1、44)A，B，C都發生，表示為：ABC111111完全版概率論與數理統計習題答案第四版盛驟（浙江大學）浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率論的基本概念一寫出下列隨機試驗的樣本空間（1）記錄一個小班一次數學考試的平均分數（充以百分制記分）（一1）S=（-0，丄1001,n表小班人數InnnJ（3）生產產品直到得到10件正品，記錄生產產品的總件數。（一2）S=10,11,12,n,（4）對某工廠出廠的產品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續查出二個次品就停止檢查,或檢查4個產品就停止檢查,記錄檢查的結果。查出合格品記為“1”,查出次品記為“0”,連續出現兩個“0”就停止檢查

2、,或查滿4次才停止檢查。（一（3）S=00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,二設A,B,C為三事件，用A,B,C的運算關系表示下列事件。（1）A發生，B與C不發生。表示為：ABC或A（AB+AC）或A（BUC）（2）A,B都發生，而C不發生。表示為：ABC或ABABC或ABC（3）A,B,C中至少有一個發生表示為：A+B+CA,B,C都不發生，表示為：ABC或S(A+B+C)或AuBuCA,B,C中不多于一個發生，即A,B,C中至少有兩個同時不發生相當于AB,BC,AC中至少有一個發生。故表示為：AB+BC+AC。A,

3、B,C中不多于二個發生。相當于：A,B,C中至少有一個發生。故表示為：A+B+C或ABC(8)A,B,C中至少有二個發生。相當于：AB,BC,AC中至少有一個發生。故表示為：AB+BC+AC6.三設A,B是兩事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7問(1)在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知ABH,(否則AB=依互斥事件加法定理，P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.31與P(AUB)W1矛盾).從而由加法定理得P(AB)=P(A)+P(B)P(AUB)(*)從0WP(

4、AB)WP(A)知，當AB=A，即AHB時P(AB)取到最大值，最大值為P(AB)=P(A)=0.6，從(*)式知，當AUB=S時，P(AB)取最小值，最小值為P(AB)=0.6+0.71=0.3。117.四設A,B,C是三事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=善.求A,48B，C至少有一個發生的概率。解：P(A,B,C至少有一個發生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=153-1+0=-881111五在一標準英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26個英語字母中任取兩個字母

5、予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞”從26個任選兩個來排列排法有A26種。每種排法等可能。字典中的二個不同字母組成的單詞：55個P(P(A)=乎=2611130在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數全不相同的概率。（設后面4個數中的每一個數都是等可能性地取自0,1,29）記A表“后四個數全不同”后四個數的排法有104種,每種排法等可能。后四個數全不同的排法有A410A4P（A）=班=0.504104六在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀念章,任意選3人記錄其紀念章的號碼。（1）求最小的號碼為5的概率。記“三人紀念章的最小號碼為5”為事件A10人中任選

6、3人為一組：選法有（歲）種，且每種選法等可能。又事件A相當于：有一人號碼為5,其余2人號碼大于5。這種組合的種數有1x（2P(A)=（2）求最大的號碼為5的概率。記“三人中最大的號碼為5”為事件B,同上10人中任選3人，選法有（殳）種，且每種選法等可能,又事件B相當于：有一人號碼為5,其余2人號碼小于5,選法有1x4丿|種P(BP(B)=(100i20七某油漆公司發出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運中所標箋脫落，交貨人隨意將這些標箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數得到定貨的概率是多少？記所求事件為A。在17桶中任取9桶的取法有C9種，且

7、每種取法等可能。17取得4白3黑2紅的取法有C4xC3xC21043P(A)=2522431C4xP(A)=25224311043C61712.八在1500個產品中有400個次品，1100個正品，任意取200個。（1）求恰有90個次品的概率。記“恰有90個次品”為事件A在1500個產品中任取200個，取法有200種，每種取法等可能。200個產品恰有90個次品，取法有（器!0種(400Y1100P(AP(A)=90人110(1500(200丿2）至少有2個次品的概率。記：A表“至少有2個次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個次品”，同上，200個產品不含次品，取法有（器）種，200個產品

8、含一個次品，取法有（竽丫溜丿種/A=B+B且B0，B,互不相容。01011100)(400)(1100P(A)=1-P(A)=1-P(A)=1-P(B0)+P(B1)=1-1500)(1500)200丿I200J13.九從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則A表“4只人不配對”從10只中任取4只，取法有）種，每種取法等可能。要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有4丿x24P(A)=P(A)=C4245C410821P(A)=1-P(A)=1-尋2115.十一將三個球隨機地放入4個杯子中去，問杯

