關于無窮積分的性質與收斂判別第1頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五一、無窮積分的性質第2頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五第3頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五證極限的柯西準則,此等價于收斂的充要條件是:(無窮積分收斂的柯西準則)無窮積分定理11.1第4頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五性質1為任意常數,則即根據反常積分定義,容易導出以下性質1和性質2.第5頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五性質2第6頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五h(x)在任意[a,u]上可積,且證因為收斂,由柯西準則的必要性,例1,f(x),g(x),若第7頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五再由柯西準則的充分性,第8頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五若無窮積分以下定理可用來判別一般函數無窮積分的收斂性.何有限區間[a,u]上可積,性質3

(絕對收斂的無窮積分必收斂)若

f在任第9頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五因此再由柯西準則的充分性,又對任意證由柯西準則的必要性,對因第10頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例2的收斂性.判別解由于第11頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五二、非負函數無窮積分的收斂判別法引理(非負函數無窮積分的判別法)設定義在

上的非負函數f

在任何收斂的充要條件是:第12頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五證設增函數的收斂判別準則,

從而F(u)是單調遞增的由單調遞第13頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五非負函數

f,g在任何有限區間[a,u]上可積,且定理11.2(比較判別法)

設定義在上的兩個存在滿足第14頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五證

由非負函數無窮積分的判別法,第二個結論是第一個結論的逆否命題,因此也成立.第15頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五例3判別的收斂性.解顯然第16頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五設f(x),g(x)是上的非負連續函數.證例4證由于第17頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五推論1設非負函數f和g在任何[a,u]上可積,且第18頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五證

即第19頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五第20頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五推論2設f是定義在上的非負函數,在任何限區間[a,u]上可積.推論3設f是定義在上的非負函數,在任何有說明:

推論3是推論2的極限形式.第21頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五例5

討論的收斂性(k>0).解(i)第22頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五Ex1解所給廣義積分收斂．Ex2解根據柯西極限審斂法

，所給廣義積分發散．第23頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五Ex3解根據柯西極限審斂法

，所給廣義積分發散．第24頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五第25頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五證Ex6:

用比較審斂法證明：即收斂.第26頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五Ex7解所以所給廣義積分收斂.第27頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五三、一般函數無窮積分的判別法狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.定理11.3(狄利克雷判別法）證故第28頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五使得因此,由柯西準則，第29頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五證[證法1]定理11.4(阿貝爾判別法)由

g的單調性,用積分第二中值定理，對于任意的使得第30頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五由柯西準則,第31頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五[證法2]由狄利克雷判別法收斂,所以第32頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五例6的收斂性.收斂.解由狄利克雷判別法推知另一方面，第33頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五狄利克雷判別法條件,是收斂的；第34頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五類似可證:第35頁，共38頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五當x→+∞時,被積

函數即使不趨于0,

甚至無界,無