2021年河北省保定市石井鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)在區(qū)間(1,5)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.(－∞,1) B.(－∞,1] C. D.參考答案：D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得恒成立，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最值即可．【詳解】由函數(shù)，得，故據(jù)題意可得問題等價于時，恒成立，即恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，故而，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，函數(shù)恒成立的等價轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.2.函數(shù)f（x）=，則函數(shù)h（x）=f（x）﹣log4x的零點個數(shù)為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個參考答案：D【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】函數(shù)h（x）=f（x）﹣log4x的零點個數(shù)?函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log4x的圖象交點個數(shù)．畫出函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log4x的圖象（如圖），根據(jù)圖象可得答案．【解答】解：函數(shù)h（x）=f（x）﹣log4x的零點個數(shù)?函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log4x的圖象交點個數(shù)．畫出函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log4x的圖象（如圖），根據(jù)圖象可得函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log4x的圖象交點為5個．∴函數(shù)h（x）=f（x）﹣log4x的零點個數(shù)為5個．故選：D3.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，則b=（）A．4 B．4 C．2 D．3參考答案：A【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】首先利用正弦和余弦定理轉(zhuǎn)化出2（a2﹣c2）=b2，結(jié)合a2﹣c2=2b，直接算出結(jié)果．【解答】解：sinAcosC=3cosAsinC，利用正、余弦定理得到：解得：2（a2﹣c2）=b2①由于：a2﹣c2=2b②由①②得：b=4故選：A【點評】本題考查的知識要點：正、余弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運算問題．4.正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A． B．16π C．9π D．參考答案：A【考點】LR：球內(nèi)接多面體；LG：球的體積和表面積．【分析】正四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，求出PO1，OO1，解出球的半徑，求出球的表面積．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，則∵棱錐的高為4，底面邊長為2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面積為4π?（）2=．故選：A．5.在△ABC，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c．a(chǎn)sinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，則∠B=(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點】正弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)．【專題】解三角形．【分析】利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù)sinB不為0，兩邊除以sinB，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求出sinB的值，即可確定出B的度數(shù)．【解答】解：利用正弦定理化簡已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B為銳角，則∠B=．故選A【點評】此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及誘導(dǎo)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．6.在△ABC中，BC=5，B=120°，AB=3，則△ABC的周長等于(

)A．7 B．58 C．49 D．15參考答案：D【考點】余弦定理．【專題】解三角形．【分析】由BC=a，AB=c的長，以及sinB的值，利用余弦定理求出b的值，即可確定出周長．【解答】解：∵在△ABC中，BC=a=5，B=120°，AB=c=3，∴由余弦定理得：AC2=b2=a2+c2﹣2ac?cosB=25+9+15=49，解得：AC=b=7，則△ABC的周長為a+b+c=5+3+7=15．故選D【點評】此題考查了余弦定理，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．7.執(zhí)行如圖所示的 程序框圖，因輸出的結(jié)果為（

）A．2

B．3

C.4

D．5參考答案：D8.函數(shù)f（x）=xa滿足f（2）=4，那么函數(shù)g（x）=|loga（x+1）|的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】3O：函數(shù)的圖象．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分類討論：當(dāng)x≥0時，當(dāng)﹣1＜x＜0時，函數(shù)g（x）單調(diào)性質(zhì)，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴當(dāng)x≥0時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，且g（0）=0；當(dāng)﹣1＜x＜0時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．故選C．9.一個幾何體的三視圖如下圖（左）所示，則這個幾何體的體積等于()

A．4

B．6

C．8

D．12參考答案：A由三視圖得幾何體為四棱錐，如圖記作S—ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD為直角梯形．∠DAB＝90°，∴V＝SA×(AB＋CD)×AD＝×2×(2＋4)×2＝4.10.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是

（

）A. B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若隨機變量，則_______．參考答案：10【分析】根據(jù)題意可知，隨機變量滿足二項分布，根據(jù)公式，即可求出隨機變量的方差，再利用公式即可求出。【詳解】．故答案為。【點睛】本題主要考查滿足二項分布的隨機變量方差的求解，解題時，利用公式將求的問題轉(zhuǎn)化為求的問題，根據(jù)兩者之間的關(guān)系列出等式，進行相關(guān)計算。12.如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則橢圓C的離心率為