9、子中球的最大個數分別是1，2，3，的概率各為多少？記Ai表“杯中球的最大個數為i個”i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2種。（選排列：好比3個球在4個位置做排列）P(AP(A1)=4x3x243616對A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有C2x4x3種。23（從3個球中選2個球，選法有C2，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。P(A2)=P(A2)=C2x4x3343916對A3:必須三球都放入一杯中。放法有4種。（只需從4個杯中選1個杯子，放

10、入此3個球，選法有P(A3P(A3)=44311616.十二50個鉚釘隨機地取來用在10個部件，其中有三個鉚釘強度太弱，每個部件用3只鉚釘，若將三只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱，問發生一個部件強度太弱的概率是多少？記A表“10個部件中有一個部件強度太弱”。法一：用古典概率作：把隨機試驗E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件（在三個釘的一組中不分先后次序。但10組釘鉚完10個部件要分先后次序）對E:鉚法有C3xC3XC3XC3種，每種裝法等可能TOC o 1-5 h z50474423對A：三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有C33xC47x%C250種I96

11、0=0-00051C3XC3XC3XCI960=0-00051P(A)=3474423C3XC3XXC3504723法二：用古典概率作把試驗E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計先后次序）對E：鉚法有A3種，每種鉚法等可能50對A：三支次釘必須鉚在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上，或“28,29,30”位置上。這種鉚法有A3XA27+A3XA27+A3+A27=10XA3XA27種34734734734714=0-0005110XA14=0-00051P(A)=347A305017.十三已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.

12、5,求尸(BIAuB)。解一：P(A)二1-P(A)二0.7,P(B)二1-P(B)二0.6,A二AS二A(BuB)二ABuAB注意(AB)(AB).故有P(AB)=P(A)-P(AB)=0.70.5=0.2。再由加法定理，P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.7+0.60.5=0.8于是P(BIAu于是P(BIAuB)=PB(AuB)P(AuB)P(AB)P(AuB)0.20.8解二：P(AB)=P(A)P(BIA)由已知05=07-P(BIA)P(B|A)=05=5nP(BIA)=2故P(AB)=P(A)P(BIA)=10.7775P(BA)1P(BA)P(AuB)P(BIAuB

13、)定義P(BAUBB)=P(BA).=5=0.25P(AuB)P(A)+P(B)-P(AB)0.7+0.6-0.518.十四P(A)=-4,P(BIA)=I，P(AIB)=-2,求P(AuB)。解：由P(AIB)定義P(AB)P(B)解：由P(AIB)定義P(AB)P(B)P(A)P(BIA)PCB)由已知條件有丄=211X43P(B)nP(B)=I由乘法公式，得P(AB)=P(A)P(BIA)=I2由加法公式，得P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)=j+i-12=I19.十五擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數之和為7，求其中有一顆為1點的概率(用兩種方法)。解：(方法一)(在縮小的樣本空間

14、SB中求P(AIB)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發生的概率)。擲兩顆骰子的試驗結果為一有序數組(x,y)(x,y=1,2,3,4,5,6)并且滿足x,+y=7，貝V樣本空間為S=(x,y)I(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)每種結果(x,y)等可能。A=擲二骰子，點數和為7時，其中有一顆為1點。故P(A)=2=163方法二：(用公式P方法二：(用公式P(AIB)=P(AB)P(B)S=(x,y)Ix=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6每種結果均可能A“擲兩顆骰子，,y中有一個為V點”,B“擲兩顆骰子，x，+y=7”則P(B)=右=匕P(

15、AB)=_2_2_2_2_45451454514545145451故P(A故P(AIB)=P(AB)P(B)62=2=IV6362O.十六據以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規律:P(A)=P孩子得病=0.6,P(BIA)=P母親得病孩子得病=0.5，P(CIAB)=P父親得病母親及孩子得病=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為P(ABC)(注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機事件，這里不是求P(CIAB)P(AB)=P(A)=P(BL4)=0.6x0.5=0.3,P(CIAB)=1-P(CL4B)=10.4=0.6.從而P(ABC)=P(AB

