,β是資本產出的彈性系數,μ表示隨機干擾的影響，μ≤1。從這個模型看出，決定工業系統發展水平的主要因素是投入的勞動力數、固定資產和綜合技術水平（包括

\o"經營管理"

經營管理

水平、勞動力素質、引進先進技術等）。根據α和β的組合情況,它有三種類型：

①α＋β>1,稱為遞增報酬型，表明按現有技術用擴大生產規模來增加產出是有利的。

②α＋β<1,稱為遞減報酬型,表明按現有技術用擴大生產規模來增加產出是得不償失的。

③α＋β＝1,稱為不變報酬型，表明生產效率并不會隨著生產規模的擴大而提高，只有提高技術水平，才會提高經濟效益。

根據柯布-道格拉斯生產函數可以得到下列經濟參數（設μ＝1）：

①勞動力邊際生產力表示在資產不變時增加單位勞動力所增加的產值。

②資產邊際生產力表示在勞動力不變時增加單位資產所增加的產值。

③勞力對資產的邊際代換率表示產值不變時增加單位勞動力所能減少的資產值。

④勞動力產出彈性系數，表示勞動力投入的變化引起產值的變化的速率。

⑤資產產出彈性系數,表示資產投入的變化引起產值變化的速率。國際上一般取α＝0.2～0.4,β=0.8～0.6。中國根據國家計委測算一般可取α＝0.2～0.3,β＝0.8～0.7。

（三）

\o"斯諾模型"

斯諾模型

美國經濟學家

\o"R.M.斯諾"

R.M.斯諾

提出的中性技術模式即

\o"斯諾模型"

斯諾模型

屬于不變報酬型。當μ＝1時，斯諾模型為：

Y=A(t)L1?εKε或，式中(1-ε)是勞動力產出的彈性系數。根據彈性系數的經濟意義和數學意義,。這里p是產出價格,q是資本價格。當p＝q時,。。它表示對生產技術水平、經營管理水平和服務水平的綜合評價，全面反映企業的適應能力、競爭能力和生存能力。A(t)值越大，水平越高。

根據柯布-道格拉斯生產函數可以得到下列經濟參數（設μ＝1）：

①勞動力邊際生產力表示在資產不變時增加單位勞動力所增加的產值。

②資產邊際生產力表示在勞動力不變時增加單位資產所增加的產值。

③勞力對資產的邊際代換率表示產值不變時增加單位勞動力所能減少的資產值。

④勞動力產出彈性系數，表示勞動力投入的變化引起產值的變化的速率。

⑤資產產出彈性系數,表示資產投入的變化引起產值變化的速率。國際上一般取α＝0.2～0.4,β=0.8～0.6。中國根據國家計委測算一般可取α＝0.2～0.3,β＝0.8～0.7。

三、應用柯布-道格拉斯生產函數分析我國經濟增長方式

（一）實證分析

目前國內學者對經濟增長方式的實證研究主要依據這些模型來展開,如徐現祥提出了經濟增長方式的判斷標準,對粗放度進行了具體估量；祝孔海對我國經濟增長方式的實證研究,認為我國的經濟增長方式已經開始向集約型轉變。我國經濟增長速度一直較快,高速度掩蓋了經濟增長方式上存在的問題。鑒于此,本文擬運用1990―2008年的數據,對我國的經濟增長方式做一實證分析。

數據選取及說明

1、本文采用的數據主要來源于歷年中國統計年鑒,時間跨度為1990～2008。

（1）總產出GDP

一般而言,衡量國民經濟整體產出的指標應該是按可比價格計算的國內生產總值或國民生產總值,這兩項指標都可以直接從有關統計資料中獲得。本文采用我國國內生產總值(GDP)作為衡量經濟增長的基本指標,基礎數據取自我國歷年統計年鑒。

（2）資本K

資本為全社會固定資產投資。

（3）勞動力L

勞動力投入一直是經濟增長理論強調的一個重要因素之一,從古典經濟增長生產函數模型到現在的模型都離不開勞動力的投入,勞動力數據，由于現階段勞動者的工資無法反映勞動投入的真正水平,所以本文采用以年末就業人數作為觀測指標，指從事一定社會勞動并取得勞動報酬或經營收入的人員。這一指標反映了一定時期內全部勞動力資源的實際利用情況。

