1、 設A與B兩因素分別具有a與b個水平，共有ab個水平組合，每個水平組合有n次重復，則全試驗共有abn個觀測值。這類試驗結果的數據模式如表28所示。 設A與B兩因素分別具有a與b個水平，共有ab個水 表28 兩因素有重復觀測值試驗數據模式 表28 兩因素有重復觀測值試驗數據模式 表28中 表28中 兩因素有重復觀測值試驗資料的數學模型為: (32)其中， 為總平均數； i為Ai的效應； j為Bj的效應； () ij為Ai與Bj的互作效應， 分別為Ai、Bj、Ai Bj觀測值總體平均數；且 分別為Ai、Bj、Ai 為隨機誤差，相互獨立，且都服從N(0，2)。 兩因素有重復觀測值試驗結果方差分析平方

2、和與自由度的剖分式為： (33) 其中，SSAB,dfAB為A因素與B因素交互作用平方和與自由度。 為隨機誤差，相互獨立，且都服從 若用SSAB,dfAB表示A、B水平組合間的平方和與自由度，即處理間平方和與自由度，則因處理變異可剖分為A因素、B因素及A、B交互作用變異三部分，于是SSAB、dfAB可剖分為： (34) 各項平方和、自由度及均方的計算公式如下： 若用SSAB,dfAB表示A、B水平組合間的平方矯正數 B因素平方和與自由度 總平方和與自由度水平組合平方和與自由度A因素平方和與自由度（35）矯正數總平方和與自由度水平組合平方和與自由度A因素平方和與自 交互作用平方和與自由度 誤差平

3、方和與自由度 相應均方為相應均方為 【例6】 為了研究飼料中鈣磷含量對幼豬生長發育的影響，將鈣(A)、磷(B)在飼料中的含量各分 4個水平進行交叉分組試驗。選用品種、性別、日齡相同，初始體重基本一致的幼豬 48 頭，隨機分成16組，每組3頭，用能量、蛋白質含量相同的飼料在不同鈣磷用量搭配下各喂一組豬，經兩月試驗，幼豬增重結果(kg)列于表29，試分析鈣磷對幼豬生長發育的影響。 【例6】 為了研究飼料中鈣磷含量對幼豬生長發育的 本例A因素鈣的含量分4個水平，即a=4；B因素磷的含量分4個水平，即b=4；共有ab=44=16個水平組合；每個水平組合重復數n=3；全試驗共有=443=48個觀測值。

4、本例A因素鈣的含量分4個水平，即a=4；B因 表29 不同鈣磷用量(%)的試驗豬增重結果(kg) 表29 不同鈣磷用量(%)的試驗豬增重結果(kg) 1、計算各項平方和與自由度 1、計算各項平方和與自由度 生物統計學-第8章-方差分析2課件生物統計學-第8章-方差分析2課件 2、列出方差分析表，進行F檢驗 表30 不同鈣磷用量方差分析表 2、列出方差分析表，進行F檢驗 查臨界F值： F0.05(3,32)=2.90， F0.01(3,32)=4.47； F0.01(9,32)=3.02。 因為， FAF0.05(3,32)； FBF0.01(3,32)；FABF0.01(9,32)，表明鈣、磷

5、及其互作對幼豬的生長發育均有顯著或極顯著影響。因此，應進一步進行鈣各水平平均數間、 磷各水平平均數間、鈣與磷水平組合平均數間的多重比較和進行簡單效應的檢驗。 查臨界F值： 3、多重比較 (1)鈣含量(A)各水平平均數間的比較 表31 不同鈣含量平均數比較表(q法) 3、多重比較 因為A因素各水平的重復數為bn，故A因素各水平的標準誤(記為 )的計算公式為： 此例， 由dfe=32，秩次距k=2,3,4，從附表5中查出=0.05與=0.01的 臨 界 q 值 ，乘以 =0.6196，即得各LSR值 ，所得結果列于表32。 因為A因素各水平的重復數為bn，故A因素各水平 表32 q值與LSR值表

6、表32 q值與LSR值表 檢驗結果標記在表33中。 (2) 磷含量(B)各水平平均數間的比較 表33 不同磷含量平均數比較表(q法) 檢驗結果標記在表33中。 因B因素各水平的重復數為an，故B因素各水平的標準誤(記為 )的計算公式為： 在本例，由于A、B兩因素水平數相等，即a=b=4，故 。因而，A、B兩因素各水平比較的LSR值是一樣的，所以用表32的LSR值去檢驗B因素各水平平均數間差數的顯著性，結果見表33。 因B因素各水平的重復數為an，故B因素各水平的標 以上所進行的兩項多重比較 ， 實 際 上是A、B兩因素主效應的檢驗。結果表明， 鈣的含量以占飼料量的0.8%(A2)增重效果最好；

