1、第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第2課時空間中的夾角問題學習目標素養(yǎng)要求1理解異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的定義直觀想象、抽象數學2能夠用向量法解決線線、線面、二面角的計算問題直觀想象、數學運算| 自 學 導 引 | 空間三種角的向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設兩異面直線所成的角為，它們的方向向量為a，b，則cos _|cosa，b|角的分類向量求法范圍直線與平面所成的角設直線l與平面所成的角為，l的方向向量為a，平面的法向量為n，則sin _二面角設二面角l為，平面，的法向量分別為n1，n2，則|cos |_|cos

2、a，n|cosn1，n2|0，1思維辨析(對的畫“”，錯的畫“”)(1)兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等. ()(2)直線l的方向向量與平面的法向量的夾角的余角就是直線l與平面所成的角()(3)二面角l的大小為，平面，的法向量分別為n1，n2則n1，n2()【答案】(1)(2)(3)【預習自測】【答案】A3已知兩平面的法向量分別為m(0，1，0)，n(0，1，1)，則兩平面所成的二面角的大小為()A45B135C45或135D90【答案】C| 課 堂 互 動 | 題型1異面直線所成的角如圖，在四面體ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD且ABBC6，BD8，E為AD中點，求異

3、面直線BE與CD所成角的余弦值解：ABBC，ABBD，BCBDB，AB平面BCD分別以BC的垂線，BC，BA三直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據幾何體的特殊性質建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質求解(1)證明：在PAD中，由E，F為PD，PA中點得EF為中位線，EFAD又底面為矩形，ADBC，EFBC由平行線確定唯一平面得E，F，B，C在同一平面上題型2直線與平面所成的角如圖，在四棱錐PABCD中，

4、平面PAB底面ABCD，ADBC，ABC90，APB90(1)求證：APPC；(2)設AB5，APBC2AD4，求直線CB與平面PCD所成角的正弦值(1)證明：因為平面PAB底面ABCD，ABC90，所以BC平面PAB，則BCAP又因為APPB，且PBBCB，故AP平面PBC，所以APPC圖1 圖2 利用坐標法求二面角的步驟設n1，n2分別是平面，的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是兩個平面夾角的大小，如圖3如圖，已知四棱錐SABCD，SDSB，在平行四邊形ABCD中，ADCD，Q為SC上的點，過AQ的平面分別交SB，SD于點E，F，且BD平面AEQF(1)證明：如圖1，連接AC交

5、BD于點O，因為四邊形ABCD為平行四邊形，且ADCD，所以四邊形ABCD為菱形，所以ACBD因為BD平面AEQF，平面AEQF平面SBDEF，BD平面SBD，所以BDEF因為BDAC，所以EFAC圖1 圖2 審題指導：(1)要證明DE平面ACD，需要證明DE與平面ACD內兩條相交直線垂直，其中DEDC較明顯，由平面ABC平面BCDE，且ACBC，證得AC平面BCDE，從而DEAC(2)要求二面角BADE的大小，可先以D為原點建系，再求出平面ADE和平面ABD的法向量，最后由公式計算二面角的大小【題后悟道】1利用條件建立空間直角坐標系充分利用題干中的垂直關系建立空間直角坐標系，使幾何體的頂點盡量多地落在坐標軸上，建系或在求點的坐標時用到的位置關系和數量關系要進行必要的說明，如本例中，AC平面BCDE，不僅用于證明ACDE，還為求點A的坐標提供依據| 素 養(yǎng) 達 成 | 2向量法求直線與平面所成角的原理1(題型2)若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于()A120B60C30D以上均錯【答案】C【解析】由直線與平面所成的角的范圍及與向量所成角的關系知直線l與平面所成的角等于90(180120)302(題型3)已知兩平面的法向量分別為m(0，1，0)，n(0，1，1)，則兩平面所成的二面角的大