16、)P(CIAB)=0.3x0.6=0.18.21.十七已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。1)二只都是正品(記為事件A)法一：用組合做在10只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結果，每種取法等可能。P(A)二總二H二-6210法二：用排列做在1只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結果，每個排列等可能。P(A)P(A)28458A21法三：用事件的運算和概率計算法則來作。記A1，A2分別表第一、二次取得正品。728P(A)=P(AA)=P(A)P(AIA)=x=:12211945(2)二只都是次品(記為事件B)法一法二P(B)

17、=壬=11P(B)二蘭-A211=P（A11B）+P（A11B）P（A21BAIP（AJB）P（A21BA1）P（A31BA1A2）1111法三：P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A21A1)=211X=109453)一只是正品，一只是次品(記為事件C)C1XC1P(C)=82C2101645法二：P(C)=(C1XC1)XA21682/2A24510法三：P(C)=P(AiA2+A?)且AiA2與A1A2互斥=P(A)P(AIA)+P(A)P(AIA)=x+/2/vrv2r1091645(4)第二次取出的是次品(記為事件D)法一：因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作法二：P(D)

18、=A1XA192A210法三：P(D=P(A1A2+A1A?)且A1A2與A1A2互斥=P(A1)P(A217+P(A1)P(A21A1)=10910922.十八某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而隨機的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數字是奇數，那么此概率是多少？記H表撥號不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號能接通。注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。H=A+AA+AAA三種情況互斥1121_23_P(H)=P(A)+P(A)P(AIA)+P(A)P(AIA)P(AIAA)11211213121919813=+X+XX_=101091098

19、10如果已知最后一個數字是奇數(記為事件B)問題變為在B已發生的條件下，求H再發生的概率。P(HIB)=PAIB+AAIB+AAAIB)112123=1+x丄+蘭x1x丄二5454324.十九設有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到(即從乙袋中取到)白球的概率是多少？(此為第三版19題(1)記A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再從乙袋中取得白球”。/B=AB+A2B且A1,A2互斥P(B)=P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BlA2)=xN+1+XN-n+mN+M+1n+mN+M+

20、1十九(2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。C2為“從第一盒子中取得2只白球”。C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然q,C2，C3兩兩互斥，CUC2UC3=S，由全概率公式，有P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark21 o Current Document C25C27C1-C1

21、653=4+4+54二- HYPERLINK l bookmark25 o Current Document C211C211C2119999926.二十一已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：A1=男人,A2=女人,B=色盲，顯然AUA2=S,A1A2=由已知條件知P(A)=P(A)=-2P(BIA)=5%,P(BIA)=0.25%2212由貝葉斯公式，有5P(A|B)=W=P(Ai)P(B1Ai)=也=20P(B)P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)1512521122+1002

22、10000二十二一學生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次及格則第二次及P格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為專(1)若至少有一次及格則他能取得某種資格,求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二次已經及格,求他第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格,i=1,2已知P(A1)=P(A2IA1)=P，P(A2IA1)=P2(1)B=至少有一次及格所以B=兩次均不及格=AA12P(B)=1-P(B)=1-P(AA2)=1-P(A1)P(A2IA1)=1-1-P(A1)1-P(A2Ia1)P31=1-(1-P)(1-)=-P-P2222)P2)P(A1A2)定義P

23、(AA2)P(A2)*)由乘法公式，有P(A1A2)=P(A1)P(A2IA1)=P2由全概率公式，有P(A)=P(A)P(AIA)+P(A)P(AIA)121121P=P-P+(1-P)七將以上兩個結果代入(*)得將以上兩個結果代入(*)得P(AIA)=12P2P22PP+1+228.二十五某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時間5:355:395:405:445:455:495:505:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05+P(A1A2A4A5)+P(A1A2A3A4)+P(A1A3A4A5)+P(A1A2A4A5)+P(A1A2A3A4)+P

24、(A1A3A4A5)乘汽車到0.30乘汽車到0.300.350.200.100.05111111家的概率某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率解：設A=“乘地鐵”B=“乘汽車”C=“5:455:49到家”由題意,AB=UB=S已知：P(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5由貝葉斯公式有P(AIC)=P(CPAP(A)=0.1x0.45-=-06!=13=0.6923P(C)p(c|a)1+p(C|b)y0,651329.二十四有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等

25、品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設Bi表示“第i次取到一等品”i=1,2Aj表示“第j箱產品”j=1,2，顯然AUA2=SAA2=101182p(B1)=-+-=0.4(B.=AB+A2B由全概率公式解)。2502305112110911817+P(BIB)=PBB2)=2504923029=0.4857/p(B)215(先用條件概率定義，再求P(b1b2)時，由全概率公式解)32.二十六(2)如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點，2