7、磷的含量以占飼料量的0.6%(B2)增重效果最好。若A、B因素交互作用不顯著， 則可從主效應檢驗中分別選出A、B因素的最優水平相組合， 得到最優水平組合；若A、B因素交互作用顯著 ，則應進行水平組合平均數間的多重比較， 以 選出最優水平組合，同時可進行簡單效應的檢驗。 以上所進行的兩項多重比較 ， 實 際 上是A、B (3)各水平組合平均數間的比較 因為水平組合數通常較大(本例ab=44=16)，采用 最小顯著極差法進行各水平組合平均數的比較，計算較麻煩。為了簡便起見，常采用T檢驗法。所謂T檢驗法 ，實 際 上 就是以q檢測法中秩次距k最大時的LSR值作為檢驗尺度檢驗各水平組合平均數間的差異顯

8、著性。 (3)各水平組合平均數間的比較 因為水平組合的重復數為n，故水平組合的標準誤（記為 ）的計算公式為： 此例 由 dfe=32， k=16 從附表5中查出 a=0.05、a=0.01的臨界q值，乘以 =1.2392，得各LSR值，即 以上述LSR值去檢驗各水平組合平均數間的差數，結果列于表34。 因為水平組合的重復數為n，故水平組合的標準誤（記 表34 各水平組合平均數比較表(T法) 表34 各水平組合平均數比較表(T法) 各水平組合平均數的多重比較結果表明，由于鈣磷交互作用的存在，最優組合(即增重好的組合) 并不是A2B2，而是A2B3，即鈣含量0.8%和磷含量0.4%的組合增重效果最

9、好。 以上的比較結果告訴我們：當A、B因素的交互作用顯著時，一般不必進行兩個因素主效應的顯著性檢驗(因為這時主效應的顯著性在實用意義上并不重要)，而直接進行各水平組合平均數的多重比較，選出最優水平組合。 各水平組合平均數的多重比較結果表明，由于鈣磷交互 (4) 簡單效應的檢驗 簡單效應實際上是特定水平組合平均數間的差數。檢驗尺度仍為(3)中的LSR0.05=6.51，LSR0.01=7.65。A因素各水平上B因素各水平平均數間的比較A1水平(1.0) (4) 簡單效應的檢驗 A2水平(0.8)A3水平(0.6) A2水平(0.8)A4水平(0.4) B因素各水平上A因素各水平平均數間的比較 A

10、4水平(0.4) 生物統計學-第8章-方差分析2課件生物統計學-第8章-方差分析2課件 簡單效應檢驗結果表明：當飼料中鈣含量達1.0%時， 磷含量各水平平均數間差異不顯著；當飼料中鈣含量為 0.8% 時 ， 磷含量以0.4%為宜 ( 但與磷含量為 0.6% 的差異不顯著) ；當鈣為0.6%時 ，磷以0.6%為好， 且有小豬的生長發育對磷含量的變化反應比較敏感的跡象；當鈣含量為 0.4% 時，磷以0.8%為好 (但與磷含量為0.6%、0.4%的差異不顯著)；就試驗中所選擇的鈣磷含量水平來看， 有一種隨著飼料中鈣含量的減少，要求磷含量增加的趨勢。 簡單效應檢驗結果表明：當飼料中鈣含量達1.0%時

11、當磷含量0.8%時，鈣以0.4%為好，但除顯著高于鈣為 1.0% 的水平外 ，與 鈣 為0.6%、0.8%的差異不顯著；當磷的水平為0.6%時，鈣的水平也以0.6%為好，但除顯著高于鈣為1.0%的水平外，與鈣為0.4%、0.8%的差異不顯著；磷含量0.4%時，鈣含量以0.8%為好；磷含量為0.2%時，鈣水平達到1.0%效果較好，但與鈣為0.8%的差異不顯著。 同樣 也呈現一種隨著磷含量降低，鈣水平應提高的趨勢。 當磷含量0.8%時，鈣以0.4%為好，但除 綜觀全試驗，以A2B3(鈣0.8%，磷0.4%)效果最好，鈣磷含量均高或均低效果都差。 綜觀全試驗，以A2B3(鈣0.8%，磷0二、系統分組