．參考答案：【考點】圓與圓錐曲線的綜合．【分析】本題考察的知識點是平面向量的數(shù)量積的運算，及橢圓的簡單性質(zhì)，由F1、F2是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，連接OQ，F(xiàn)1P后，我們易根據(jù)平面幾何的知識，根據(jù)切線的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)得到PF2⊥PF1，并由此得到橢圓C的離心率．【解答】解：連接OQ，F(xiàn)1P如下圖所示：則由切線的性質(zhì)，則OQ⊥PF2，又由點Q為線段PF2的中點，O為F1F2的中點∴OQ∥F1P∴PF2⊥PF1，故|PF2|=2a﹣2b，且|PF1|=2b，|F1F2|=2c，則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2得4c2=4b2+4（a2﹣2ab+b2）解得：b=a則c=故橢圓的離心率為：故答案為：．13.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積等于 cm3.參考答案：20詳解：由題中所給的三視圖可知，幾何體是一個直三棱柱截取一個三棱錐，棱柱和棱錐的底面面積，棱柱和棱錐的高h=5cm，故該幾何體的體積為，故答案是20.

14.在樣本的頻率分布直方圖中,共有9個小長方形,若第一個長方形的面積為0.02,前五個與后五個長方形的面積分別成等差數(shù)列且公差互為相反數(shù),若樣本容量為160,則中間一組（即第五組）的頻數(shù)為

.

參考答案：3615.數(shù)列,若,則___________.w參考答案：16.程序框圖如下：如果上述程序運行的結(jié)果為S＝132，那么判斷框中應(yīng)填入

參考答案：17.直線到直線的距離是

▲

參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.參考答案：解析：（Ⅰ）證:∵側(cè)面PAB垂直于底面ABCD,且側(cè)面PAB與底面ABCD的交線是AB,在矩形ABCD中,BC⊥AB,∴BC⊥側(cè)面PAB.-------------3分（Ⅱ）證:在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥側(cè)面PAB,∴AD⊥側(cè)面PAB.------5分又AD在平面PAD上,所以,側(cè)面PAD⊥側(cè)面PAB-------------------6分（Ⅲ）解:在側(cè)面PAB內(nèi),過點P做PE⊥AB.垂足為E,連結(jié)EC,∵側(cè)面PAB與底面ABCD的交線是AB,PE⊥AB.∴PE⊥底面ABCD.于是EC為PC在底面ABCD內(nèi)的射影,-----------8分∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角,---------------------10分在△PAB和△BEC中,易求得PE=,在Rt△PEC中,∠PCE=450---------------------------------------12分19.試分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求840與1764、440與556的最大公約數(shù)。參考答案：（1）用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1764的最大公約數(shù)。

1764=8402+84，840=8410+0，所以840與1764的最大公約數(shù)就是84。

(2）用更相減損術(shù)求440與556的最大公約數(shù)。

556-440=116，440-116=324，324-116=208，208-116=92，116-92=24，92-24=68，

68-24=44，44-24=20，24-20=4，20-4=16，16-4=12，12-4=8，8-4=4。

440與556的最大公約數(shù)是4。20.（本題滿分12分）已知橢圓與雙曲線的焦點相同，且它們的離心率之和等于.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）過橢圓內(nèi)一點作一條弦，使該弦被點平分，求弦所在直線方程.參考答案：（Ⅰ）由題意知，雙曲線的焦點坐標(biāo)為，離心率為，設(shè)橢圓方程：，則，，

，

橢圓方程為：.

（Ⅱ）解法一：設(shè)，為弦的中點，，

由題意：，得，，

此時直線方程為：，即，故所求弦所在的直線方程為.解法二：由題意可知，直線斜率必存在.設(shè)所求直線方程為：，由，得，（*）

設(shè)，為弦的中點，，，，

故所求弦所在的直線方程為：，即.21.(本小題滿分12分)已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點和的直線與原點的距離為．（1）求橢圓的方程．（2）已知定點，若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．參考答案：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0．依題意解得∴橢圓方程為．………4分（2）假若存在這樣的k值，由得．∴．①設(shè)，、，，則②

…8分而．要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時，則，即．………………10分∴．③將②式代入③整理解得．經(jīng)驗證，，使①成立．綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E．………12分22.(本題滿分12分)已知橢圓C：

(a>b>0)以雙曲線的焦點為頂點，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的左、右頂點分別為點A，B，點M是橢圓C上異于A，B的任意一點．①求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；②若直線MA，MB與直線x＝4分別交于點P，Q，求線段PQ長度的最小值．參考答案：解：(1)易知雙曲線的焦點為(－2,0)，(2,0)，離心率為，

(2分)則在橢圓C中a＝2，e＝，故在橢圓C中c＝，b＝1，所以橢圓C的方程為.

(2)①設(shè)M