26、假設每一繼電器接點閉合的概率為p,且設各繼電器閉合與甜/2記Ai表第i個接點接通記Ai表第i個接點接通記A表從L到R是構成通路的。a=AA2+aa3a5+a4a5+a4aa2四種情況不互斥P=P(AA2)+P(AA3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)p(4心345)+P(A1A2A3A4A5)P(A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)又由于A1，A2，A3，A4，A5互相獨立。故P(A)=p2+p3+p2+p3p4+p4+p4+p4+p5+p4+p5+p5+p5+p5-p

27、5=2p2+3p3-5p4+2p5二十六（1）設有4個獨立工作的元件1,2,3,4。它們的可靠性分別為PP2,P3,P4，將它們按圖（1）的方式聯接，求系統的可靠性。記Ai表示第i個元件正常工作，i=1,2，3,4,A表示系統正常。a=a1a2a3+AA4兩種情況不互斥p(a)=p(AA2a3)+p(a1a4)-p(a1a2A3a4)(加法公式)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=P1P2P3+P1P4-P1P2P3P4(A,A2,A3,A4獨立)34.三一袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一

28、只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？解：設“出現r次國徽面”=Br“任取一只是正品”=A由全概率公式，有P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BrrrA)=4(!)r+丄X1P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(Brrrp(AIB)=rp(A)p(BIA)p(B)p(AIB)=rp(A)p(BIA)p(B)rm+nm+nn+m+n條件概率定義與乘法公式）35甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7。飛機被一人擊中而1111被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機必定被擊落。求飛機被

29、擊落的概率。解：高H表示飛機被i人擊中，i=l,2,3。B1,B2,B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機H=BBB+BBB+BBB，三種情況互斥。TOC o 1-5 h zl23l23l23H=BBB+BBB+BBB三種情況互斥l23l23l23H=BBB223又B1，B2，B2獨立。P(H1)=P(B1)P(B2)P(B3)+P(B1)P(B2)P(b3)+P(B)P(B)P(B)=0.4x0.5x0.3+0.6l23x0.5x0.3+0.6x0.5x0.7=0.36P(H2)=P(B1)P(B2)P(b3)+P(B1)P(B2)P(B3)+P(B)P(B)P(B)=0.4x0.5x0.3l23+

30、0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41P(H3)=P(B1)P(B2)P(B3)=0.4x0.5x0.7=0.14又因：A=H1A+H2A+H3A三種情況互斥故由全概率公式，有P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(AH3)=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458三十三設由以往記錄的數據分析。某船只運輸某種物品損壞2%(這一事件記為A1)，10%(事件A2)，90%(事件A3)的概率分別為P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05，現從中隨機地獨立地取三件，發現這三件都是好的(這一事件記為B)，試分

31、別求P(A1IB)P(A2IB),P(A3IB)(這里設物品件數很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨立地)B表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥由全概率公式，有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.8x(0.98)=0.8x(0.98)3+0.15x(0.9)3+0.05x(0.1)3=0.8624=0.8x(0.98)=0.8x(0.98)3+0.15x(0.9)3+0.05x(0.1)3=0.86241111P(A1IB)=P(AB)P(A1IB)=P(AB)P(B)P(AJP(

32、BIAJP(B)0.8x(0.98)30.8624=0.8731P(A2IB)=P(A2B)P(B)P(A2)P(BIA2)22P(B)0.15x(0.9)30.8624=0.1268P(A3IB)=P(B)P(A)P(BIA?)P(B)0.05x(0.1)30.8624=0.0001三十四將A,B,C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a,而輸出為其它一字母的概率都是(1a)/2。今將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道，輸入AAAA,BBBB,CCCC的概率分別為p1,p2,p3(p1+p2+p3=1),已知輸出為ABCA,問輸入的是AAAA的概率是多少？(設信道傳輸每個字

33、母的工作是相互獨立的。)解：設D表示輸出信號為ABCA,B、B2、B3分別表示輸入信號為AAAA,BBBB,CCCC，貝VBB2、B3為一完備事件組，且P(B.)=P.,i=1,2,3。再設A發、A收分別表示發出、接收字母A,其余類推，依題意有P(AIA)=P(BIB)=P(CIC)=a,收發收發收發aP(AIB)=P(AIC)=P(BIA)=P(BIC)=P(CIA)=P(CIB)=收發收發收發收發收發收發2乂P(ABCAIAAAA)=P(DIB)=P(AIA)P(BIA)P(CIA)P(AIA)1收發收發收發收發1a=a2(2)2，1a同樣可得P(DIB)=P(DIB)=a-(-t)3于是