12、資料的方差分析 在生物科學的研究中， 實際問題是多種多樣的， 有些涉及多因素問題的研究或試驗用交叉分組是困難的。例如，要比較a頭公畜的種用價值，就必須考慮到與配的母畜。 這是因為公畜的種用價值是通過后代的表現來評定的， 而后代的表現除受公畜的影響外還要受到母畜 的影響。但是在同期， 公畜和母畜這兩個因素的不同水平( 不同公畜和不同母畜 ) 是 不能交叉的， 即同一頭母畜不能同時與不同的公畜交配產生后代。 合理的方法是，選擇一些生產性能二、系統分組資料的方差分析 大體一致的同胎次母畜隨機分配與 a頭公畜交配，即公畜A1與一組母畜交配，公畜A2與另一組母畜交配。然后通過后代的性能表現來判斷這些公畜

13、的種用價值有無顯著差異 。 又如，為了比較利用同一設備生產同一種飼料的不同班組產品質量有無差異，我們可從每班組所生產的飼料中隨機抽取若干樣品，每個樣品作若干次測定，根據測定結果判斷不同班組的產品質量有無差異。 大體一致的同胎次母畜隨機分配與 a頭公畜交配，即公畜A1與一 在安排多因素試驗方案時，將A因素分為a 個水平，在A因素每個水平Ai下又將B因素分成b個水平， 再 在 B 因素每個水平 Bij下將C因素分c個水平，這樣得到各因素水平組合的方式稱為系統分組(hierarchical classification) 或稱 多層分組、套設計、窩設計。 在系統分組中，首先劃分水平的因素 (上述的不

14、同公畜、不同班組 ) 叫 一級因素 ( 或 一 級樣本)，其次劃分水平的因素(如上述的母畜、抽取的樣品)叫二級因素(二級樣本，次級樣本 )，類此有三級因素。在系統分組中，次級因素的各水平會套在一級因素的每個水平下，它們之間是從屬關系而不是平等關系，分析側重于一級因素。 在安排多因素試驗方案時，將A因素分為a 個水平， 由系統分組方式安排的多因素試驗而得到的資料稱為系統分組資料。根據次級樣本含量是否相等，系統分組資料分為次級樣本含量相等與不等兩種。最簡單的系統分組資料是二因素系統分組資料。 如果A因素有 a 個水平； A因素每個水平 Ai下，B因素分b個水平；B因素每個水平Bij下有n個觀測值，

15、則共有abn個觀測值，其數據模式如表35所示。 由系統分組方式安排的多因素試驗而得到的資料稱為系 表35 二因素系統分組資料數據模式 表35 二因素系統分組資料數據模式 表35中， 數學模型為 (36) 表35中， 式中為總體平均數，ai為Ai的效應，ij為Ai內Bij的效應 、 , 分別為Ai、Bij觀測值總體平均數。 為隨機誤差，相互獨立，且都服從N(0,2)。 表6-35數據的總變異可分解為A因素各水平(Ai)間的變異(一級樣本間的變異)，A因素各水平(Ai)內B因素各水平(Bij)間的變異(一級樣本內二級樣本間的變異)和試驗誤差(B因素各水平內觀測值間的變異)。對兩因素系統分組資料進行

16、方差分析，平方和與自由度的剖分式為： 式中為總體平均數，ai為Ai的效應，ij為 SST=SSA+SSB(A)+SSe dfT =dfA +dfB(A) +dfe (37) 各項平方和與自由度計算公式如下： SST=SSA+SSB(A)+SSe一級因素平方和及其自由度一級因素內二級平方和及其自由度誤差（二級因素內三級平方和及其自由度一級因素平方和及其自由度一級因素內二級平方和及其自由度誤差（各項均方如下： 一級因素的均方 一級因素內二級因素的均方 誤差(二級因素內三級因素)均方 F檢驗時F值的計算： 當檢驗一級因素時，用 作分母，即: 當檢驗一級因素內二級因素時，用 作分母，即: 各項均方如下

