1、等比數列內容分析組長：賈富杰小組成員：王嬌，魏紅艷，吳菲菲，馬永勝，陳扶祿結構分析1.單科結構分析知識結構：（1）等比數列的定義；（2）等比數列通項公式；（3）前n項和公式；（4）等比中項的概念及意義；（5）等比數列的基本性質教學重點：掌握等比數列的定義；理解等比數列的通項公式及推導。教學難點：靈活運用等比數列的定義及通項公式解決相關問題，在具體問題中抽象出等比數列模型及掌握重要的數學思想方法。關鍵點：等比數列的通項公式及前n項和公式的基本掌握。教學安排：回顧舊知、導入新課通過感性材料的引入，比如：給我一張紙，我能夠將它折成五層樓那么高（假設我的力氣足夠大），這可能嗎？你如果能將一張報紙對折3

2、8次，我就能順著它在今晚爬上月球，將一張紙對折會有那么大的高度嗎？通過上述興趣材料的引入，激發學生的學習興趣，從而讓學生帶著疑問進入本節課的學習。2、講授新課，構建新知給出一組數字，讓學生觀察這組數字的共同特點，從而導出等比數列的概念；由等比數列的概念給出數組判斷其是否為等比數列；推導等比數列的通項公式（遞推法、連乘法等）。3、例題講解、梳理知識通過相關應用題目使所學知識得到進一步提升，或者通過概念型例題引發學生思考從而對等比數列的通項公式熟練掌握例題：一個等比數列的第三項與第四項分別為12和18，求它的第一項與第二項。4、自我檢測、形成技能5、給出一些生活中的實際例子，使本節所學理論上升到實

3、踐：。通過對上述現實問題的分析即可使本課與實際相聯系。（二）數學思想方法分析函數思想。將數列問題轉化為函數問題，通過對函數的分析計算，讓學生逐步解決等比數列的問題。掌握等比數列的實質是運用函數來解決數列問題，通過各種函數計算，解決問題。待定系數法和配方法。等比數列運用函數來解決問題，函數這一部分用到許多數學方法，由已知條件求等比數列表達式的問題，很多都是用待定系數法來解的。通過已知條件，轉化條件，列出方程組，解方程組求得等比數列。（三）功能分析智力價值理解等比數列的前n項和公式的推導方法，掌握等比數列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。思想教育價值提高學生的建模意識，體會公式探求過程中

4、從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想，優化思維品質。應用價值培養學生將數學學習放眼生活，用生活眼光看數學的思維品質。（四）背景分析1.人類在古代隨著自然數、分數的概念和四則運算的產生，為了生產與生活的需要，就產生了數列的知識. 在 HYPERLINK /s?q=%E4%B8%96%E7%95%8C%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 世界數學史上，對級數(數列)的討論具有悠久的歷史，中國、巴比倫、古希臘、埃及和印度等，都曾經研究過級數， HYPERLINK /s?q=%E4%B8%AD%E5%9B

5、%BD%E5%8F%A4%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 中國古代數學名著 HYPERLINK /s?q=%E5%91%A8%E9%AB%80%E7%AE%97%E7%BB%8F&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 周髀算經九章算術 HYPERLINK /s?q=%E5%AD%94%E5%AD%90%E7%AE%97%E7%BB%8F&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 孔子算經 HYPERLINK /s?q=%E5%BC%A0%E9%82%B1%

6、E5%BB%BA%E7%AE%97%E7%BB%8F&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 張邱建算經等，對等差級數a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+a(n1)b和等比級數aaqaq2aq3aqn1都列舉出計算的例子，說明中國古代對級數的研究曾作出過一定的貢獻. 古老的 HYPERLINK /s?q=%E6%98%93%E7%BB%8F&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 易經一書中寫道：“是故易有太極，是生兩儀；兩儀生四象，四象生八卦”，實際上，這種分割，已經寓有數學中等比數列的思想. 著于東漢(25年220年)初年的中國古