34、由全概率公式,得P(D)P(B.)P(DIB.).i=1=pa2(1a)2+(P+P)a(1)312232由Bayes公式,得P(AAAAIABCA)=P(B1ID)=P(AAAAIABCA)=P(B1ID)=P(BpP(DIBpP(D)aP-aP+(1a)(P+P)123二十九設第一只盒子裝有3只藍球,2只綠球,2只白球；第二只盒子裝有2只藍球,3只綠球,515151514只白球。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍球的概率，（2）求有一只藍球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍球，求有一只藍球一只白球的概率。解：記A、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球、綠球、

35、白球，BB2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球、綠球、白球。（1）記C=至少有一只藍球C=A1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1，5種情況互斥由概率有限可加性，得P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)+P(AB)+P(AB)TOC o 1-5 h z1112132131獨立性p(a)p(b)+p(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)11121321312333422225=_+_+_+_+_=_79797979799(2)記D=有一只藍球，一只白球，而且知D=A1B3+A3B1兩種情況互斥P(D)=P(AB+P(AB)=P(A)P(B)+P

36、(A)P(B)1331133142216=+=797963p(D1C)=船=器=35(注意到CD=D)三十A，B，C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據統計知，打給A，B，C的電話的概率分別為-2,-2,右。他們三人常因工作外出，A,B，C三人外出的概率分別為-2,1，設三人的行動相互獨立，求（1）無人接電話的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進了3個電話，求（3）這3個電話打給同一人的概率；（4）這3個電話打給不同人的概率；（5）這3個電話都打給B,而B卻都不在的概率。解：記CC2、C3分別表示打給A，B，C的電話D、D2、D3分另IJ表示A，B，C夕卜出21注意到G、C

37、2、C3獨立，且P(C)=P(C)=-2,P(C)=112312535P（P（D1）=夕P(D2)=P(D3)=4P(無人接電話)=P(D1D2D3)=p(D1)P(D2)P(D3)1111=XX=-24432（2）記G=“被呼叫人在辦公室”G=CD+CD+CD三種情況互斥，由有限可加性與乘法1122331公式p（G）=P（C公式p（G）=P（C1D1）二P（C2D2）+P（C）=P（C1）P（D11C1）+P（C2）P（D21C2）+P（C3）P（D31C3）由于某人外出與否和來電話無關212313=X+X+X=5254541320I故p（Dk1Ck）=P（Dk）171253)H為“這317

38、125P（H）=2XzX2+zX2X2+丄X丄X丿555555555(4)R為“這3個電話打給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A,B,C的三個電話，每種情況的概率為TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 214XX=555125于是P（R）于是P（R）=6x注241(5)由于是知道每次打電話都給B其概率是1,所以每一次打給B電話而B不在的概率為-4，且各次情況相互獨立于是P(3個電話都打給B，B都不在的概率)=(-4)3=-1第二章隨機變量及其分布第二章隨機變量及其分布1.一一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、

39、3、4、5，在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律解：X可以取值3,4，5,分布律為TOC o 1-5 h zP(X=3)=P(一球為3號，兩球為1,2號)=-1-C31051XC23P(X=4)=P(球為4號，再在1,2,3中任取兩球)=亠=C3105P(X=5)=P(一球為5號，再在1,2,3,4中任取兩球)=叢!=$C310也可列為下表1111X：3，4，5P：P：13610，10?103.三設在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數，(1)求X的分布律，(2)畫出分布律的圖形。解：任取三只，其

40、中新含次品個數X可能為0，1，2個。P(x=0)=暑=H15C1XC2P(C1XC2P(X=1)=213C3151235C2XC1P(X=2)=213C315135再列為下表X：0，1，2門22121353535Pi4.四進行重復獨立實驗，設每次成功的概率為p,失敗的概率為q=1p(0vpv1)將實驗進行到出現一次成功為止，以X表示所需的試驗次數，求X的分布律。(此時稱X服從以p為參數的幾何分布。)將實驗進行到出現r次成功為止，以Y表示所需的試驗次數，求Y的分布律。(此時稱Y服從以r,p為參數的巴斯卡分布。)一籃球運動員的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時累計已投籃的次數，寫出X的分布律