17、： 實際上，計算F值時分母項的選擇是由有關因素的效應是固定還是隨機所決定的 (即是由數學模型決定的)，有關這方面的內容將在 第四節介紹。 (一) 次級樣本含量相等的系統分組資料的方差分析 【例7】 為測定3種不同來源的魚粉的蛋白質消化率， 在不含蛋白質的飼料里按一定比例分別加入不同的魚粉A1,A2,A3，配制成飼料，各喂給3頭試驗動物(B)。收集排泄物、風干、粉碎、混和均勻。分別從每頭動物的排泄物中各取兩份樣品作化學分析。 測定結果(xijl)列于表36，試 分 析不同來源魚粉的蛋白質消化率是否有顯著差異。 實際上，計算F值時分母項的選擇是由有關因素的效應 表36 蛋白質的消化率 表36 蛋白

18、質的消化率 這是一個二因素系統分組資料，A因素的水平數a=3，Ai內B因素的水平數b=3，Bij內重復測定次數n=2，共有abn=332=18個觀測值，方差分析如下。 1、計算各項平方和與自由度矯正數 總平方和及其自由度 這是一個二因素系統分組資料，A因素的水平數a=3魚粉間平方和及其自由度魚粉內個體間的平方和及其自由度 魚粉間平方和及其自由度誤差（個體內分析樣品間)平方和及其自由度 2、列出方差分析表，進行F檢驗 表37 不同來源魚粉蛋白質消化率方差分析表 誤差（個體內分析樣品間)平方和及其自由度 查臨界F值： F0.01(2,6)=10.92，F0.01(6,9)=5.80， 因為魚粉間的

19、FF0.01(2,6)，魚粉內個體間的FF0.01(6,9)，表明不同來源的魚粉蛋白質消化率差異極顯著，即3種魚粉的質量差異極顯著；喂同一魚粉的不同個體對魚粉的消化利用能力差異也極顯著。 3、三種魚粉平均消化率的多重比較（SSR法） 因為對一級因素（魚粉）進行F檢驗時是以魚粉內個體間均方作為分母，魚粉的重復數為bn， 所以魚粉的標準誤為： 查臨界F值： 以dfB(A)=6，查附表6得k=2,3時SSR0.05和SSR0.01的值與 相乘求出相應的LSR0.05和LSR0.01的值，得:k=2, LSR0.05=2.91 LSR0.01=4.41k=3, LSR0.05=3.01 LSR0.01

20、=4.63生物統計學-第8章-方差分析2課件 表38 三種魚粉蛋白質平均消化率比較表(SSR法) 表38 三種魚粉蛋白質平均消化率比較表(SSR法) 多重比較結果表明：魚粉A2的消化率極顯著高于魚粉A3；魚粉A1的消化率顯著高于魚粉A3；魚粉A1、 A2的消化率差異不顯著。 對于魚粉內個體間的差異問題，由于不是我們研究的重點，故可以不進行多重比較。若要比較時，標準誤 應由 計算，SSR值或q值應以自由度dfe=9去查。 多重比較結果表明：魚粉A2的消化率極顯著高于魚粉 (二) 次級樣本含量不等的系統分組資料的方差分析 【例8】 某品種3頭公豬和8頭母豬所生仔豬的35日齡斷奶重資料如表39所示，

21、試就這些數據分析 不同公豬和 不同母豬對仔豬斷奶重的影響是否有顯著差異。 (二) 次級樣本含量不等的系統分組資料的方差分析表39 3頭公豬和8頭母豬所產仔豬斷奶重表39 3頭公豬和8頭母豬所產仔豬斷奶重 表中，a為公豬數；bi為第i頭公豬與配母豬數；ny為第i頭公豬與配第j頭母豬所產的仔豬數； 為第i頭公豬仔豬數； 為母豬總數； 為仔豬總數。 方差分析如下： 1、計算各項平方和與自由度 表中，a為公豬數；bi為第i頭公豬與配母豬數； 矯正數 總平方和及其自由度 矯正數 公豬間的平方和及其自由度 公豬內母豬間的平方和及其自由度 公豬間的平方和及其自由度 母豬內仔豬間（誤差）平方和及其自由度或 或

22、 母豬內仔豬間（誤差）平方和及其自由度 2、列出方差分析表,進行F檢驗表40 3頭公豬和8頭母豬所生仔豬斷奶重的方差分析 2、列出方差分析表,進行F檢驗 因為公豬間的FA=0.341，即P0.05，所以公豬對仔豬的斷奶重影響差異不顯著，可以認為它們的種用價值是一致的；因為公豬內母豬間的FB(A)=15.74F0.01(5,55)=3.37，即P0.01，所以母豬對仔豬的斷奶重影響差異極顯著，即同一公豬內不同母豬的仔豬斷奶重有極顯著的差異。 3、多重比較 如果需對一級因素(公豬)各水平以及一級因素內二級因素(母豬) 各水平均數進行多重比較(SSR法或q法)， 當對公豬平均數進行多重比較時，標準誤

