1、PAGE PAGE 7第二章3A組素養自測一、選擇題1點C在直線AB上，且eq o(AC,sup6()3eq o(AB,sup6()，則eq o(BC,sup6()等于(D)A2eq o(AB,sup6()Beq f(1,3)eq o(AB,sup6()Ceq f(1,3)eq o(AB,sup6()D2eq o(AB,sup6()解析eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()3eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AB,sup6().2(多選)下列說法中錯誤的是(ABC)Aa與a的方向不是相同就是相反B若a，b共線，則b

2、aC若|b|2|a|，則b2aD若b2a，則|b|2|a|解析對于A，0時，結論不成立；對于B，a0時，結論成立；對于C，|b|2|a|時，b與a不一定共線；對于D，利用平面向量共線定理可知正確3已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上(不包括端點A、C)，則eq o(AP,sup6()(A)A(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()(0,1)B(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(2),2)C(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()(0,1)D(eq o(AB,sup6()eq

3、o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(2),2)解析設P是對角線AC上的一點(不含A、C)，過P分別作BC、AB的平行線，設eq o(AP,sup6()eq o(AC,sup6()，則(0,1)，于是eq o(AP,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，(0,1)4如圖，在正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么eq o(EF,sup6()(D)Aeq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()Beq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(1

4、,2)eq o(AD,sup6()Ceq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()Deq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()解析eq o(EF,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(CF,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(CB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6().5在ABC中，已知D是AB邊上一點，若eq o(AD,sup6()2eq o(DB,sup6()，eq

5、o(CD,sup6()eq f(1,3)eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()，則等于(A)Aeq f(2,3)Beq f(1,3)Ceq f(1,3)Deq f(2,3)解析(方法一)：由eq o(AD,sup6()2eq o(DB,sup6()，可得eq o(CD,sup6()eq o(CA,sup6()2(eq o(CB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(CD,sup6()eq f(1,3)eq o(CA,sup6()eq f(2,3)eq o(CB,sup6()，所以eq f(2,3).故選A(方法二)：eq o(CD,sup6()eq o(CA,su

6、p6()eq o(AD,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(2,3)(eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(1,3)eq o(CA,sup6()eq f(2,3)eq o(CB,sup6()，所以eq f(2,3)，故選A6(多選)已知向量a，b是兩個非零向量，在下列條件中，一定可以使a，b共線的是(AB)A2a3b4e且a2b2eB存在相異實數，使ab0Cxayb0(其中實數x，y滿足xy0)D已知梯形ABCD，其中eq o(AB,sup6()a，eq o(CD,sup6()b

7、解析由2a3b2(a2b)得到b4a，故A可以；ab0，ab，故B可以；xy0，有xayb0，但b與a不一定共線，故C不可以；梯形ABCD中，沒有說明哪組對邊平行，故D不可能二、填空題7已知向量a，b不共線，實數x，y滿足5xa(8y)b4xb3(y9)a，則x 3 ；y 4 .解析因為a與b不共線，根據向量相等得eq blcrc (avs4alco1(5x3y27，,8y4x，)解得eq blcrc (avs4alco1(x3，,y4.)8已知e1，e2是兩個不共線的向量，而ak2e1eq blc(rc)(avs4alco1(1f(5,2)k)e2與b2e13e2是兩個共線向量，則實數k 2

8、或eq f(1,3) .解析由題設知eq f(k2,2)eq f(1f(5,2)k,3)，所以3k25k20，解得k2或eq f(1,3).9設D、E分別是ABC的邊AB、BC上的點，ADeq f(1,2)AB，BEeq f(2,3)BC若eq o(DE,sup6()1eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()(1，2為實數)，則12的值為 eq f(1,2) .解析由已知eq o(DE,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(BD,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()eq f(2,3)(eq o(A

9、C,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()，1eq f(1,6)，2eq f(2,3)，從而12eq f(1,2).三、解答題10已知兩個非零向量e1、e2不共線，若eq o(AB,sup6()2e13e2，eq o(BC,sup6()6e123e2，eq o(CD,sup6()4e18e2.求證：A、B、D三點共線證明eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()Beq o(C,sup6()eq o(CD,sup6()2e13e26e123e2

10、4e18e212e118e26(2e13e2)6Aeq o(B,sup6()，eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6().又AD和AB有公共點A，A、B、D三點共線B組素養提升一、選擇題1設a是非零向量，是非零實數，下列結論正確的是(C)Aa與a的方向相反B|a|a|Ca與2a的方向相同D|a|a解析A錯誤，因為取負數時，a與a的方向是相同的；B錯誤，因為當|1時，該式不成立；D錯誤，等號左邊的結果是一個數，而右邊的結果是一個向量，不可能相等；C正確，因為2(0)一定是正數，故a與2a的方向相同故選C2.在ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線交CD于點