41、，并計算X取偶數的概率。解：(1)P(X=k)=qkpk=1,2,Y=r+n=最后一次實驗前r+n1次有n次失敗，且最后一次成功P(Y=r+n)=Cnqnpr-1p=Cnqnpr,n=0,1,2,，其中q=1p,r+n-1r+n-1或記r+n=k，則PY=k=Cr-1pr(1-p)k-r,k=r,r+1,k-1P(X=k)=(0.55)k0.45k=l,2P(X取偶數)=另P(X=2k)=S(0.55)2k-10.45=3-k=1k=16.六一大樓裝有5個同類型的供水設備，調查表明在任一時刻t每個設備使用的概率為0.1，問在同一時刻(1)恰有2個設備被使用的概率是多少？P(X=2)=C52p2

42、q5-2=CX(0.1)2X(0.9)3=0.0729至少有3個設備被使用的概率是多少？P(X3)=C3x(0.1)3x(0.9)2+C54x(0.1)4x(0.9)+C5x(0.1)5=0.00856至多有3個設備被使用的概率是多少？P(X1)=1P(X=0)=1-0.59049=0.40951五一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。(1)以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數，求X的分布律。(2)戶主聲稱，他養的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗

43、試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數，如戶主所說是確實的，試求Y的分布律。(3)求試飛次數X小于Y的概率；求試飛次數Y小于X的概率。解：(1)X的可能取值為1，2，3,，n,PX=n=P前n1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去=(彳)n1-+，n=1，2，(2)Y的可能取值為1，2，31PY=1=P第1次飛了出去匸可PY=2=P第1次飛向另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去211=X23PY=3=P第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去2!1(3)PX(3)PXY工PYkPXYIYkk1工PYkPXYIYkk2fPYkPXkk2/全概率公式并注意到、PXYIY10丿注意到

44、X,Y獨立即PXYIYk1X1+1X1+2X1勇7PXk33333/271J1。1。11。1。18181同上，PX=Y二工PY=kPX=YIY=kk=1=工P=工PY=kPX=k=k=1XIx1X=3339327198138故PYX=1-PXY)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=C31x0.6x(0.4)2x(0.3)3IC32x(0.6

45、)2x0.4x(0.3)8IC2x(0.6)2x0.4xC1x0.7x(0.3)2I(0.6)333x(0.3)3I(0.6)3xC1x0.7x(0.3)2I(0.6)33xC2x(0.7)2x0.3=0.24339.十有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。(1)某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？(2)某人聲稱他通過品嘗能區分兩種酒。他連續試驗10次，成功3次。試問他是猜對的，還是他確有區分的能力(設各次試驗是相互獨立的。)解：(1)P(一次成功)=丄=亠C470（2）P（連續試驗10次，成功3次）=C3）C70-）3（

46、|9）7=10000。此概率太小，按實際推斷原理，就認為他確有區分能力。九有一大批產品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經驗收無次品接受這批產品，次品數大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產品，若產品的次品率為10%，求（1）這批產品經第一次檢驗就能接受的概率（2）需作第二次檢驗的概率（3）這批產品按第2次檢驗的標準被接受的概率（4）這批產品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率（5）這批產品被接受的概率解：X表示10件中次品的個數，Y表示5件中次品的個數，由于產品總數很大，故XB（10，0.1）,YB（5，0.1）（近似服

47、從）（1）PX=0=0.9100.349（2）PXW2=PX=2+PX=1=C20.120.98+C0.10.990.5811010（3）PY=0=0.950.590（4）P0XW2,Y=0（0XW2與Y=2獨立）=P0XW2PY=0=0.581x-（5）PX=0+P010）=P（X211）=0.002840（查表計算）十二（2）每分鐘呼喚次數大于3的概率。PX3=PX4=0.566530十六以X表示某商店從早晨開始營業起直到第一顧客到達的等待時間（以分計），X的分布函數是Fx(x)=Jle_o.4x,x0 x000,1111求下述概率：(1)P至多3分鐘；(2)P至少4分鐘；(3)P3分鐘至