23、為： 因為公豬間的FA=0.341，即P0.05， 式中的dn0為每頭公豬的平均仔豬數，用公式(41)(見第四節)計算；當對母豬平均數進行多重比較時，標準誤為： 式中n0為每頭母豬的平均仔豬數，用公式(39)(見第四節)計算。實際上對于此類資料，同一公豬內母豬平均數的多重比較一般可不進行。 式中的dn0為每頭公豬的平均仔豬數，用公式(41第四節 數據轉換 前面介紹的幾種試驗資料的方差分析法，盡管其數學模型的具體表達式有所不同，但以下三點卻是共同的。 第四節 數據轉換 前面介紹的幾種試驗資料1. 效應的可加性：我們據以進行方差分析的模型均為線性可加模型。這個模型明確提出了處理效應與誤差效應應該是

24、“可加的”，正是由于這一“可加性”，才有了樣本平方和的“可加性”，亦即有了試驗觀測值總平方和的“可剖分”性。如果試驗資料不具備這一性質，那么變量的總變異依據變異原因的剖分將失去根據，方差分析不能正確進行。 2. 分布的正態性：指所有試驗誤差是相互獨立的，且都服從正態分布N(0，2)。只有在這樣的條件下才能進行F檢驗。3. 方差的同質性：即各個處理觀測值總體方差2應是相等的。只有這樣，才有理由以各個處理均方的合并均方作為檢驗各處理差異顯著性的共同的誤差均方。 1. 效應的可加性：我們據以進行方差分析的模型均為線性可加模 上述三點是進行方差分析的基本前提或基本假定。如果在分差分析前發現有某些異常的

25、觀測值、處理或單位組，只要不屬于研究對象本身的原因，在不影響分析正確性的條件下應加以刪除。但是，有些資料就其性質來說就不符合方差分析的基本假定。其中最常見的一種情況是處理平均數和均方有一定關系(如二項分布資料，平均數 , 均方 ；泊松分布資料的平均數與方差相等 )。 對這類 上述三點是進行方差分析的基本前提或基本假定。如果資料不能直接進行方差分析，而因考慮采用非參數方法分析或進行適當數據轉換(transformation of data)后再作方差分析。 這里我們介紹幾種常用的數據轉換方法。 1、 平方根轉換 (square root transformation) 此法適用于各組均方與其平均

26、數之間有某種比例關系的資料，尤其適用于總體呈泊松分布的資料。轉換的方法是求出原數據的平方根 。若原觀測值中有為0的數或多數觀測值小于10，則把原數據變換成 對于穩定均方，使方差符合同質性的作用更加明顯。變換也有利于滿足效應可加性和正態性的要求。 資料不能直接進行方差分析，而因考慮采用非參數方法分析或進行適 2、對數轉換(logarithmic transformation) 如果各組數據的標準差或全距與其平均數大體成比例，或者效應為相乘性或非相加性，則將原數據變換為對數(lgx或lnx)后，可以使方差變成比較一致而且使效應由相乘性變成相加性。 如果原數據包括有0，可以采用lg(x+1)變換的方

27、法。 一般而言，對數轉換對于削弱大變數的作用要比平方根轉換更強。例如變數1、10、100作平方根轉換是1、3.16、10，作對數轉換則是0、1、2。 2、對數轉換(logarithmic tra 3、 反正弦轉換(arcsine transformation) 反正弦轉換也稱角度轉換。此法 適用于 如發病率、 感染率、病死率、受胎率等服從 二項分布 的資料。轉換的方法是求出每個原數據(用百分數或小數表示)的反正弦 ， 轉換后的數值是以度為單位的角度。 二項分布的特點是其方差與平均數有著函數關系。這種關系表現在，當平均數接近極端值(即接 近 于 0 和 100% )時，方差趨向于較小；而平均數處于中間數值附近 ( 50% 左 右 ) 時 ，方差趨向于較大。把數據變成角度以 3、 反正弦轉換(arcsine transf后，接近于0和100%的數值變異程度變大，因此使方差較為增大，這 樣 有利于滿足方差同質性的要求。一 般，若 資 料 中 的 百 分數介于30%70%之間時，因資料的分布接近于正態分布，數據變換與否對分析的影響不大。 應當注意的是，在對轉換后的數據進行方差分析時，若經檢驗