7、代數學名著 HYPERLINK /s?q=%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E6%9C%AF&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 九章算術均輸章中，第19題：“今有竹九節，下三節容四升，上四節容三升.問中間兩節欲均容，各多少？”解得各節的容量是1 ，1 ，1 ，1 ，1 ， ， ， ，源于古代的一些實際問題古埃及國王拉阿烏斯有位能干的文書阿默斯他用 HYPERLINK /s?q=%E8%B1%A1%E5%BD%A2%E6%96%87%E5%AD%97&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 象形文字寫了一部算書，記錄

8、了公元前2000年前1700年間數學研究的一些成果其中有這樣一題，題中畫了一個階梯，其各級注數為7，49，343，2401，16807并在數旁依次畫了人、貓、鼠、 HYPERLINK /s?q=%E5%A4%A7%E9%BA%A6&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 大麥和量器原書上并無任何說明，遂成為 HYPERLINK /s?q=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 數學史上的一個難解之謎2000多年中無人能解釋 直到中世紀，意大利 HYPERLINK /s?q=%E6%96%

9、90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 斐波那契在1202年發表了 HYPERLINK /s?q=%E7%AE%97%E7%9B%98%E5%85%A8%E4%B9%A6&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 算盤全書，書中這樣一題： 今有七老婦人同往羅馬，每人有七騾，每騾負七袋，每袋盛有七個面包，每個面包有七小刀隨之，每小刀配有七鞘，問列舉之物全數共有幾何？ 顯然這是一個等比數列的求和問題 由此也基本解開了阿默斯之謎原來阿默斯問題的意思是：今有七人，每人有 HYPERLINK /

10、s?q=%E4%B8%83%E7%8C%AB&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 七貓，每貓食七鼠，每鼠食七只大麥穗，每穗可長成大麥七量器，由此可得之數列如何？當然這僅僅是推測 我國古代數學家也早就研究過等比數列的問題 HYPERLINK /s?q=%E5%AD%99%E5%AD%90%E7%AE%97%E7%BB%8F&ie=utf-8&src=wenda_link t _blank 孫子算經中有一個有趣的題目“出門望九堤”： 今有出門重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，維有九毛，毛有九色，問各幾何？國際象棋起源于印度，據說國王舍罕為了獎賞

11、發明者西薩.班.達依爾 ，讓他提出一個要求，于是這位聰明的發明者說：“尊敬的陛下，請在棋盤的第1格里放上1顆麥粒，第2格里放上2顆麥粒，在第3格里放上4顆麥粒，以此類推，每一格里的麥粒是前一格里放的2倍，直至64格，請陛下把這些麥粒賞給您的仆人吧”。國王覺得這事不難，就欣然同意了。請問：國王能辦到嗎？大約公元前320年，歐幾里得的幾何原本第五卷詳細探討了關于比例的理論，并且把它們推廣到各種量，此外還證明了它可以應運到可通約的量，也可應運到不可通約的量。希思認為，希臘沒有什么更好的發現比這個理論更能令人夸耀了。一般都公認，該卷中大部分是歐多克索斯和泰阿泰德的工作，但是把它們編排的合乎邏輯次序，應

12、該歸功于歐幾里得。書中關于比值和比例的基本概念是這樣定義的： 各個量在被乘時仍能保持各量間的相應比數稱為彼此間有一比值。（定義4） 所謂成等比的諸量，如第一量和第二量之比等于第三量和第四量之比，是指在以等倍數乘第一量與第三量，并以任何等倍數乘第二量和第四量時，前者的等倍數必相同地大于，或相同地等于，或相同地小于后者相應的倍數。（定義5） 成等比的諸量稱為比例量。（定義6） 第六卷把第五卷已經建立起來的關于比例的一般理論應運到平面圖形上去。 第七，八，九卷與算術即關于數的理論有關。單位的定義是，用它把每個存在的事物稱為1,。奇數和偶數，素數和合數，平方數和立方數。完全數等都有了定義，例如一個完全