48、4分鐘之間；(4)P至多3分鐘或至少4分鐘；(5)P恰好2.5分鐘解：(1)P至多3分鐘=PXW3=F(3)=1-e4XP至少4分鐘P(X三4)=1F(4)=e-1-6XP3分鐘至4分鐘之間=P3XW4=F(4)-F(3)=e-1-2-e-1-6XXP至多3分鐘或至少4分鐘匸P至多3分鐘+P至少4分鐘=1e-1-2+e-1-6P恰好2.5分鐘匸P(X=2.5)=00,x1,18.十七設隨機變量X的分布函數為FX(x)=Jlnx,1xe.求(1)P(X2),P0XW3,P(2X5；)；(2)求概率密度fX(x).解：(1)P(XW2)=FX(2)=ln2,P(0XW3)=FX_FX(0)=1,P

49、(2X=F(丄)F(2)=lnln2=ln2x2241(2)f(x)=F(x)詔(2)f(x)=F(x)詔x0,其它20.十八(2)設隨機變量X的概率密度f(x)為f(x)f(x)=1x21兀-1x1其它x0 x1f(x)=2x1x20其他求X的分布函數F(x),并作出(2)中的f(x)與F(x)的圖形。解：當一1WxW1時：X-1F(x)=Ji0dx+JJlx2dx=x1x2+=arcsinx-s-1nnLX-1=xJ1x2+arcsinx+nn2當1x時：F(x)當1x時：F(x)=f-10dx+-sJ11x2dx+-1nJt)dx=11故分布函數為：xx-1-1x1F(x)=xV1x2+

50、arcsinx+nn21解：(2)F(x)=P(Xx)=Jxf(t)dtg當x0時,F(x)=jx0dt=0g當0 x1時，F(x)=J00dt+Ldt=x2g0當1x2時，F(x)=J00dt+J1g01J00dt+J1tdt+J2(2t)dt+g0當2x時，F(x)=2tdt+x(2t)dt=2x112J2(2t)dt+Jx0dt=12故分布函數為0 x2x021000 x20其它現有一大批此種管子(設各電子管損壞與否相互獨立)。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為P(XP(X1500)=1P(X1500)=1j1500dx

51、=12)=1P(Y2)=1P(Y2)=1t(Y=0)+P(Y=1)=15+C5-(|)-(3)411+5x211232=1=1=3524324323.二十一設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X(以分計)服從指數分布，其概率密度為：1齊Fx(x)=00,其它某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，寫出Y的分布律。并求P(Y21)。解：該顧客“一次等待服務未成而離去”的概率為P(X10)=J+f(x)dx=-5Je5dx=e510X510+8=e210因此YB(5,e-2).即P(Y=k)=5e-2k(1e-2)5-k,(k

52、=1,2,3,4,5kk丿P(Y1)=1P(Y1)=1P(Y=0)=1(1e-2)5=1(1)5=1(10.1353363)57.38924.二十二=10.86775=10.4833=0.5167.設K在(0,5)上服從均勻分布，求方程4x2+4xK+K+2=0有實根的概率1TK的分布密度為：f(K)=5-000K2)=J+8f(x)dx=J5dx+225卜0dx=-35525.二十三設XN(3.22)(1)求P(2XW5),P(4)2,P(X3)1ko丿若XN(u，02)，則P(aXWp)=P(2XW5)=寧丿|=(1)(0.5)=0.84130.3085=0.5328P(4XW10)=丿|

53、=P(42)=1P(IXI2)=1P(2P3)=1P(XW3)=1(2)決定C使得P(XC)=P(XWC)=10.5=0.5P(XC)=1P(XWC)=P(XWC)1P(XWC)=2=0.5C23丿=0.5,查表可得C23=0:C=3P(XWC)=26.二十四某地區18歲的女青年的血壓(收縮區，以mm-Hg計)服從N(110,122)在該地區任選18歲女青年，測量她的血壓X。求(1)P(X01O5),P(100Xx)0.05.解:P(X105)=(105；110)=(0.4167)=1-(0.4167)=1-0.6616=0.3384JL厶P(100Xx)=1P(Xx)=1(xJ0)0.95.