11、F，若eq o(AC,sup6()a，eq o(BD,sup6()b，則eq o(AF,sup6()(D)Aeq f(1,4)aeq f(1,2)bBeq f(1,3)aeq f(2,3)bCeq f(1,2)aeq f(1,4)bDeq f(2,3)aeq f(1,3)b解析解法1：eq o(AF,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CF,sup6()aeq f(2,3)eq o(CD,sup6()aeq f(2,3)(eq o(OD,sup6()eq o(OC,sup6()aeq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(BD,sup6()f(1,

12、2)o(AC,sup6()aeq f(1,3)(ba)eq f(2,3)aeq f(1,3)b.解法2：eq o(AE,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,4)beq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)af(1,3)b)，又eq o(AE,sup6()eq f(3,4)eq o(AF,sup6()，選D3如圖所示，向量eq o(OA,sup6()、eq o(OB,sup6()、eq o(OC,sup6()的終點A、B、C在一條直線上，且eq o(AC,sup6()3eq o(CB,sup6().設eq o(OA,sup6()p，eq o(OB,sup6

13、()q，eq o(OC,sup6()r，則以下等式中成立的是(A)Areq f(1,2)peq f(3,2)qBrp2qCreq f(3,2)peq f(1,2)qDrq2p解析eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(AC,sup6()3eq o(CB,sup6()3eq o(BC,sup6()，eq o(BC,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6().eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq o(OB,sup6()eq f(1,3)(eq o(OC,su

14、p6()eq o(OA,sup6()rqeq f(1,3)(rp)req f(1,2)peq f(3,2)q.4O為平面上的一定點，A、B、C是平面上不共線的三個動點，動點P滿足eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)，0，)，則P的軌跡一定通過ABC的(B)A外心B內心C重心D垂心解析由eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(AB,sup6(),|o(AB,s

15、up6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)，則eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)，則eq o(AP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|).而eq f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)是與eq o(AB,sup6()同向的單位向量，eq f(o(A

16、C,sup6(),|o(AC,sup6()|)是與eq o(AC,sup6()同向的單位向量，以這兩個單位向量為鄰邊作平行四邊形AB1P1C1，易得平行四邊形AB1P1C1是菱形，對角線AP1平分B1AC1，且eq o(AB1,sup6()eq f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)，eq o(AC1,sup6()eq f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)，所以eq f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)eq f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)eq o(AB1,sup6()eq o(AC1,sup6()eq o(AP

17、1,sup6()，則eq o(AP,sup6()eq o(AP1,sup6().由0，)，可知點P在BAC的平分線上，即動點P的軌跡經過ABC的內心二、填空題5已知在ABC所在的平面內有一點P，滿足eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(AB,sup6()，則PBC與ABC的面積之比是 23 .解析因為eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(AB,sup6()，所以eq o(PC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PA,sup6()eq o(A

18、B,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(AP,sup6()2eq o(AP,sup6()，所以點P在邊CA上，且是靠近點A一側的三等分點，所以PBC和ABC的面積之比為23.6設點O在ABC的內部，點D，E分別為邊AC，BC的中點，且|eq o(OD,sup6()2eq o(OE,sup6()|1，則|eq o(OA,sup6()2eq o(OB,sup6()3eq o(OC,sup6()| 2 .解析如題圖所示，易知|eq o(OA,sup6()2eq o(OB,sup6()3eq o(OC,sup6()|eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()2(eq o(O

19、B,sup6()eq o(OC,sup6()|2eq o(OD,sup6()4eq o(OE,sup6()|2|eq o(OD,sup6()2eq o(OE,sup6()|2.三、解答題7如圖，已知E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，用向量法證明：四邊形EFGH是平行四邊形證明在BCD中，G，F分別是CD，CB的中點，eq o(CG,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()，eq o(CF,sup6()eq f(1,2)eq o(CB,sup6().eq o(GF,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(CG,sup6()eq f(1

20、,2)eq o(CB,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()eq f(1,2)eq o(DB,sup6().同理eq o(HE,sup6()eq f(1,2)eq o(DB,sup6().eq o(GF,sup6()eq o(HE,sup6()，即eq o(GF,sup6()與eq o(HE,sup6()共線又G，F，H，E四點不在同一條直線上，GFHE，且GFHE.四邊形EFGH是平行四邊形8在ABC中，點P是AB上一點，且eq o(CP,sup6()eq f(2,3)eq o(CA,sup6()eq f(1,3)eq o(CB,sup6()，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，且eq o(CM,sup6()teq o(CP,sup6()，求t的值解析eq o(CP,sup6()eq f(2,3)eq o(CA,sup6()eq f(1,3)eq o(CB