13、數就是“等于它的各部分之和的數”，即等于它的所有因子（包括1）之和。第七卷中的命題1指出，“若在兩個等數中，每當從大數中盡可能地減去小數，再從小數中盡可能地減所得余數，又從前一余數中盡可能地減去下一余數，如此下去，并且任何余數都不是前一余數的約數，直至達到1為止，則此二位給定數互為素數”。這個命題是用歸謬法來證明的，從它可以得出求不是互素的兩個或三哥數的最大公約數的方法。”第九卷（命題35）提出一個巧妙的方法來求幾何級數的和：如果有任意多個數成連比例，并且第二個和最后一個數都可以減去第一個數，則第二個數的增量與第一個數之比，將等于最后一個數的增量與最后一個數前面的所有數之和的比。例如，若級數a

14、且 a即 an+1現在，如果有任意多個數成比例，則由于任前一項和后一項之比等于所有前項的和與所有后項的和之比，故將所有前項與所有后項相加，既得： a從這個關系即可確定S2.等比數列與其他知識的聯系等比數列與極限3.等比數列的實際應用1 HYPERLINK /zhishi_7234 產值模型2 HYPERLINK /zhishi_7235 產值模型3 HYPERLINK /zhishi_7236 分期付款模型4存儲模型（五）要素分析1.感性材料：通過引入“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，導出等比數列。2.概念和命題概念：(1)數學概念名稱：等比數列（2）數學概念定義：等比數列是說如果一個 HYP

15、ERLINK /view/39749.htm t _blank 數列從第2項起，每一項與它的前一項的 HYPERLINK /subview/132137/7964625.htm t _blank 比值等于同一個 HYPERLINK /view/122755.htm t _blank 常數。這個常數叫做等比數列的 HYPERLINK /view/1031579.htm t _blank 公比，公比通常用字母q 表示(q0)，等比數列a1 0。注：q=1 時，an為常數列。(3)數學概念例子an=2n是首項為1，公比為2的等比數列。命題：1.若an是等比數列，公比為q1，bn也是等比數列，公比是q

16、2，則a2n，a3n是等比數列，公比為q12，q13can，c是 HYPERLINK /view/122755.htm t _blank 常數，an*bn，an/bn是等比數列，公比為q1，q1q2，q1/q2。2. 若m、n、p、qN*，且m+n=p+q，則am*an=ap*aq。3. 若“G是a、b的 HYPERLINK /view/1454999.htm t _blank 等比中項”則“G2=ab（G0）3.例題a. 設ak，al，am，an是等比數列中的第k、l、m、n項，若k+l=m+n，求證：ak*al=am*an證明：設等比數列的首項為a1，公比為q，則：ak=a1q(k-1)，

17、al=a1q(l-1)，am=a1q(m-1)，an=a1q(n-1)所以：ak*al=a2*q(k+l-2)，am*an=a2*q(m+n-2)，故：ak*al=am*an例題分析：這個例題是等比數列的一個重要性質，它在解題中常常會用到。它說明等比數列中距離兩端(首末兩項)距離等遠的兩項的乘積等于首末兩項的乘積，即：a(1+k)a(n-k)=a1an對于等差數列，同樣有：在等差數列中，距離兩端等這的兩項之和等于首末兩項之和。即：a(1+k)+a(n-k)=a1+anb. 在各項均為正數的等比數列an中，a2，12a3，a1成等差數列，則a4a5a3a4的值為()A.512 B.512C.15

18、2 D.512或512答案B解析設an的公比為q，則q0.a2，12a3，a1成等差數列，a3a1a2，a1q2a1a1qa10，1qq2，又q0，q512， a4a5a3a4q512例題分析：本題結合了等差數列與等比數列的性質4.習題a.等比數列an,前n項和為Sn,Sn=48,S2n=60,S3n=?解：設 HYPERLINK /s?wd=%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6 t _blank 等比數列的公比是q, 顯然q不等于1.則Sn=a1*(1-qn)/(1-q)=48 S2n=a1*(1-q(2n)/(1-q)=60把上面兩式相比得到qn=1/4所以s3n=a1*(1-q(3n)/(1-q)S3n/Sn=(1-q(3n)/(1-qn)=1+qn+q(2n)=1+1/4+1/16=21/16所以S3n=21/16*Sn=(21/16)*48=63.b. 已知等比數列an的公比q12.(1)若a31