54、JLJL查表得x101.645.nx110+19.74=129.74.故最小的X=129.74.27.二十五由某機器生產的螺栓長度(cm)服從參數為卩=10.05,。=0.06的正態分布。規定長度在范圍10.050.12內為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？設螺栓長度為XPX不屬于(10.050.12,10.05+0.12)=1P(10.050.12X0.80解出乎便得：再查表,4040再查表,得竺1.281o=31.25o1.28130.二十七設隨機變量X的分布律為：X：-2,-1,0，13P：111111651530求Y=X2的分布律Y=X2：(-2)2(-1)2(0)2(1)2(3)

55、2P：丄丄:56111151530再把X2的取值相同的合并并按從小到大排列就得函數Y的分布律為Y：0111491+111P：51553031.二十八設隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布(1)求Y=ex的分布密度X的分布密度為：X的分布密度為：0 x1x為其他Y=g(X)=ex是單調增函數又X=hY=g(X)=ex是單調增函數又X=h(Y)=lnY,反函數存在且a=ming(0),g(1)=min(1,e)=10=maxg(0),g(1)=max(1,e)=ey的分布密度為：心)=1/如川h(y)|=1-+01yey為其他(2)求Y=_2lnX的概率密度。Y=g(X)=-2lnX是單調減函數又

56、X=h(Y)=e-2反函數存在。a=mina=ming(0),g(l)=min(+8,0)=00=maxg(0),g(1)=max(+8,0)=+Y的分布密度為：fh(y)-1h(y)l=1-0y+8y為其他32.二十九設XN(0,1)(1)求Y=eX的概率密度1_x2TX的概率密度是f(x)e一2,-8x+8Y=g(X)=eX是單調增函數又X=h(Y)=lnY反函數存在且a=ming(一),g(+)=min(0,+)=0B=maxg(一8),g(+8)=max(0,+)=+Y的分布密度為：屮(y)屮心1h(y用衿0(Iny)220y+8y為其他2)求Y=2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X

57、2+1在(+s,6)不是單調函數，沒有一般的結論可用。設Y的分布函數是Fy(y),則Fy(y)=P(YWy)=P(2X2+1Wy)XM；2當y1時：FY(y)=0(Iy-1I當y1時：F(y)P-J牙1時，虹y)=Fy(y)=(:=1r:j-Jg2x2、2dx丿12n(y1)e-丁11451451(3)求Y=|X|的概率密度。TY的分布函數為Fy(y)=P(YWy)=P(IXiWy)當y0時：虹y)=Fy(y)=Iye-2dx-y2n33.三十(1)設隨機變量X的概率密度為f(x),求Y=X3的概率密度。Y=g(X)=X3是X單調增函數，又X=h(Y)=Y3，反函數存在，且a=ming(一),

58、g(+)=min(0,+)=0=maxg(g),g(+)=max(0,+)=+Y的分布密度為：丄12巾(y)=fh(h).Ih(y)I=f(y3)-y3,ay+,但y豐0屮(0)=0e一xx00 x0y0y0e一xx00 x0y0y0 xyay=x2-石OY=x2是非單調函數當x0時y=x2/反函數是x=一y當x0時y=x2/x=1：yYfY(y)=f(-再)(-&)f+f(汀)(J)0d產e-專y2(y0V法二：YFy(y)二P(Yy)二P(-&X訂)二P(X汀)P(X五)廠ye-xdx+0=1一e-、y,y000,y0.y0.y0.N2x0 xnf(x)彳n20 x為其他求Y=sinX的概

59、率密度。Fy(y)=P(YWy)=P(sinXWy)當y0時：Fy(y)=0當OWyWl時：Fy(y)=P(sinXWy)=P(OWxWarcsiny或narcsinyWxWn)Iarcsiny0n2n-arcsinyn2當ly時：FY(y)lY的概率密度虹y)為：y0時，呱y)fy(y)(0)0Ovyvl時，虹y)Fy(y)卩arcsiny2xdx+Jn2xdx0n2n-arcsinyn2丿1Wy時，呱y)Fy(y)036.三十三某物體的溫度T(oF)是一個隨機變量，且有TN(98.6,2),試求0(C)的概率密度。已知0=|(T-32)1-(t-98.6)2法一：T的概率密度為f(t)二=

60、t*又0=g(T)=|(T-32)是單調增函數。9T=h(0)=y0+32反函數存在。且aming(8),g(+8)min(8,+8)80maxg(8),g(+8)max(8,+)。的概率密度巾3)為(；0+32-98.6)29屮(0)=fh(0)Ih(0)1=1e-9.2n、：2981(_37)2=e-loo,g3+aio起n法二：根據定理：若XN(a、G),則Y=aX+bN(aa1+b,a2G2)由于TN(98.6,2)擠八5T160N5986160(5N333(5)22999I9丿9I9丿故9的概率密度為:屮（屮（）=81(037)2100ge+g第三章多維隨機變量及其分布1.一在一箱子