2、回歸方程

（1）各年度投入產出數據

表1我國主要投入產出年度數據及經濟增長因素分析

年份

國內生產總值GDP

（億元）

資本K

（億元）

勞動力L

（萬人）

GDP發展速度

（環比）

GDP發展速度

（環比）

1990

18667.82

4517.00

1991

21781.50

5594.50

58360

116.68%

16.68%

1992

26923.48

8080.10

59432

123.61%

23.61%

1993

35333.92

13072.30

60220

131.24%

31.24%

1994

48197.86

17042.94

61470

136.41%

36.41%

1995

60793.73

20019.26

67947

126.13%

26.13%

1996

71176.59

22974.03

68850

117.08%

17.08%

1997

78973.03

13091.72

69600

110.95%

10.95%

1998

84402.28

15369.30

69957

106.87%

6.87%

1999

89677.05

29854.71

70586

106.25%

6.25%

2000

99214.55

32917.73

72085

110.64%

10.64%

2001

109655.17

37213.49

73025

110.52%

10.52%

2002

120332.69

43499.91

73740

109.74%

9.74%

2003

135822.76

55566.61

74432

112.87%

12.87%

2004

159878.34

70477.40

75200

117.71%

17.71%

2005

183217.40

88773.60

75825

114.60%

14.60%

2006

211923.50

109998.20

76400

115.67%

15.67%

2007

257305.60

137323.90

76990

121.41%

21.41%

2008

300670.00

172828.4

77480

116.85%

16.85%

注：資料來源于中國歷年統計年鑒。

（2）數據的統計學分析

各年度的發展速度與增長速度見上表。

（3）回歸方程

回歸分析方法為普通最小二乘法，本文采用的分析軟件是Eviews6.0計量經濟學軟件包。

回歸方程：

lnGDP=0.689154*lnK+0.383506*lnL

t=(13.34487)(7.947861)

R-squared=0.936752AdjustedR-squared=0.932800

DW=0.736161

=1\*GB3

①

經濟意義檢驗。因為α和β分別為固定資本存量和勞動投入量對總產出的貢獻份額,所以有0<α<1,0<β<1。從上面的回歸結果我們可以看出,α和β估計值的符號與數值與預期一致,因此可以通過經濟意義檢驗。

=2\*GB3

②

統計意義檢驗。首先是擬合優度檢驗,擬合優度R-squared=0.936752,調整后的擬合優度AdjustedR-squared=0.932800,模型的擬合優度比較高,說明對樣本的擬合效果比較好,模型的解釋能力比較強。然后進行變量的顯著性檢驗。變量個數k=2,樣本容量n=18,在0.05的顯著水平下,t統計量的臨界值為t0.025(18)=2.1009。可見,在0.05的顯著性水平下,α和β的估計值可以通過t檢驗,解釋能力都比較強。

（二）結論與政策建議

依據C-D生產函數理論和實際數據驗證分析，得出我國多年來的經濟增長方式和社會發展方式是粗放型的。我國這些年來的快速經濟增長是靠固定資產和低水平的勞動力投入來拉動的，是不可持續的。靠粗放型增長方式我國可以實現“三步走”的第一步、第二步戰略目標，但不可能實現第三步戰略目標。我國2006年國內生產總值僅占世界總量的5.5%，而我們消耗的能源占世界的15%，鋼材占30%，水泥占54%。這些數字表明，粗放式的經濟增長方式在我國已經沒有后續空間，轉變經濟發展方式已勢在必行。

轉變經濟發展方式的呼聲在2003年就早已提出，但是，直至今年——“十一五”規劃的收尾之年，我國的經濟發展方式仍然是粗放型的，這不能不引起我國政府和學者的關注。今年，我國及各級政府都在積極籌劃“十二五”規劃，并且我國已經到了不得不轉變經濟發展方式的時刻。“十二五”規劃是一個契機，我國及各級政府在規劃中一定要重點突出加快轉變經濟發展方式的內容，從而加快推動我國經濟發展方式向集約型轉變。

我認為，應該從以下幾個方面著手：

1、加大教育和科技投入力度，提高我國國民的科學文化素質，提升我國的人力資本

從模型結果來看，勞動力對經濟增長的貢獻占到30%左右，但是，根據實際情況及勞動力結構分析，我國的勞動力投入大部分是低水平的體力勞動者，投入數量大，質量低。“十二五”規劃及以后，我國一定要加大各類教育投入力度，提高科研投入水平，尤其是基礎性科研投入要大幅度提高。只有這樣，我國國民的科學文化素質才會提高，人力資本質量才會提升，才能優化我國資本和勞動力對經濟發展的貢獻率，才能提高技術進步對我國經濟發展的貢獻率，才有可能實現我國經濟發展方式向集約型轉變，才能實現我國建設資源節約型、環境友好型社會的目標。

2、提高投資效率，優化投資結構

固定資產投資在我國的經濟增長貢獻率接近70%，聯系實際現象，我國的投資結構急需調整，急需優化。今后，我國應該采取適當措施激勵企業提高科技創新投入，推進技術進步，提高投資效率；我國經濟應該盡快從鋼筋水泥的泥沼中解脫出來，采取相應